第一篇章数学阶层 (9-7)

　　再往上，（+2）-稳定序数、（+3）-稳定序数、……每一层都新增ω个“概念”。

　　稳定序数并不止步于“α是（α+α）-稳定序数”，而是可以无限延伸。“α是（α+α）-稳定序数”也即“α是（α·2）-稳定序数”。继续往上，可以在稳定序数的级别上用乘法、乘方、ε数、ζ数、ф函数、Γ数等等来表达，甚至──

　　“α是（α之后的下一个admissible序数）-稳定序数”，它放进OCF里可以输出“α是（关于α的复杂表达式）-稳定序数”，这是一个全新的、无可比拟的水平。

　　甚至还可以继续往上，“α是（α之后的下2个admissible序数）-稳定序数”“α是（α之后的下ω个admissible序数）-稳定序数”“α是（α之后的下一个递归不可达序数）-稳定序数”等等。最后，“α是（α之后的下一个（+1）-稳定序数）-稳定序数”代表L_（β+1）的Σ_1-初等子结构，而L_β又是L_（β+1）的Σ_1-初等子结构。三个结构通过Σ_1-初等子结构环环相扣，形成了长度为2的稳定链。

　　稳定链可以继续加长。比如长度为ω的稳定链，其顶端称作nonprojectable序数。甚至可以从α出发，形成长度为α的稳定链；从α0出发，经过长度为α0的稳定链，到达α1，又经过长度α1的稳定链，到达α2；从某个序数出发，形成长度为α的稳定链，到达α自身。

　　稳定链的一种特殊形态，是其顶端α在{β＜αlβ是α-稳定序数}上具有某种反射或者稳定序数的性质。当它往原本的反射或者稳定序数的性质上“迭代序数自身那么多遍”的时候，稳定序数的层级也真正耗尽了。

　　而以上所有的层级，全部小于真正的稳定序数──α是稳定序数，即L_α是L的Σ_1-初等子结构。真正的稳定序数，只需一个，它的简单运算，就能在OCF里输出各式各样的稳定序数、稳定链。

　　这里是当今序数分析的最高水平，在此之上则是无人能及的领域。

　　β-稳定序数和稳定序数都有不止Σ_1的版本，比如Σ_2、Σ_3等等。在所有Σ_n之上，要用到初等嵌入j：L_（α+η）和

　　j：L_（α+η）→L_（ω_1+η），η每进一步就相当于Σ_n的ω个层级。

　　ω_1即阿列夫1，在OCF里，大概会输出这些复杂的初等嵌入。

　　从ω_1出发，可以做同样的操作（从ε数之类，到admissible序数，到稳定链，最后到这些复杂的初等嵌入），然后进入ω_2为准的层级。

　　需要指出的是，这是的阿列夫1之类并非真正的阿列夫1，而是（阿列夫1）^L──将公式中的量词全部约束到L内所得的定义，即“L中的阿列夫1”。在L里，GCH成立，aleph即beth。

　　α=beth_α，这种α叫做beth不动点。beth不动点也可以计数，得到beth不动点的不动点。若像ф函数那样延伸，则需要一个很大的基数，来在OCF里输出这些东西。这个基数就是poweradmissible序数。它就像admissible序数的V版本一般，同样具有许多“空洞”。

　　这样一来，还可以继续power不可达序数、powerMahlo序数、power反射序数（可以理解为弱化的、不含“任意谓词”的不可描述基数）、Power稳定序数等等。后两者不是简单地将L_α改成V_α，而是需要添加一个新谓词Card，表示“是不是L中的基数”，即模型＜V_α，∈，Card＞。当这些东西到达“powerΣ_n稳定”之上时，就到达ZFC的极限；当这些东西到达“power阿列夫1”时，也就是到达了那个常常被人们浅显地描述、低估的──不可达基数。

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