第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-8)

内模型(inner model)是通过对原模型作限制而得到新模型的一种构造方式。如哥德尔的可构成集类 工(参见定义2.2.5).在其中，每一层结构 Lα(α无穷) 的基数是|α|，而 Lα 的所有子集都可以在 L(α+)L 中被构造出来.因而，广义连续统假设在其中成立.在可构成集组成的宇宙中，我们可以根据每个对象第一次被构造出来的先后顺序，以及被构造所使用的方式(可数种)、参数（已构造并排序的对象）来排定该对象的位置。因此，我们在整个宇宙上有一个可定义的良序，即选择公理在 L中成立.但 L中不一定含有全部的实数，我们可以从实数集（而非空集)开始构造，得到 L(R)。在其中，有可能没有一个实数上的排序，从而选择公理又不成立。我们也可以用利用序数可定义性来定义内模型 HOD。其中所有的集合以及它们的元素都是以序数为参数在 V 中可定义的.由于其定义所用的参数就是序数，而定义方式可数，所以也很容易将整个宇宙良序化。但是，连续统的取值在 HOD 却可以非常任意.

无论集合模型还是内模型的构造都可以看作是在我们这个绝对的集合论宇宙内部的构造.力迫扩张，一种外模型(outer model)的构造方式(参见 2.2.2 子节)，的产生才是对传统集合实在论的真正挑战.我们往往会这样叙述一个运用力迫法的一致性证明：我们从一个集合论宇宙 V 出发，构造其中的一个布尔代数 B.我们给每个关于集合的陈述赋予一个 B 上的值以表示其真假程度.当然，这种赋值需要符合一定规律，例如 ZFC 中句子都被赋予 1，即绝对真；如果 ZFC╞ φ → ψ，那么φ赋的值就比 p 更真。事实上，我们构造了一个多值逻辑的模型，即布尔值模型。其中有一些陈述的真值介于绝对的真和绝对的假之间。从中，我们可以看到更多集合论模型的可能性.我们设想有一个 P 上的 V 脱殊滤 G.它是一个超滤，将 B 分为两个等价子类，即真和假.从而把可能性现实化，得到力迫扩张 V[G]并满足特定的命题。一般来说， V 是 V[G]的子类,但 V[G]中却含有 V 中没有的对象，如 G.也就是说 V[G]是比 V更大的宇宙。这种构造似乎是在说，处于集合论宇宙之内的人(通过布尔值模型)也可以想象宇宙之外的情况，按照一些实在论者的想法，这些可以被合理地想象的对象也是实在的.那么， V 对生存于其中的人们来说就不再是绝对的宇宙了.

集合论学家往往喜欢把上述的那些技术手段理解为集合论模型的构造.因此，Hamkins 等人认为，传统的实在论已经不适合集合论研究的现状了，多宇宙观则

显得更加自然.他强调，集合论多宇宙观是一种二阶或高阶的实在论.2如果说传统集合实在论是关于集合的柏拉图主义，那么多宇宙观就是关于集合论宇宙的柏拉图主义.人们关于各种集合论模型、各种可能的集合论概念，以及它们之间关系的研究应该成为未来集合论研究的主题.

5.1.2 集合概念与集合论模型

Hamkins 在[20]中提到:“我将简单地把一种集合概念与引起这种概念的集合论模型等同起来”.

而作者恰恰认为这种等同是不合适的，一种集合概念可以在很多集合论模型中被满足，而这些模型很可能非常不同，例如，假设 M 是 ZFC 的一个模型， U 是 M 中的一个超滤.则根据超幂基本定理， M 与超幂 Ult(M,U)是初等等价的。也就是说，在多宇宙观看来，这两个模型对应的集合概念是一样.然而这两个集合论模型可以是非常不同的.

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