第一篇章数学阶层 (9-5)

　　尽管这样大的序数无法“自下而上地叠加出来”，也就是没有直接的表现力，但它们可以通过更小的数之间的抽像的结构来间接地表现出其强度。此法也就是OCF（=ordinalcollapsingfunction）。

　　比如定义

　　C（α，β，0）=β

　　C（α，β，n+1）={γ+δ，Ψ_ν（ξ）lγ，δ，ξ∈C（a，β，n）且ξ＜α且ν＜ω+1}

　　C（α，β）=∪{C（α，β，n）ln＜ω）

　　Ψ_ν（α）=min{βlβ∉C（α，Ω_ν）}（其中Ω_0=1，对于α＞1则Ω_α=阿列夫α）

　　那么Ψ_0（Ω_1）=ε0，Ψ_0（Ω_1^2）=ζ0，

　　Ψ_0（Ω_1^Ω_1）=Γ0，Ψ_0（Ω_1^Ω_1^ω）=

　　SVO，而ε0、ζ0、Γ0、SVO之类都是由ω通过非常复杂的运算得到的结果，现在用阿列夫1的简单运算（比如乘法、乘方）就表示出来了。

　　这种复杂体现在序数函数不动点上。ω的乘方是加法的不动点，ε就是ω的乘方的不动点，ζ数又是ε数的不动点，ф（3，α）又是ζ数的不动点，

　　ф（4，α）又是ф（3，α）的不动点，……，Γ数又是ф（α，0）的不动点，……每一个层次都是前述层次无法企及的。当这些层次越来越多，就用Ψ_0把它归结为阿列夫1的简单运算；反过来，阿列夫1只要做一点点简单的运算，不放到ω的运算上，那都是非常高阶的层次。就好比某些设定里面，上界的一丝空气，放到下界就能变成一块大陆。

　　而这个Ψ函数还可以继续迭代。用阿列夫1的简单运算来表达ω的复杂运算；用阿列夫2的简单运算来表达阿列夫1的复杂运算，从而表达ω的更复杂运算；用阿列夫3的简单运算来表达阿列夫2的复杂运算，放到ω的运算上又变得更加更加复杂……

　　总之，OCF、大序数、大无穷的简单结构，来表达小序数，小无穷的复杂结构。

　　不过，上面那种方法并没有真正把阿列夫1的巨大体现出来，Ψ函数用到阿列夫一实际上是虚大了，其实用admissible序数就足以。

　　admissible序数是让L_a满足KP集合论的序数α。

　　admissible序数列举起来有“空洞”。比如前ω个admissible序数的尽头，它不是admissible序数。前（第1个admissible序数）个admissible序数的尽头，也不是admissible序数。α是前个α个admissible序数的尽头，这样的序数α还不是admissible序数。有一种非常非常巨大的admissible序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个admissible序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫递归不可达序数，既是admissible序数，又是一个系列admissible序数的尽头。

　　递归不可达序数列举起来也有“空洞”。前ω个递归不可达序数尽头，它不是递归不可达序数，甚至不是admissible序数。前（第1个递归不可达序数）个递归不可达序数的尽头，也不是递归不可达序数。α是前α个递归不可达序数的尽头，这样的序数α还不是递归不可达序数。有一种非常非常巨大的递归不可达序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫2-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一系列递归不可达序数的尽头。

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