第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-12)

对任意 N ∈ M， Vκ ╞ ┌N ╞ ZFC + Th(N)¬。因而， TN = ZFC+{ Con(ZFC+Γ) | Γ 是 Th(N) 的有穷子集}是一致的，由之前的分析， Vκ ╞ Con(TN)。在 Vκ 中应用引理 5.2.8，存在 M ∈ M，在 M 看来 N 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，即 N 是复宇宙 CCSMM(ZFC) 中的元素.

从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到， ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系.虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数。但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理.更进一步，我们可以期望有任意 n 阶甚至 α 阶的复宇宙公理。它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构。事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙

之间的关系，与哥德尔的“之集合” (set of) 运算的直观都非常接近。复宇宙是集合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合。而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复宇宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙,无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与 ZFC 中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的。如果，我们仅把 ZFC 所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合。不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象。至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质。某个大基数公理说“性质 P0 不足以描述宇宙之大”，这本身是描

述宇宙之大的性质，我们称作 P1，而更大的大基数又说“P1不足以描述宇宙之大”。如此不断扩展.

同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象，即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙。把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要。重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合。换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾：如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和 ω 之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样.因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙。正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性.

哥德尔在 [19] 的脚注 18 中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达.

类似地,“集合的性质”(集合论的第二个主要术语）的概念给出关于它的公理的扩展。更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入。由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界

域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知).

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