第五章数学玄宇宙计划篇章 (9-2)

通过玄宇宙计划，将有可能得出一个最佳的非一阶公理，表达集合论宇宙在高度和宽度上的最大化；这个公理将有与CH相矛盾的一阶后果（因此也包括V = L）。

• 集合论的真理论。

将会有一些集合论的一阶声明，它们能很好地满足集合论实践和解决整个数学的独立性的需要，而且这些声明可以从集合论宇宙的高度和宽度的最大化中推导出来。这样的陈述将被视为集合论的真实陈述。为了使一个与V=L相矛盾的一阶声明被视为真实，它必须很好地满足集合论实践和解决数学中的独立性的需要，而且它至少必须与最佳最大化标准所表达的集合论宇宙的最大化相一致。

• 超越一阶。

对于与V=L相矛盾的拟议的一阶公理的真实性，永远不会有共识；相反，真正的一阶语句将仅仅作为真正的非一阶公理的后果出现。

• 第一类证据

即使我们产生了一个很好的公理[2]，其形式为 "有（一切）大基数，V是L的典型泛化"，这样做也会使我们在一个类似L的环境中进行集合论。事实上，在集合论上还有其他令人信服的观点，它们将我们引向非类-L环境，并相应地引向完全不同的第一类公理。

• 力迫公理有很长的历史，可以追溯到马丁公理(MA)，这个简单的公理可以用来一举建立大量集合论语句的相对一致性。自然地，人们对MA的强化有兴趣，一个流行的强化是恰当力迫公理（PFA），它把这个公理强化到更广泛的恰当偏序类。而PFA自然的和类-L公理不兼容

• 在研究实数集的可定义理论和组合学特性时出现了大量的自然的基数，他们都是至多为连续统的不可数基数。这些特性提供了一个低于连续统的独特的不可数基数的大谱系，因此连续统确实相当大，与类-L性和力迫公理相矛盾。

　　因此，我们有三种不同类型的公理，具有出色的第一类证据：具有大基数的内模型公理、力迫公理和基数特征公理。它们相互矛盾，但每一个都与其他公理的内模型的存在一致。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足以确立集合论公理的真实性；它也不足以决定CH是否为真。

第二类证据

• 除了V=L和力迫公理，对集合论之外的数学产生了重大影响，大基数公理（如超紧致）和基数特征公理(Cardinal Characteristic Axioms)的影响很小，而 ADᴸ[R]的影响至今不存在。

• 作者预测，在解决整个数学的独立性的集合论公理的选择中，V=L和力迫公理将是绝对的赢家。但是，由于V=L与集合论宇宙的宽度的最大化相冲突，它不适合作为集合论真理论的实现，使得力迫公理成为目前领先的候选人。

笔记作者的评论：只要你接纳 canonicity ，V=L和力迫公理都不需要好吧，直觉一念起刹那天地宽，施主只使用数学的实践需求来作为公理的第二类证据的话为何不速速皈依我构造主义类型论门下？

我Cubical TT修炼范畴论内功可以继承布尔巴基之名，外功可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，你个L公理力迫公理也敢上门来和我斗实践需求的阵？

第三类证据

• 高度（或序数）最大化。宇宙V是尽可能高的，即序数序列是尽可能长的。

• 宽度（或幂集）最大化。宇宙V尽可能地宽（或厚），即每个集合的幂集尽可能地大。

• 如果M是宽度最大的，那么M的一个“增厚”性质在M的某个内部模型中也必须成立。在一阶属性的情况下，这被称为内模型假设，或者IMH(Inner Model Hypothesis)。

完成主义和潜在主义[3]

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