特殊篇章世界基数（第二方案） (15-4)

令 FX={φn(X):n∈ω} 是对所有以 X={α:Vα≺Vκ} 为参数的公式的枚举，定义函数 gφn(X):κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ ，再定义 gFX(α)=⋃{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，则对 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)

称 κ 是不可达基数，当且仅当对任意 X1,…,…Xn⊆Vκ ，均存在 α＜κ ，使得 Vκ⊨φ(X1,…,…Xn)↔Vα⊨φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。

假设 κ 是奇异极限基数，考虑到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但对于任意 β＜κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因为 dom(f∩Lβ)≠α 

假设 κ 是正则后继基数，考虑到双射 f:α+→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但对于任意 β＜κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足 ∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因为 κ=α+ 而 κ 之下不存在一个 β=α+=κ

假设 κ=ω ，则显然 (Vω,∈)⊨∀x∃y(x∈y) ，而 (Vn,∈)⊨¬∀x∃y(x∈y)

取 S⊆P(κ) 满足 ⊘∉S 且 X={α:Vα≺Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α＜κ:(Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)} 和对任意 γ＜κ 都有 ⋂a＜γXα∈S 且有 {Xα:α＜κ}⊆S

→{α＜κ:α∈⋂β＜αXβ}∈S ，则称 S 是对 {α:Vα≺Vκ}的 0-闭包，记为 G({α:Vα≺Vκ})

定义 S 上的选择函数 f(X) 为 X 在 ∈ 关系下的最小元，

取 S′⊆P(P(κ)) 满足 ⊘∉S′ 且 S=G({α:Vα≺Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α＜κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)≺(Vκ,f[S],∈)}) 

和对任意

γ＜κ 都有 G({α＜κ:(Vα,Vα∩⋂β＜γf[Sβ],∈)≺(Vκ,⋂β＜γf[Sβ],∈)})∈S′

且有

{Sα:α＜κ}⊆S′

→G({α＜κ

:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈⋂β＜αf[Sβ]},∈)

≺(Vκ,{α＜κ:α∈⋂β＜αf[Sβ]},∈)})∈S′ 

，则称 S′ 为对 {α:Vα≺Vκ} 的 1-闭包，记为 G′({α:Vα≺Vκ})

由于 S 上的选择函数 f 是 S 到 κ 的单射，故 |S|=κ 。又由于 ⊃ 是 S′ 上的良序关系，且 G({α:Vα≺Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定义 S′ 上的选择函数 f′(S) 为 S 在 ⊃ 关系下的最小元，则 f(f′(S)) 为 f′(S) 在 ∈ 关系下的最小元。

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