第五章数学玄宇宙计划篇章 (9-4)

即便允许V 、Ord 这样的对象是完成的对象，可以使用，但让人难以理解的是“Ord + 1”、“ Vord 之外”这样的概念。毕竟，除了它们没有良好的定义之外，我们还很难想象 V 之外的所谓“类似集合的对象”是什么样。[3]

　　V是不可辨认生成(indiscernibly-generated)的，如果

　1.有一个长度为 Ord 的连续序列 ᴷ⁰＜ᴷ¹＜…，使得 ᴷOrd=Ord，并且有换元初等嵌入 π i，j：V→V，其中 π i，j有临界点 π i，j有临界点 ᴷⁱ 并 sends ᴷⁱ to ᴷʲ. (没理解，不知道怎么翻译)

2.对于任何 ⁱ ≤ j，V的任何元素在V中都是可以被 π i j 和 {ᴋ* ：i ≤ *＜j}内的元素一阶定义。

　　这等价于#-生成。以后也用#-生成来称呼该公理。

　　#-生成意味着所有与V=L兼容的反射形式。如果0#存在，那么#-生成一致。因此，作者认为#-生成表达了最强的高度反射原理，因此可以合理地声称#-生成是表达V的高度最大化的最佳原则。

#-生成并不满足宽度完成主义：为了得到一个足以生成V的#-生成，我们必须要构造一个Rank小于Ord(V)的不属于V的集合。为了解决这个问题，引出了弱#-生成。

　　内模型假设(IMH, Inner Model Hypothesis)

• 如果一个一阶句子在V的某个外模型中成立，那么它在V的某个内模型中也成立。

在这个版本的表述中，我们可以把外模型理解为一个包含V的、与V的序数相同的、满足ZFC的传递集合V* ，内模型是指一个V的可定义子类，其序数与V相同，并且满足ZFC。根据激进潜在主义，ZFC的任何传递模型在更大的这类模型中是可数的，由此我们可以推断出V的丰富的外模型的存在。

IMH是一个非常“魔怔”的模型，它的一致性可以从PD（投影决定性），也就是ω个Woodin基数得出；但如此强力的模型之内却并不含有不可达基数。

IMH不满足宽度完成主义，为了实现宽度完成主义，接下来会转移到V-逻辑上。

V-逻辑(V-logic)

V-逻辑具有以下的常元符号：

1.α表示V的每一个集合a

2.V表示宇宙全体集合容器V

在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

∀b，b ∈ α，ψ（b）

1.├ ∀ X ∈ α，ψ（X）

　Vα，b ∈ V，ψ（α）

　├ ∀ X ∈ V，ψ （X）

作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 α 和表示V本身的常元符号 V ，而且还有一个常元符号 W 来表示V的 "外模型"。

类似于力迫法的发明路程，一个同时接受柏拉图主义和高度完成主义的人也会遇到类似的问题。[4]

我们增加以下新公理。

1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。

2. W是ZFC的一个传递模型，包含 V 作为子集，并且与V有相同的序数。

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