特殊篇章世界基数（第二方案） (15-9)

而对任意β＜δα 均存在秩最小的 Mᵦ，取Mδα ∈ M 使得 α 在 M 中可定义并且{Mᵦ：β＜δα} ∈ M，则 M 认为 δα 是最小的 α-原始伯克利基数。从而对任意使得 crit（j）＜δα 的 j ∈ ℜ（M），都有j（κ）=κ 。

（2）　　

定理：对任意传递集 δα ∈ M 均存在 j：M → M 使得α＜crit（j）＜δα 并且 {α＜δα：j（α）=α}=η₀

＜δα

，定义j（ηₙ）=ηₙ₊₁，则

sup{ηₙ：n ∈ ω}=δα 。

由于 δα 为最小的 α-原始伯克利基数，所以对任意 ηₙ，M 都不认为 ηₙ 是α-原始伯克利基数，从而总存在

ηₙ ∈ Mₙ 见证 ηₙ 不是原始伯克利基数，而秩最小的 Mₙ 均存在于 M 中。

由于 j（δₙ）=δₙ₊₁ 蕴含

j（Mₙ）=Mₙ₊₁ 且

{Mₙ：n＜ω} ∈ M，

对于

M*= M

∪{{（{Mₙ：n ＜ ω}，α）：α ∈ M}}

而言{Mₙ：n＜ω}是可定义的，

故 j* ：M* → M* 中有

j*（{Mₙ：n＜ω}）

={Mₙ：n＜ω}　

以及 j* （Mₙ）= Mₙ

将 j* 限制在 M 上即存在

j⁺ ∈ℜ（M）且 j⁺ （Mₙ）= Mₙ，

由于{ηₙ：n ∈ ω}在 δα 中无界，故

必有一 n 使得 crit（j⁺）＜ηₙ，将

j⁺ 限制在 Mₙ 上即

j⁺⁺：Mₙ → Mₙ 且

crit（j⁺⁺）＜ηₙ，则与 Mₙ 作为 ηₙ

不是 α-原始伯克利基数的反例矛盾 。

（3）

取一 crit（j）＜δα 的 j ∈ ℜ（Vλ），可知 jω（crit（j））= η ＜ δα ，

再取一 η＜crit（j⁺）＜δα 的 j⁺ ∈ ℜ （Vλ），可知 crit（j⁺）之下存在无界多的不可达基数，令 θ 是大于 η 的最小不可达基数，即有 j （θ）= θ ，将 j 限制在Vθ 上，则（Vθ，Vθ₊₁）╞ ZF² + ∃j：V→V

（4）

若κ是无界闭伯克利基数，则（Vκ，Vκ₊₁）╞ ZF²＋∀A∃A-超级莱因哈特基数

取（2）中使用的技巧，对任意A，都存在 κ∈M，A在M中可定义，从而j∈ℜ（M）均有 j（A）=A 。若不存在一个 δ ∈ κ，使得对任意α ∈ κ 都有j∈ℜ（M）使得crit（j）=δ 以及α＜j（δ），即对所有 j ∈ ℜ（M）的 crit（j）=δ，均存在 α ∈ κ，使得 j（δ）＜α 。即最小的 α 为 αδ，定义无界闭集 C ⊂ κ为{γ＜κ：∀δ（δ＜γ → αδ ＜γ）}，取（2）中使用的技巧同样使得 C 在 M 中可定义，则有

δ ∈ C → j（δ）∈ j（C），矛盾。

另外，对任意无界闭集 D ⊂ κ，都存在一个 M 使得 D 在 M 中可定义，取 D∩C 即可证明 D 中存在一个超级莱因哈特基数。

T₀： 大于 Ord 的“不可达基数”也会是“∑₁₋正确基数”，这将揭露出那个“超宇宙”的冰山一角。

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