第五章数学玄宇宙计划篇章 (9-3)

• 幂集迭代的结果有一个 "极限"，还是总是可以进一步扩展到更长的迭代？前者称之为高度完成主义。反之为高度潜在主义。

• 幂集运算的结果是确定的还是总是有可能通过增加更多的子集来进一步扩展它？前者称之为宽度完成主义。反之为宽度潜在主义。

• 玄宇宙计划将遵循高度潜在主义和宽度完成主义：尽管我们有一个明确而连贯的方式通过迭代过程生成序数，但目前还没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集。

为啥宽度潜在主义是不太合理的？考虑这样的公理：

• 任何序数都是潜在的可数：对于V的任何序数α，我们可以将V增厚到α是可数的内模型M。

　　激进潜在主义：高度潜在论 + 宽度潜在论

• 即使只是宽度潜在主义（允许宇宙被加厚），也会迫使我们进入高度潜在主义：如果我们继续加厚以使V的每个序数都是可数的，那么在Ord(V)步骤之后，我们也被迫加长以达到一个满足幂集公理的宇宙 ᴹ⁰ 。在那个宇宙中，原来的V看起来是可数的。但是，我们可以用这个新的宇宙 ᴹ¹ 重复这个过程，直到 ᴹ⁰ 也被看作是可数的。之所以这满足了高度潜在主义，是因为我们不能以所有宇宙的联合来结束这个过程，否则这将不是ZFC的模型（幂集公理将失效），因此必须在高度上延长。

　　最大化协议

　　本协议旨在将高度和宽度最大化的研究，分成三个阶段。

　1.将序数最大化（高度最大化）。

2.在实现了序数最大化之后，再实现基数最大化。

3.在对序数和基数进行最大化之后，对幂集进行最大化（宽度最大化）。

　　阶段1通过#-生成完成，阶段3通过类-IMH公理完成；对于基数最大化，我们希望对于一切基数 ᴷ，ᴷ⁺ 尽可能大。

玄宇宙计划的已知结论（已被证明一致）

　三阶反射公理是不一致的[3]。但我们可以换个方式定义α阶反射原理。

　　扩展反射公理(ERA, Extended Reflection Axiom)

　• 如果V对ERA成立，那么存在一个ZFC的模型V*(称之为V的延展)，满足

P是一阶公式，P(A)在V*中成立，A是V的子类，存在V上的序数 α＜β，

使得 ⱽᵦ ╞ P （A ∩ Vα）.

　　到此，使用ERA，对于V*上的所有序数α，都可以描述V的α-反射。

　　-生成：(#-Generation)[1]

　　#-生成断言存在一种特殊的集合，叫做a# (sharp)，通过迭代“生成”V。一个最佳的反射原理产生了，因为这个迭代也为V产生了一个封闭的无界的不可知类，足以见证任何显然成立（V=L之内）的反射原理。至关重要的是，生成V的#不能是V的一个元素，否则这种最优性就不可能实现。

　　首先，设想V可以被看作是一个初等宇宙链 Vᴋᵢ ： ᵢ＜Ord的最后一步，我们设定 V=Vᴋord。我们可以继续构建这个 "超越 "V本身的链条，产生一个向上的初等宇宙链V=Vᴋord ≺ Vᴋord+1 ≺ Vᴋord+2 ≺… .

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