第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-11)

最后，我们证明 n1 = m1[G1],由定理2.2.16，我们只需证明 m1 ⊆ n1， G0 ∈ n1，并且 n1 所有元素，都是从 G0 和 m1 中参数可定义的。 m1 ⊆ n1、 G0 ∈ n1，由 N ╞ N0 = m0[G0]，存在公式 ψ 及参数 b ∈ m1 使得 N ╞ ┌n0 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y)¬。因而 n1 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y).

(5)嵌入回溯公理。给定模型 m11 ∈ M1，公式 φ1,φ2 和参数 a,b ∈ m11。假设 m11 认为：“ j01 (其中 j11 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ1[x,α]}) pilz,o]})是从自身到模型 m02 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ2[x,b]} 的 Σ0 初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为 ψ[a,b]，则 m11 ╞ ψ[a,b]. 由(5.2.1)， N ╞ ┌m01 ╞ ψ[a,b]¬. 再由注 5.2.3， N 认为 j1 确实是初等嵌入，由 N 中的回溯嵌入公理，存在 N 中 m00 以及参数 a0,b0，使得

N ╞ m00 ∈ M0 Λ a0,b0 ∈ m00 Λ ┌m00 ╞ψ[a0,b0]¬

Λ j00(a0) = a Λ j00(b0) = b Λ m01 = {x ∈ m00 ╞ φ2[x,b0]}

其中， j00 是模型 m00 中由公式 φ1 和参数 a0 定义的.

我们有， m10 ∈ M1；类似(5.2.2)， m11 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ2[x,b0]}，是模型 m10 中参数定义的类；在 m10 看来， j10 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ1[x,a0]}是

从自身到 m11 的初等嵌入，即 m10 ╞ ψ[a0,b0]；并且 j10(a0) = a,j10(b0) = b，从而 j10(j10) = j11.

定理 5.2.11（主定理）假设存在一个不可达基数 κ. 令 M = CCSMVκ(ZPC+Con(ZFC))是 Vκ 中所有可数的可计算饱和的 ZFC + Con(ZFC)模型组成的集合，则

MM = {CCSMN(ZFC) | N ∈ M}.

是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理.

证明首先，由于 κ 是不可达基数，那么 Vκ 是 ZFC 的模型.由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，存在一个 ZFC 的可数模型 (ω,R). 显然，该模型也在 Vκ 中，因此， Vκ 也是 ZFC + Con(ZFC) 的模型。类似地，我们可以迭代任意有穷次，如 Vκ ╞ ZFC + Con(ZFC + Con(ZFC)).

又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112)， M非空.

对任意 N ∈ M， N 是ZFC+Con(ZFC)的模型。由定理 5.2.5，CCSMN(ZFC)的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在 N 看来 CCSMN(ZFC) 中的模

型都是非良基的。由引理 5.2.10，从外面看， CCSMN(ZFC) 也确实是复宇宙.

现在我们只需要证明存在一个 MM 中的一个复宇宙，而 N 是其中的一个元素.

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