特殊篇章世界基数（第二方案） (15-8)

Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质:

对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有(Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

　　j1 ，j2，j3……j1：（Vκ，∈）→（Vκ，∈），j2：（Ⅴκ，∈，j1）→（Vκ，∈，j1），j3：（Vκ，∈，j1，j2）→（Vκ，∈，j1，j2）

等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。

第二方案：构造

伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M＜M和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j＜K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y＜k。

超级莱因哈特基数与伯克利基数的额外构造与证明解释方案：

定义δα为最小的α-原始伯克利基数，则对任意传递集δα ∈ M均存在j：M → M 使得α＜crit（j）＜δα

定理：对任意传递集δα ∈ M 以及 β＜δα，均存在j：M → M 使得 β＜crit（j）＜δα 。

证明：假设存在传递集δα ∈ M 以及 β＜δα，使得对任意 j：M → M 均有crit（j）＜β＜δα，那么对任意传递集δα ∈ M，若存在β＜δα 使得对任意 j：M → M均有

crit（j）＜β＜δα，取最小的β记为η，对应的 M 记为 Mη，那么对任意传递集 η∈M，都可取一个传递集 δα ∈ M*，使得{Mη，M，η}∈ M* 在 M*中可定义，那么对于j*：M* → M*，j* 限制在 M 上即是 j：M → M 并且α＜crit（j）＜η，η就是最小的可被证明是α-原始伯克利基数的序数，同时有η＜δα，予盾。

由于δα为最小的α-原始伯克利基数，那么对任意 β＜δα，均存在 Mᵦ 使得β∈Mᵦ但不存在 j ∈ℜ（Mᵦ）使得α＜crit（j），Mᵦ 即见证 β 不是最小的α-原始伯克利基数的反例。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。