第一篇章数学阶层 (9-4)

　　德国数学家乔治：康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之－。

　　如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立对应的关系。对于无集这一点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，－个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一对应的集。

　　无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的－一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

　　还有一个办法可以使这一-减法形象化，想多有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，艳”两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延深到无穷远，所有数都——对应：0-0、1-1、2-2等等。想象把一根棒向右移动n厘米。

　　移动以后，那根棒.上的所有数仍与不动的棒上的数一－对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0-3、1-4、2-5、……椤动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

　　饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一对应，则余下的是－个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一-对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点——对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的占－对立。阿列夫1又称为“连续统的势”21。

　　阿列夫2是一切可能的数学函数连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一-张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一中=无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。

　　阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1——对应。

　　当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一对应。

　　因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

　　在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？

　　康托确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。

　　1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致性的。1963年，保罗样恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论予盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

　　科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康托型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

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