第十章Frobenius矩阵是指以下矩阵 (3-1)

Frobenius矩阵是指以下矩阵：

0 0 · · · 0 –α₀

1 0 · · · 0 –α₁

0 1 · · · 0 –α₂

A＝( ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ) ·

0 0 · · · 1 – αₙ₋₁

矩阵A拥有很多很好的特性，比如，A的特征多项式刚好为f(λ)＝λⁿ＋αₙ₋₁ λⁿ⁻¹＋· · ·＋α₁λ＋α₀；而且A的最小多项式 m(λ) 正好就是其特征多项式，即 m(λ)＝f(λ) 。

如果矩阵A是域F上的矩阵，从最小多项式可以看出，矩阵A可对角化当且仅当m(λ) 在域F中可分解成不同的一次因式的乘积，即存在 λ₁，λ₂，· · ·，λₙ ∈ F 使得 m(λ)＝(λ – λ₁) (λ – λ₂) · · · (λ – λₙ) 。

如果F是数域K，且m(λ) 在K中不可约，那么把A看成是复数域 ℂ 上的矩阵时，A可对角化。这是因为最小多项式在复数域上总有标准分解，若它在K上不可约，则 m(λ) 在K上没有重根，而有没有重根不随域的改变而改变，所以它在复数域上也没有重根。从而 m(λ) 在复数域上可以分解成不同的一次因式的乘积，即矩阵A在复数域上可对角化。

现在，我们来研究与A可交换的矩阵组成的集合C(A)＝{B ∈ Mₙ(F)|AB＝BA} 。题目出自丘维生《高等代数》第九章第7节课后习题。

定义F[A]＝{f(A)|f(x) ∈ F[x]} ，即域F上的多项式用矩阵A带入得到的集合。因为任意 g(x) ∈ F[x] ，有 g(x)＝bₙxⁿ＋· · ·＋b₁x＋b₀ ，其中 bᵢ ∈ F，i＝1，· · ·，n ，所以： g(A)＝bₙ Aⁿ＋· · ·＋b₁ A＋b₀l 。从这个表达式可以看出， g(A) 总是和 A 可交换的，所以我们总有 F[A] ⊂ C(A) 。

另外，不论是F[A] 还是 C[A] ，它们都可以看成是域F上的线性空间，这很好验证。

其中一个维度很好计算，dim F[A] 。我们知道 m(λ) 作为A的最小多项式，有 m(A)＝0 ，从而：Aⁿ＋αₙ₋₁Aⁿ⁻¹＋· · ·＋α₁A＋α₀l＝0.

所以，

Aⁿ＝ –αₙ₋₁Aⁿ⁻¹ – · · · – α₁A – α₀l 。任取 h(A) ∈ F[A] ，对多项式 h(x) 和 m(x) 做带余除法：

h(x)＝u(x)m(x)＋r(x)， deg r(x)＜deg m(x).

将A带入到上面的等式，得到：

h(x)＝u(x)m(x)＋r(A)＝r(A)，

而

r(A)＝qᵣ Aʳ＋qᵣ₋₁ Aʳ⁻¹＋· · ·＋q₁ A＋q₀，其中 r＜n 。也就是说， F[A] 上的任何元素都可由 l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 线性表出。

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