特殊篇章世界基数（第二方案） (15-3)

而这里，之所以 β 要归零只留一个变元是在于 α≤Ψα(0)＜Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。

进一步推广到任意序数元的情形，令 αϕβ 表示从右往左数位置为 β 的参数 α ，其余为零。如 Ψ(1ϕ3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 αϕ0 的情况则表示最右边的位置为 α

定义 Ψ(S,0ϕβ,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意长（可以为 0 长）的序数串，Ψ(αnϕβn,⋯,α2ϕβ2,α1ϕβ1,γϕ0)=min{δ|∀ξ＜α1∀η＜β1(Ψ(S,ξϕβ1,δϕη)=δ)∧∀ξ＜γ(Ψ(S,α1ϕβ1,ξϕ0)＜δ)} 其中S=αnϕβn,⋯,α2ϕβ2 ，也就是说你依旧只需要看 Ψ(α1ϕβ1,γϕ0) 这两段而已，但要注意的是，βn＞⋯＞β2＞β1＞0 ，因为同一位置不能即参数为 α 又参数为 β ，尽管它是描述 Ψ 在超限多参数的情况，但这里更多的是表示哪些位置有哪些参数。

以 Ψ(1ϕω,γϕ0) 为例，小于 1 的只有 0，0ϕω 就直接被去掉了，但对于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1ϕω,γϕ0) 则会成为 Ψ(xϕη) 的不动点。并且对于所有小于 γ 的 ξ ，鉴于 γϕ0 其实就是表示最右边的数为 γ ，这其实就是表示第 γ 个 Ψ(xϕη) 的不动点，自然平凡的有

Ψ(1ϕω,ξϕ0)＜Ψ(1ϕω,γϕ0) ，或者说 Ψ(1,…,0,ξ)＜Ψ(1,…,0,γ)

再以 Ψ(2ϕω+ω) 为例，这里 γϕ0=0 ，但它并不是首个 Ψ(1ϕω+ω,x) 的不动点，而是对于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1ϕω+ω,xϕα) 的不动点。对任意 κ ，Ψ(λϕκ)=λ 都是存在的，但对于 1＜λ ，Ψ(λϕκ)=κ 是不存在的，毕竟 λ≤Ψ(1ϕλ)＜Ψ(2ϕλ) ，而 Ψ(1ϕλ) 的情况会对于所有 α＜λ ，成为 Ψ(xϕα) 的不动点。

而所有这样得到的世界基数，都仍是小于最小不可达基数的世界基数。特别的，令定义中的 Ψ(α)=gF(α) 更改为 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 个世界基数，则都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一个性质——

VΨ(1,1)⊨φ↔VΨ(1,0)⊨φ

假设 Ψ(1,1) 是第 α＜λ 个世界基数，VΨ(1,1) 满足存在 ＜α 个世界基数，则有 VΨ(1,0) 满足存在 ＜α 个世界基数，而 Ψ(1,0) 本身亦是一个世界基数，与 Ψ(1,1) 是第 α 个世界基数的假设矛盾。

假设 Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的满足 λ 是第 λ 个世界基数，则 VΨ(1,1) 满足世界基数在其中无界，同样有 VΨ(1,0) 满足世界基数在其中无界，与 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假设矛盾。

若对两个世界基数 α,β 有 Vβ⊨φ↔Vα⊨φ 则称 α 为大世界基数，将 W(α) 改写为 1+α 个大世界基数，则 Ψ(1,2) 具有的一个性质—— VΨ(1,2)⊨φ↔VΨ(1,1)⊨φ 同样超越这些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)⊨φ↔Vκ⊨φ 的初等子模型，因而远大于此。

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