第五章数学玄宇宙计划篇章 (9-7)

SIMH PD → Con(SIMH)

SIMH → 一个存在强基数的内模型

WR 拉姆齐基数 → Con(WR)

Omniscient 拉姆齐基数 → Con("V_k[G]是全知的")

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玄宇宙计划是目前依旧活跃的关于集合论哲学的研究计划。通过允许“Ord + 1”之类的对象在理论中被使用，简单粗暴的解决了高度潜在主义者的需求。而类-IMH公理所提供的外模型性质内模型化也解决了宽度潜在主义者的需求。宽度完成主义虽然更易被理解，但更难被一致地刻画出来。最后，本论文探讨了基数最大化的候选公理，以及在脱离HOD猜想的真值下将类-IMH公理一阶化的可能性（Omniscient）。

举一反三

虽然笔记作者并不是很接受这系列论文集合论哲学说书，但是毫无疑问的基数最大化和宽度最大化本身是很有研究意义的；IMH本身也非常有趣。

值得注意的是，玄宇宙计划的主要纲领和类型论哲学是可以产生对应的：

• 数学实践的丰富性：构造主义类型论需要死守canonicity，似乎注定了不会过于丰富。但即使不考虑Harvey Friedman's grand conjecture这种东西，“所有证明的规约都必须有一个绝对的有穷长度的停机的结果”似乎是一个对于所有数学家显然和必然的要求。

• 数学实践的基础需求：如前所注，类型论可通达范畴论进而通达布尔巴基，也可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，构造主义类型论在基础需求上完胜。

• 数学的真理论，和数学的最大化：对于真理论，构造主义类型论自然还是完胜。类型论哲学不关心最大化，但我们可以进一步的讨论。

（独立性）一个典范的类型论应该是一个对 ∑¹₂（α）∪Π¹₂句子绝对，或者至多 ∑ ¹₂（R）∪ Π¹₂（R）句子绝对的canonicity理论

这个很容易理解，如果有一个对 ∑ ¹₃ 句子绝对的canonicity理论，就意味着存在一个自然数理论下的可计算函数，给出了一个 ∑ ¹₃句子的证明，同时又存在另一个自然数理论下的可计算函数，给出了这个 ∑ ¹₃句子的否证，这相当于给出了无限多个不等价的自然数理论，这是非常魔怔的（虽然从超幂这种非标准自然数理论来看很正常）。

之所以可以将 ∑ ¹₂ （α）∪ Π¹₂ （α） 的 a 设定为实数集是因为可计算分析用的就是实数集；可计算超实数分析学不可能位于P（R） 而至多只能是 R→R 上的可计算函数的可计算函数

1.（最大性）一个典范的类型论应该包括所有canonicity的反射原理

综合以上全部：一个典范的类型论，应该是一个V=L或者L(R)的canonicity片段，并且包括V=L或者L(R)所容许的全部反射原理。或许还能有些许提升，但决不能超过0#：人类目前已知的绝大多数超图灵机，想要在0#之上多走一步都是没有希望的。

这意味着IMH，SIMH#，：SlMH#（ω₁，ω₂）的canonicity片段很有可能就是我们想要的候选者。

如果不考虑死守canonicity，那么Lean也就是高配的Morse–Kelley set theory，我除了范畴论还没见过哪一个数学细分领域声称自己MK集合论不够用的，因此和集合论哲学上的结论也不会有区别。

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