第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-10)

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙.

类似定理 5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的.

引理 5.2.10 令 N 是 ZFC + Con(ZFC) 的模型，则 N 中的复宇宙 M0 从外面看仍然是一个复宇宙，即 M1 = {(m1,E1) | N ╞ (m0,E0) ∈ M1} 是一个复宇宙.

证明（1）可数化公理.给定 (m1,E1) ∈ M1。由 N 中的可数化公理，存在 n0,F1，有

N ╞ (n0,F0) ∈ M0Λ┌(n0,F0) ╞ m0 是可数的¬.

由定义， (n1,F1) ∈ M1：由(5.2.1)， (n1,F1) ╞ m0 是可数的，由注 5.2.2，我们说 m1 是 n1 中的一个可数集合.

类似地，我们也有 (2) 伪良基公理.

(3) 可实现公理，给定 (m1,E1) ∈ M1、α ∈ m1 以及公式 φ(v1,v2)，由 N 中的可实现公理，存在 n0 ∈ N，使得

N ╞ n0 = {x ∈ m0 | (m0,E0) ╞ φ[x,α]}

Λ(n0,E0) ∈ M0

所以，我们有(n1,E1) ∈ M1：并且对任意 x ∈ m1 ⊆ N，

x ∈ n1 ⇔ N ╞ x ∈ n0

(5.2.2) ⇔ N ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[X,α]¬

⇔ (M1,E1) ╞ φ[x,α]

可得 n1 = {x ∈ m1 | (m1,E1) ╞ φ[x,α]} 是模型 m1 中参数可定义的类：又由(5.2.1)， (m1,E1) ╞ ┌(n0,E0) ╞ ZFC¬，因此我们说 (m1,E1) 认为 (n1,E1) 是一个ZFC 模型.

(4)力迫扩张公理，给定模型 m1 ∈ M1，公式 φ 和参数 α ∈ m1，φ(x,α)在 m1 中

定义了一个偏序 P1。由 N 中的力迫扩张公理，存在 N 中的 n0,G0，使得

N ╞ n0 ∈ M0ΛG0 是 P0 上的m0 脱殊滤 Λn0 = m0[G0]

首先，我们有 n1 ∈ M1.

其次，我们希望 G1 = {x ∈ N | N ╞ x ∈ G0} 是 P1 的 m1 脱殊滤，容易证明， G1 是 P1 上的滤。现任给 D0 ∈ m1，使得 D1 = {x ∈ m1 | m1 ╞ x ∈ D0} 是 P1 的稠密子集。则 m1 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集。因而 N ╞ ┌m0 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集¬。由于 N 认为 G0 脱殊，故 N ╞ D1N = {x ∈ m1 | m0 ╞ x ∈ D0} ∩ G0 ≠ Ø，即存在 x ∈ N， N ╞ x ∈ G0 且 N ╞ ┌m0 ╞ x ∈ D0¬ (即 m1 ╞ x ∈ D0)，因此 G1 ∩ D1 ≠ Ø.

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