第八章拓扑空间上的Choquet Game (2-2)

另一方面，假设l 有一个必胜策略 {fₙ} 。设 l 先手枚举的元素为 U₀ ，下面证明 U₀ （作为开子空间）不是Baire的。我们递归的定义一个集合 S ⊆ (P(X))＜ω ，首先 ∅∈S ，若 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ₋₁，Vₙ₋₁) ∈ S，则 (U₀，V₀，· · ·，Vₙ₋₁，Uₙ) ∈ S ，其中 Uₙ＝fₙ(U₀，V₀，· · ·，Uₙ₋₁，Vₙ₋₁) ；另外，假设 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ) ∈ S，这时，先定义对每个 Vₙ ⊆ Uₙ 非空开， Vₙ*：＝Uₙ₊₁＝fₙ₊₁(U₀，V₀，· · ·，Uₙ，Vₙ) 。令 ν 为所有具有如下形式的集合的类： A ⊆ P(Uₙ) ∧ ∀V ∈ A(V is nonempty open) ∧ A*：＝{Vₙ*：Vₙ ∈ A}is a pairwise disjoint set.

上面的集合包含关系是个偏序，且每个链都有上界，由Zorn's Lemma，存在 νₙ ∈ ν 为极大元。这时，我们将所有 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ，Vₙ，Vₙ*) 放入 S ，其中 Vₙ ∈ νₙ 。注意到 uₙ＝{Vₙ*：Vₙ ∈ νₙ} 是两两不交的且 ∪uₙ 在 Uₙ 中是稠密的。

现在设Wₙ＝∪{Uₙ：∃(U₀，V₀，· · ·，Uₙ) ∈ S} ，则 Wₙ 是开的，而且在 U₀ 中稠密（这可以通过归纳得到）。我们断言 ∩ₙWₙ＝∅ ，如果存在某个 x ∈ ∩ₙWₙ ，则存在唯一的 (U₀，V₀，U₁，V₁，· · ·) ∈ [S] 使得 x ∈ ∩ₙUₙ （唯一性由 uₙ 两两不交得到），但这与 {fₙ} 为玩家 l 的必胜策略相矛盾。 ▢

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。