Kunen定理不仅仅是 Suzuki ( 1999 ) 的结果,因为它是 NBG 的结果,因此不需要假设j是一个可定义的类。另外,假设0^#存在,则存在传递模型的基本嵌入MZFC(实际上是 Goedel 的可构造宇宙L) 进入自身。但是这样的嵌入不是M.
Reinhardt基数有一些变体,形成了断言基本嵌入存在的假设层次结构V→V.
超级莱因哈特基数是κ这样对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.
J3:存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V
J2:存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V和直流DCλ持有,在哪里λ是临界点以上的最小不动点。
J1:对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.
J1 和 J2 中的每一个都立即暗示J3。基数κ正如在 J1 中一样,被称为超级莱因哈特基数。
冯诺依曼宇宙V:
假设V=终极L,则连续统假设为真.更进一步,如果V=终极L是真的,那么就存在一个独特的集合论模型,从某种意义上来说它就是真实的集合宇宙.
有一V_λ,若λ=a+1,则V_λ=P(V_a),若λ为极限序数/若λ=a+1,则 V_λ=∪_k<λ V_k,∪_k V_k,k 跑遍所有序数
集宇宙V
V是全域或全集(NF上),V也可以为全体集宇宙
由冯诺依曼构造的V如下
1、以V_0为空集(LateX上可以写作代码\emptyset),由于空集为所有集合的真子集,因此,对于V_0,都有V_0 ⫋ V_x(这里借用x来表示任意非空集合)或V_x=P(V_0)
若Ø+x=β∧β+x=α⇒α=P(β)=P(P(Ø)),在V中,可表示为U{V_0:Ø∈β∈α}。
聊到这里,我们就要引入Ord,Ord是所有序数的类,任意序数均为Ord的成员,集合则为V或V_Ord的成员。在前面的V_α,其实有V_α=U{V_0:Ø∈β∈α}⇒
V=U{V_0:Ø∈β∈α∈Ord}。
还有就是L或终极L,这是V的内模型(在ZFC或ZF中,跟Ord一样可以包含所有序数的模型称为内模型),如果V和L是集合的话,L其实就是V的真子集(不过这个真子集在高度上,与V一致,但宽度要细于V)。但ultimate-L并没有人构造出,不过可以肯定的是:对L的堆叠会拨高层谱的宇宙的高度(与V一致),使得它包含一种包括V在内的ZFC模型。
复宇宙
先来说一下超类:我们会把一般的类称为集合,就像Ord、V这种不能集合的类或汇聚成类的类就是真类,若真类汇聚成新的类,就是超类,若是集宇宙的汇集,那这样的“类”连类不是(包括真类),称为真超类。
用层谱来解释
集合(包括空集和子集、真子集、幂集这些非原集合)是V_Ord中的成员,像上楼一样,如果N表示任意一个集合的话,那么
∀N:V=U{V_N:N∈Ord}
(对于任意N,都有N属于V_Ord)
而类特指不是V_Ord成员的类,若N为类,则N不属于V_Ord。真类居于高于V_Ord一个层谱的对象(可以记作V_Ord+1),而超类居于更高层谱的对象(记作的话,为V_Ord+2)。真超类就是特指不居于V_Ord+1的类,因此 真超类至少居于V_Ord+2,而且有更高类型。
复宇宙就是真超类的典型。
脱殊复宇宙
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