第十章Frobenius矩阵是指以下矩阵 (3-2)

还需验证l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 线性无关，假设 k₀l＋k₁ A＋· · ·＋kₙ₋₁ Aⁿ⁻¹＝0 ，令 υ(x)＝kₙ₋₁ xⁿ⁻¹＋· · ·＋k₁x＋k₀ ，则 υ(x) 是矩阵A的零化多项式，根据最小多项式的最小性，有 m(x)│υ(x)，然而因为 deg υ(x) ≤ n – 1＜n＝deg m(x) ，所以 υ(x) 只能为0多项式，即 υ(x)＝0 ，否则会出现 n＝deg m(x) ≤ υ(x) ≤ n – 1这种矛盾的结论。

这样，就有k₀＝k₁＝· · ·＝kₙ₋₁＝0 。这表明 l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 确实线性无关。

线性无关加上可表性，就可以断定l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 是线性空间 F[A] 上的一个基。所以 dim F[A]＝n 。

现在假设线性空间V上的线性变换A：V → V 使得矩阵A是线性变换 A 在V的一个基 α₁，· · ·，αₙ 下的矩阵。

那么，我们有：

(A(α₁))，· · ·，A(αₙ))＝(α₁，· · ·，αₙ)A，

从矩阵A的特性可以看出，

A(α₁)＝α₂，A²(α₁)＝α₃，· · ·，Aⁿ⁻¹(α₁)＝αₙ，

而

Aⁿ(α₁)＝A(αₙ)＝ –α₀α₁ – · · · –αₙ₋₁ αₙ 。因为 α₁，α₂，· · ·，αₙ 是线性空间V的一组基，所以 α₁，A(α₁)，· · ·，Aⁿ⁻¹(α₁) 是线性空间V的同一组基。

任何一个和A 可交换的矩阵 B ，在V中都有唯一的线性变换 B ，使矩阵 B 是线性变换 B 在基 α₁，· · ·，αₙ 下的矩阵，且线性变换 B 和线性变换 A 可交换。

而且，B(α₁)＝b₀α₁＋b₁ A(α₁)＋· · ·＋bₙ₋₁ Aⁿ⁻¹(α₁)。因为 B 与 A 可交换，所以，对于任意向量 α ∈ V ，设 α＝q₁α₁＋· · ·＋qₙαₙ ，有B(α)＝B(q₁α₁＋· · ·＋qₙαₙ)

＝q₁ Bα₁＋· · ·＋qₙ Bαₙ

＝q₁ Bα₁＋q₂ B(Aα₁)＋· · ·＋qₙ B(Aⁿ⁻¹α₁)

＝q₁ Bα₁＋q₂ A(Bα₁)＋· · ·＋qₙ Aⁿ⁻¹(Bα₁)

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝(∑ qᵢ Aⁱ ∑ bⱼAʲ) (α₁)

ᵢ₌₀ ⱼ₌₀

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝(∑ bⱼAʲ ∑ qᵢAⁱ) (α₁)

ⱼ₌₀ ᵢ₌₀

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝∑ bⱼAʲ (∑ qᵢAⁱ(α₁))

ⱼ₌₀ ᵢ₌₀

ₙ₋₁

＝∑ bⱼAʲ(α).

ⱼ₌₀

ₙ₋₁

令g(A)＝∑ bⱼAʲ ，上面的式子就表明

ⱼ₌₀

B＝g(A)。这就表明C(A) ⊂ F[A] 。这也同时表明，C(A) ⊂ F[A] 。结合之前推导的 F[A] ⊂ C(A) ，就得到了 C(A)＝F[A] 。而且 dim C(A)＝dim F[A]＝n 。

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