特殊玄宇宙第二版本篇章（数学模型） (10-6)

回想一下塔斯基关于真理的不可定义性的结果的以下版本：

命题 24. 参数来自 V 且在 V 中成立的句子集合为

在 V 中不能用参数（一阶）定义。

然而令人惊讶的是，麦克·斯坦利证明了 OMT(V ) 确实可以是 V -可定义的。

定理 25. (M.Stanley [30]) 假设在 V 中存在一个真类可测基数，并且该类实际上是 V+-平稳，即 Ord(V ) 是正则的，相对于V+-可定义函数，此类与 Ord(V ) 中的每个俱乐部相交

这是V+-可定义。那么 OMT(V ) 是 V 可定义的。

证明。使用 V 逻辑，我们可以翻译这样的陈述：一阶句子 phi

（参数来自 V ）在 V 的所有外部模型中都适用于句子的有效性∗

在 V 逻辑中，可以通过 V 表达的事实

+ 由 Σ1 句子组成。使用这个我们表明V 的所有外部模型中都成立的 phi 集合是 V 可定义的。

由于 Ord(V ) 相对于 V 是正则的

+-可定义的功能我们可以组建一个俱乐部

Ord(V ) 中的 C，使得对于 C 中的 κ，存在来自 Hyp(Vκ) 的 Σ1 基本嵌入

进入V+（具有临界点 κ，将 κ 发送到 Ord(V )）。事实上C可以选择为在+-可定义。

对于 C 中的任意 κ 令 phi∗

κ 是 Vκ 逻辑的句子，使得 phi 在所有外部都成立Vκ 当且仅当 phi 的模型∗K

有效（Hyp(Vκ) 的 Σ1 属性）。通过基本性， phi∗K

已验证

当且仅当

∗

已验证。

现在假设 phi 在 V 的所有外部模型中都成立，即 phi∗

已验证。那么 ψ∗K是对于 C 中的所有 κ 均有效，并且由于可测量值形成 V

+-固定类，有一个可测量 κ 使得 phi∗K

已验证。

相反，假设 ψ∗K

对于某些可测量的 κ 是有效的。现在选择正常的

测量 κ 上的 U 并迭代 (H(κ+), U) 用于 Ord(V ) 步骤以获得有根据的结构（H*，U*)。（这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何A 中的测量可以迭代，而不会失去 α 步骤的有根据性，对于任何A 中的序数 α。）然后 H*等于 Hyp(V∗）对于一些V＊ ⊆ V 。根据基本原理，句子 ψ

∗V ∗ 断言 phi 在 V 的所有外部模型中都成立∗

已验证。但作为

在∗是 V 的内部模型， phi 也适用于 V 的所有外部模型。

因此，如果对于某个可测量的 κ 属于 OMT(Vκ)，则 phi 恰好属于 OMT(V )，并且这是一阶可表达的。✷

全知需要可测量的基数吗？事实上，斯坦利能够

只使用拉姆齐红衣主教，但就全知的一致性而言，我们有

下列的：

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