特殊篇章世界基数（第二方案） (15-5)

若 α 满足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)≺(Vκ,f[f′[S′]],∈)，则称 α 为Nanachi 

Vκ⊨∀α∃β(β=ℵα) 即可知 κ 为极限基数，但 κ 为正则基数则取决于不存在以 κ 为值域的共尾映射的定义域非 κ ，是一则相对于 κ 的 Π1 1 命题。

不可描述基数

基数K称为∏n

m-indescribable如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n

不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

强可展开基数

形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临界点为κ且j(κ)≥λ。

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。

基数κ是强λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数 κ 的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模

型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。

可迭代基数

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数

让[ κ ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果

对于每个函数， 基数κ实际上

被称为Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据

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