数学联邦政治世界观
超小超大

特殊篇章世界基数(第二方案) (15-6)

强拉姆齐基数:一个为κ的强拉姆齐基数,而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M,κ-模型M可数完备,〈M,U〉满足κ-完备,它必然是正确的,因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同,强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

可测基数

为了定义这个概念,人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ,它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集,使得κ本身很大,∅并且所有单例{ α },α ∈ κ很小,小集的补集很大,并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明,具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上,可测基数是不可数基数κ,使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。(这里术语k-additive意味着,对于任何序列A α,α<λ的基数λ<κ,A α是成对相交的小于κ的序数集,A α的并集的度量等于个人A α的措施。)

强基数

如果λ是任何序数,κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M

也就是说,M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数

f : λ→λ

存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M

来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f)(κ)⊆M

一个等效的定义是这样的:

λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的

A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的

超强基数

当且仅当存在基本嵌入 j :V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M

类似地,基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro Kanamori已经表明,对于每个n>0,n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。

弱紧致基数

对于一阶逻辑语言的扩张Lλμ,即对任意α<λ,

允许语句的α次合取∧ξ<αΦα和或取Vξ<αΦα仍作为一个语句;以及对任意β<μ,允许语句中出现β次存在量词∃ξ<βxξ和全称量词∀ξ<βxξ;若Lκκ的字母表仅含有κ个非逻辑符号,并且Lκκ的子集(语句集)T存在模型(一致)当且仅当T的每个基数<κ的子集∑都存在模型(一致),则称κ是弱紧致基数。

强紧致基数

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时,基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的,其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的;那么κ是强紧致的,如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说,从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性,并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在,与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数,或者第一个强紧基数是超紧基数;然而,这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的,但至少这样的极限不是超紧的。

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