第一篇章数学阶层 (9-6)

　　2-递归不可达序数还可以如法炮制。更普遍来看，可以对任何序数α定义α-递归不可达序数，它既是admissible序数，又（对任意β＜α）是一系列β-递归不可达序数的尽头。高级的α-递归不可达序数，对于低级而言，那是怎么数都数不出来，甚至用上“下一个（不足α-级的）β-递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来。

　　这还不算完。α-递归不可达序数同样存在“空洞”。比如首个1-递归不可达序数、2-递归不可达序数、3-递归不可达序数、…的尽头，它不是ω-递归不可达序数，甚至不是admissible序数。α之下有任何（不足α-级的）β-递归不可达序数，这样的α也不是admissible序数。这么看来，α是α-递归不可达序数，这样的序数α就显得无比巨大，它叫超-递归不可达序数，或者记作（1，0）-递归不可达序数。

　　如法炮制。（1，1）-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一序列（1，0）-递归不可达序数的尽头；由于（1，0）-递归不可达序数有很多“空洞”，（1，1）-递归不可达序数就显得很大。更普遍来看，（α，β）-递归不可达序数ρ，既（对任意ν＜α）是（γ，ρ）-递归不可达序数的尽头。每一个层级对于更低的层级而言总是无比巨大。在此之上还有（1，0，0）-递归不可达序数、（α，β，γ）-递归不可达序数、（α，β，γ，δ）-递归不可达序数等等，像ф函数那样具有超级复杂的结构，而每一个层次的序数的简单运算都可以作为放进OCF里面输出低层次的复杂结构。

　　那么递归不可达序数这一系列的层次本身，这样复杂的结构，应当能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是递归Mahlo序数

　　递归Mahlo序数同样有“空洞”，所以“既是admissible序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数就显得更为巨大。“既是admissible序数，又是XX的尽头”可以反复操作下去，就像递归不可达序数的层次那样。在这些反复操作之上，则是“既是递归Mahlo序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数。在此基础上继续应用“既是admissible序数，又是XX的尽头”，所有层次之上，则又嵌套了一层“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”。如果反复用“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”的操作得到“超级层次”，那么所有这些超级层次的尽头，则是2-递归Mahlo序数。

　　α-递归Mahlo序数、（α，β）-递归Mahlo序数、（α，β，γ）-递归Mahlo序数、（α，β，γ，δ）-递归Mahlo序数等等也可以定义出来。2-递归Mahlo序数与3-递归Mahlo序数之间要有“既是admissible序数，又是XX的尽头”“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”“既是2-递归Mahlo序数，又是XX的尽头”共3种不同等级的层次。而α-递归Mahlo序数与（α+1）-递归Mahlo序数之间则有1+α种。

　　所有这些复杂等级结构之上，能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是Π_3-反射序数。如果说递归不可达序数靠“层次”，递归Mahlo序数靠“等级”输出“层次”，那么Π_3-反射序数就要靠第3个概念来输出“等级”。Π_3-反射序数之上有Π_4-反射序数，要4个概念来推进。Π_n-反射序数则要n个概念来推进。

　　所有Π_n-反射序数之上，则是一大类全新的序数概念───稳定序数。

　　α是β-稳定序数，既是L_α是L_β的Σ_1-初等子结构。

　　最低价的稳定是（+1）-稳定序数，即α是（α+1）-稳定序数。

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