第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-1)

注：特殊篇章有二种解释方案。

NF体系版绝对无限=Ω

额外构造解释说明：

反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。

不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。

推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

巨大基数：存在一个大基数对象k，其能够使得ZFC+ω₁，系统域系统域中σ理想是一个“ω₂饱和态的。我们构造：嵌入j：V→M任意初等嵌入都满足crit (j)=k 以及ℷᴍ⊆M且存在第n次迭代所形成jⁿ的拥有与其相同为属性并再满足ℷ＜jⁿ。并有进一步构造初j：V→M满足crit(j)=k，那么M在长度为ℷ下的序列

=sup{jⁿ(k)n∈w)}下是封闭的，那么对于n∈W中如果是对于所有的ℷ＜j(k)情况的话就有

一个殆巨大基数：对于以上，我们依旧有：

巨大基数：iff 1-Huge

n-巨大基数：j：V＞M，crit j) = K且ʲⁿ⁽ᵏ⁾ M⊆M

超巨大基数：j：V＞M，crit(j)=K且ʲ⁽ᵏ⁾

M⊆M，ℷ＜j(K)存在一个语言〈∈，j〉：一个普通的集合论语言〈∈〉+一个额外的一元函数符号 j 表示初等嵌入。那么 Wholeness Axioms 可以通过〈∈，j〉进行形式化。由此生成一个层级：WA₀，WA₁，···，WA＿

∞Wholeness Axioms 作为非平凡初等嵌入

j：Vλ→Vλ 之一致性断言的弱化：〈Vλ，∈，j〉是一个 WA 的模型。Remark. Wholeness

Axioms 同样可以断言一个非平凡初等嵌入

j：V→V的存在性。Theorem.若WA0本身是一致的。那么语句V=HOD 也是一致的。另外。为了断言 ZFC+WA 的传递模型之存在性。可以有〈Axiom I4n：n∈ω〉.Remark.

Axiom I3 作为 Axiom I4n 的极限。下列基数会引发在kunen不一致，是与ZFC不相容的“极大的大基数”存在一类基数会在ZFC内导出矛盾式，如0=1compact-like：见证所有的对于 δ≥κ 其初等嵌入 j：V→M 会见证 δ -超紧致性使得 M 表明了 κ 是一个

excessively β -hypercompact且对于β＜α 的excessively α=Ord -hypercompact。一个弱κ - 模型 M 拥有 κ 的大小以及κ+1⊆M 使得〈M，∈〉⊨ ZFC−. κ - 模型就是添加条件

M＜κ⊆M.

第一种方案构造公式：

莱因哈特基数

Kunen  ( 1971 ) 证明了他的不一致定理，表明存在一个初等嵌入j:V→V与选择公理的NBG相矛盾（并且 ZFC 扩展为j). 他的证明使用了选择公理，而这样的嵌入是否与没有选择公理的NBG（或ZF加额外符号一致仍然是一个悬而未决的问题j及其伴随的公理）。

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