特殊篇章世界基数（第二方案） (15-7)

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

超紧致基数

如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。

若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。

假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在ρδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足

(1) ρδ(λ) ∩ N ∈ U ；

(2) U ∩ N ∈ N ，

就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。

巨大基数：V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。

超巨大基数j:V→M，cr(j)=k并且j(k)＞λ，λ＞k，M对长度为j（λ）的序列封闭）可测基数集合S上的一个二值测度（a two-valued measure）μ是指一个定义在S的幂集P（S）上的函数，对于每一x∈P(S)，μ（x）=0或μ（x）=1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素（在μ下）的值为0，则μ（∪Σ）=0。测度μ称为非不足道，如果∪（S）=1，并且对于S的每一有穷子集x，μ（x）=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数

伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

公理I3~I0

I3： 存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。

I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。

I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。

I0：存在 L(Vλ+1 ) 的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。

第一方案：构造

莱因哈特基数

莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点

j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.

还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数

第二方案：构造

超级莱茵哈特基数：超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)＞α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

第一方案：构造

伯克利基数

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