第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-4)

　　ForaLargecardinalaxiom Φ andextendermodels.thesimplestgoalofthelnnerModelprogramistoanswerthequestion：

　　Question

　　Assumethat Φ holds.MustthereexistanextendermodelsuchthatN≠V？

　　Theorem（Martin-Steel）

　　Supposethereisaproperclassofwoodincardinals.ThenthereisanextendermodelNforaproperclassofwoodincardinalssuchthatN≠V.

　　Theorem（Martin-Steel）

　　SupposethereisaproperclassofsuptrstrongcardinalsandthelterationHypothesisholds.ThenthereisisanextendermodelNforaproperclassofsuperstrongcardinalssuchthatN≠V.

　　Beyondsuperstrong：theUniversalityTheorem

　　Thcorem（UniversaΓtyTheorcm）

　　SupposethatNisaweakextendermodelforδissupercompact.

　　supposethatFisanextendersuchthat：

　　⇨CRT（F）≥δandNisclosedunderF.

　　ThenF丨N∈N.

　　⇨ForanyextendtrF.LisclosedunderFbutF丨L∉L

　　⇨AnyweakextendermodelforδissupercompactinhenitsallLargecardinalsfromVwhichoccuraboveδ.

　　Conclution

　　TheextensionofthelnnerModelprogramtothelevelofonesupercompactcardinalmustyieldtheultimateinnermodel

　　⇨itmustyieldanultimateversionofL.

　　Gödel’stransitiveclassHOD

　　⇨ForeachsetΧ，TC（Χ）isthesmallesttransitivesetMwithΧ∈M.

　　Deflnition

　　Foreachordinalα.HODα+1isthesetofallsetsΧ⊆Vαsuchthat：

　　1.ΧisdefinableinVαfromordinalparameters.

　　2.lfＹ∈TC（Χ）thenＹisdtfinableinVαfromordinalparameters.

　　⇨ThedefinitionofHODα+1isamixtureofthedefinitionofLα+1andVα+1.

　　OefinlenM（Gödel）

　　HODistheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈HODα+1forsomeα.

　　whatabutextendermodelsforsupercompactcardinals？

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