第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-3)

　　3.（Limitcase）Lα[E]=∪{Lᵦ[E]丨β＜α}.

　　⇨L[E]istheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈Lα[E]forsomeordinalα.

　　⇨lfE∩L=0thenL[E]=L

　　⇨ForeverysetΧthereisasetEsuchthatΧ∈L[E].

　　⇨ThisisequivalenttotheAxiomofChoice.

　　Thebuildingblocksforinnermodels：Extenders

　　supposethat

　　j：V→M

　　isarelementaryembeddingwithcniticalpointκ，κ＜η.andthat

　　Р（η）⊂M.

　　The（strong）extcnderEoflengthηdcrivedfromj

　　TheextenderEoflengthηdefinedfromjisthefunction：

　　E：Р（η）→Р（η）

　　whereE（A）=j（A）∩η.

　　TwoordinalsassociatedtotheextenderE：

　　⇨CRT（E）=min{α丨E（α）≠α}=κ.

　　⇨LTH（E）=ηwheredocn（E）=Р（η）.

　　Largecardinalaxiomsintermsofextenders

　　δ isastrongcardinalif

　　⇨foreach γ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　CRT（E）=δandLTH（E）≥ γ.

　　δisasupercompactcardinalif

　　⇨foreach γ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　E（CRT（E））=δandLTH（E）≥γ.

　　δisanextendiblecardinalif

　　⇨foreachγ＞δ thereexistsanextenderEsuchthat

　　CRT（E）=δ，E（δ）＞γ.andLTH（E）＞E（γ）.

　　weakextendermodelsandextendermodels

　　Foralargecardinalaxiom Φ：

　　Deflnition

　　AtrarsitiveclassNisaweakextendermodelforΦifΦiswitnessedtoholdinNbyextendersEofNsuchthat

　　E=F丨N

　　forsomeextenderF.

　　⇨lfΦholdsinVthenVisaweakextendermodelforΦ.

　　Deflnition

　　AtransitiveclassNisanextendermodelfor Φ ifforsomesequenceEofextenders：

　　1.N=L[E].

　　2.Nisaweakextendermodelfor Φ andthisiswitnessedbytheextendersonthesequtnceE.

　　ThelnnerModelprogram

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