特殊篇章世界基数（第二方案） (15-2)

若 Q1x1 为 ∀x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈Vα¬Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

令 F={φn:n∈ω} 是对所有公式的枚举，定义

fF(x1,…,xn)=⋃{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即为某个 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ∃xφ(x,…,xn) 类命题成立的 x ，若不包含使得形如 ∃x¬φ(x,…,xn)类命题成立的 x ，即意味着 ¬∃x¬φ(x,…,xn)↔∀xφ(x,…,xn) 成立。既然 ∀xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在这样的 x 。

任取 Vγ 递归定义： Vγ0=Vγ ；

Vγn+1=Vγn∪⋃{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；

 Vλ=⋃n∈ωVγn 

则 V⊨φ(x1,…,xn)↔Vλ⊨φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基数，则 V=Vλ ，λ 是最小的世界基数（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ⊨ZFC 的 λ

若 κ 为不可达基数，同样有 Vκ⊨ZFC 。对任意形如 ∃xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。而对任意形如 ∃xφi(x) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。

令 F={φi:i∈ω} 是对所有公式的枚举，定义 gF(α)=⋃{gφi(α):φi∈F} ，则每一个满足 gF(α)=α 的 α 都是世界基数。

定义 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 为任意长序数串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特别的，Ψ(α)=gF(α)

Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|∀δ＜α (Ψ(S,δ,γ,Z) =γ) ∧∀δ＜β(Ψ(S,α,Z,δ)＜γ)} ，其中 0＜α ，S 为任意长（可以为 0）序数串， Z 为任意长（可以为 0）的 0 字符串

如 Ψ(α,β) ，这里 S 和 Z 的长度均为 0，从而对于所有 δ＜α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且对所有 δ＜β ，Ψ(α,δ)＜Ψ(α,β)

后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段， Z 发生了移位，这表明了 α 的递减会使得右边第一个数 β 变为 0 ，并且需要看往左数第一个非 0 序数，也正是发生的另一个改变的数—— α 右边第一个0 代替了 β 成为了 δ 管束下的变元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。

以 Ψ(1,0,0) 为例，由于要求 0＜α ，所以这里 α 只能是 1 ， S 再次长度为 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的数只有 0，所以这里发生的改变是 0 右边的 0 变成变元，而 β归零，Ψ(1,0,0) 将成为 Ψ(0,x,0) 的不动点。而开始已经说了，首位为 0 的情况直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。

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