第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-7)

我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中.我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合.人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理.集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义.然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的.传统实在论的目的就是逼近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立.显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.

集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的.或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真充分的。传统实在论的目的就是通近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立。显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.

集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的。或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真.

5.1.1 构造集合论模型

多宇宙观产生的学科背景是在近几十年，尤其是 Cohen 发明力迫法以后，各种“集合论模型”的“构造”已经成为集合论研究所无法离开的工具。例如，通过初等嵌入对大基数的定义。基数 κ 满足某个大基数性质，当且仅当存在一个初等嵌入 j：V → M，使得 κ 是j 的关键点。而被嵌入的集合论模型 M 往往是 V 的超幂或超幂的迭代.

构造集合论模型的作用更多地体现在作为不完全现象的例证，各种独立命题或一致性证明的发现，都可以看作是构造了某些集合论模型.在其中，那些命题最直观的是集合模型的构造.例如，假设存在一个不可达基数 k(参见定义 2.3.3)，那么 Vκ 就是一个 ZFC 的模型.如果我们取的 k是最小的不可达基数，那么 Vκ 会认为它里面没有不可达基数。因此

ZFC+存在不可达基数╞ Con(ZFC +不存在不可达基数).1

又由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，我们甚至可以找到一个可数的 ZFC 模型。它会“错误地”认为自己有不可数多的对象。在对运用力迫法证明一致性的叙述

中，我们往往会把原模型看作是一个可数模型，这让我们可以很直观地得出脱殊滤的存在，从而构造出力迫扩张。然而，要证明存在某个集合论理论的集合模型必须要假设一致性强度更强的公理系统.因此，从 ZFC 出发的针对其它命题与 ZFC 的一致性证明往往是相对一致性证明.即，我们先假设一个模型的存在,

1其实，证明不可达基数的一致性只需要假设 Con(ZFC)。假设 M 是 ZFC 模型，那么 M 中“所有在第一个不可达基数(如果存在的话)阶(rank)之下的集合”组成的类就是不存在不可达基数的模型.

再从这个模型出发，或限制或扩张，构造出一个满足特定命题的模型.

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