数学联邦政治世界观
超小超大

第一篇章数学阶层 (9-4)

  德国数学家乔治:康托发现了无穷大的这种等级,他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性,解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之-。

  如我们所知,任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立对应的关系。对于无集这一点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实,-个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一对应的集。

  无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合(这是乔治康托称为阿列夫零的集合)可以与它的某一个真子集一应,并余下一个元素,或者五个元素。显然,这一程序可以变化,使得从一个阿列夫零集中减去它的-一个子集,这个子集也是阿列夫零集,从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

  还有一个办法可以使这一-减法形象化,想多有两根无限长的测量棒并排放在桌子上,艳”两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线,按厘米计数。两根棒在右端延深到无穷远,所有数都——对应:0-0、1-1、2-2等等。想象把一根棒向右移动n厘米。

  移动以后,那根棒.上的所有数仍与不动的棒上的数一-对应。如果那根棒移动了3厘米,则棒上教的对应就是0-3、1-4、2-5、……椤动的n厘米代表两棍棒长之差。不过,两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值,很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

  饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一对应,则余下的是-个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集,康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”,它说的是阿1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一-对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一对应,怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点;与一立方体中的点、与无限大空间中的点——对应,如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的占-对立。阿列夫1又称为“连续统的势”21。

  阿列夫2是一切可能的数学函数连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线,我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线,则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样,如果我们所指的曲线是在一-张邮票上,或者在一个无穷空间里,或者在一中=无穷超空间里的全部曲线,这一切都没有问题,仍是阿列夫2。

  阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1——对应。

  当一个阿列夫数被升级为它本身的幂,则产生一个更高级的阿列夫数,它不能与产生它的阿列夫数一对应。

  因此,阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

  在阿列夫数之间有没有什么超限数?比如说,有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小?

  康托确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。

  1938年,哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致性的。1963年,保罗样恩证明,如果人们假定存在中介数,这也不与集合论予盾。简言之,连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

  科恩的研究结果是:集合论分为康托型和非康托型的。康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康托型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中,发现平行线假设不能被证明后,几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

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