第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-5)

　　Deflnition

　　supposethatE=（Eα：α∈Ord）isasequence.

　　ThenEisweakly∑₂-definableifthereisaformua φ（x）suchthatforallβ∈ord.

　　⇨for all β＜η₁＜η₂＜η₃ .if

　　（E）ᵛᵉˢ丨β=（E）ᵛᵉˢ丨β

　　then（E）ᵛᵉ¹丨β=（E）ᵛᵉ²丨β=（E）ᵛᵉ³丨β.

　　where（E）ᵛ⁷={a∈Vα丨Vγ╞φ [a]}.

　　⇨Thesequtnce（HOD∩Vα：α∈Ord）isweakly∑₂-dtfnable.

　　Aseriousobstruction

　　⇨Assumethereisaproperclassofsupercompactcardinals

　　Byclassforcingonecanarrangethatthefollowinghold

　　1.V=HODandthereisaproperclassofsupercompactcardinals.

　　2.SupposeEisanextendersequencesuchthat

　　（a）L[E]isanextendermodelforδisasupercompact

　　（b）Eisweakly∑₂-deflnable.

　　ThenV⊆L[E].

　　Ramiflcations

　　RulesoutdeVelopingthelnnerModelprogramtothelevelofconstructingextendermodelsfor δ issupercompact.

　　⇨lnfactonecannotgobeyondtheMartin-Steelextendermodelsinanyessentialway.

　　Рartial-extendersandpartial-extendermodels

　　A partial-extender E of length η isobtainel from an elementary embedding.

　　j：N→M

　　whereN∩Р（η）=M∩Р（η）：

　　1.E has domain N∩P（η）：

　　2.E（A）=j（A）∩η.

　　Deflnition

　　AtransitiveclassNisapartial-extendermodelsequenceEofpartial-extenders：

　　1.N=L[E].

　　2.Nisaweakextendermodelfor Φ andthisiswitnessedbythe ∽₁：alextendersonthesequenceE.

　　Goodpertial-extendermodels

　　⇨Eveyweakextendermodelcanbere-organiＩedasapartial-extendermodel.therefore：

　　⇨ReguireagererakＩationoftheMostowskiCollapse.

　　Defmition

　　SupposeL[E]isapartial-extendermodel.ThenL[E]ispartial-extendermodelifforall

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