第一篇章数学阶层 (9-8)

　　不可达基数之上的路，楼主的图便是一个缩影。这个路到达0#，或者初等嵌入j：L→L的时候，出现一个转析。

　　前面所说的那些基数，都是“L中的基数”。L中可以容纳的基数，最多只到j：L→L，便到了尽头。若是从“外界”看，它们仍然是可数的，小于阿列夫1。

　　因此，

　　真正的阿列夫1，可以在这些“L中的基数”之上！真正的阿列夫1，若是放进OCF里，出来的则是L中从ω的简单运算到j：L→L这么一大堆东西的层次。这才是阿列夫1的真正大小。

　　ω_1（即阿列夫1对应的序数）是“正规”序数，即你不可能用小于阿列夫1个集合“叠”出ω_1。

　　同时我们考虑什么是“数量”。我们知道没法将ω（即阿列夫0）个“东西”——对应到ω_1（即阿列夫1）个东西上。形如ω+1，ω2等等序数都是可数的，它们并不比ω要多，它们只是排在ω后面。例如ω往后数1个序数是ω+1，ω往后数ω个序数是ω2，以此类推。

　　啥叫“无法从下往上叠到“？这我可不可以理解为不能从任何“基础”一点的运算达到？如果是的话，幂集属不属于“基础“运算，毕竟这算是集合论里的几个最基础的运算了。

　　那我取ω的幂集得到贝斯1（在GCH下等于阿列夫1，细节不讲）不就直接到达阿列夫1了吗？所以你可以扩充一下定义，“无法从下往上叠到”要求：首先κ不能通过“数”小于κ个集合达到，其次你不能通过幂集达到。

　　这就是不可达基数。

　　现在回顾一下hypcos所说的。

　　他用ω_1（又写作Ω或Ω_1）来“折叠”出更大的可数序数。在已知Ω正规不可数的情况下，我们很明确的知道这种方式弄出来的可能序数往往有较良好的规律。你可以想象这个Ω其实只是个占位符，它”标记”了你数到多大的可数序数。再看看他提到的admissible。我们常用的理论叫ZFC，我们再引入一个弱的新理论叫KP。

　　L_α“满足”KP的意思其实就是：假如你在KP“创造”的宇宙里，那你叠α步盒子得到的东西很有可能就是所有你能达到的东西。也就是说你绝不可能证明这个α真的存在（除非你事先假设好α存在），后面还有些细节这里就不说了（可构造宇宙，V和L之类）。

　　我们发现：ω_1^CK是最小的admissible，它可数而且恰好是最小的非递归序数（非递归是啥意思略）我们能说它不能被叠出来吗？这就看你自己的决定了。

　　数学其实最终只是给你提供的工具。它有什么用我们是不管的，只要你肯接受他就是有用的。

　　最后再列举一些大序数或基数：【注意：不按大小顺序排列】

　　ω_1^CK：不可计算，而且满足KP

　　l^CK：我们称为递归不可达，hypcos介绍过了

　　l：真正的不可达基数，上面讲过了

　　M^CK：递归马洛。

　　M：真正的马洛基数。定义是：无论你怎么叠盒子都有个小于M的正规基数你叠不到。

　　pi_3反射序数：略

　　K：弱紧致基数（参考楼主的图），它是不可描述的。从某种角度上来说如果你描述了它，那你一定描述了某些更小的东西。如果K有某些什么性质，那一定有很多比他小的东西也有相同的性质。

　　pi^1_2不可描述：同上，只是“更难描述”

　　+1稳定：是可数序数。如果你叠α层盒子得到的东西和叠α+1层盒子得到的东西差不多，那α是+1稳定的。

　　世界基数（worldlycardinal）：在ZFC里，V_（这个）可能是整个宇宙。即：ZFC证明不了它的存在。

　　（注意到V_l满足替换公理，解释略，因此l是世界基数）

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