对概率的解释

概率是现代科学中最重要的概念，特别是因为没有人有丝毫的概念意味着什么。

- 贝尔特兰罗素，1929年讲座

（引用贝尔1945,587）

一个定期阅读和听到像以下内容的概率索赔：

民主人士可能会赢得下一次选举。

硬币就像尾巴一样陆地。

明天下雨有30％的几率。

镭自原子在一年内衰减的可能性大约为0.0004。

但这些陈述是什么意思？ 这可能被理解为关于什么类型的东西是概率的形而上学问题，或者更像是关于使概率陈述的真实或假的问题的问题。 在第一次通过，概率的各种解释回答了这个问题，一种或另一个方式。

然而，还有一个更严格的使用：正式理论的“解释”提供了其原始符号或术语的含义，以指示其公理和定理将其公理和定理转变为关于一些主题的真实陈述。 在概率的情况下，Kolmogorov的公务化（我们很快就会看到）是通常的正式理论，所谓的“对概率的解释”通常解释它。 该公理化引入了具有某些正式性质的功能'P'。 我们可能会问'什么是p？'。 我们将讨论的几个观点也回答了这个问题，一种或另一个方式。

我们的主题因概率有各种替代形式化而变得复杂。 而且，正如我们将看到的，一些领先的“概率的解释”不会遵守所有Kolmogorov的公理，但他们没有丢失他们的标题。 与概率无关的各种数量使得Kolmogorov的公理满足，因此在严格的意义上是“解释”：标准化的质量，长度，面积，体积和其他落在措施理论范围内的数量，抽象数学理论概括了这种数量。 没有人认真考虑这些是“对概率的解释”，因为它们在我们的概念设备中没有发挥权力作用。

也许我们会做得更好，然后将解释视为各种概率概念的分析。 或者仍然可能更好，我们可能会将其视为这种概念的错误，改善他们对哲学和科学理论化的富有成果（àlaCarnap1950,1962）。

但是，我们想到了，找到这种解释的项目是一个重要的项目。 几乎普遍存在。 它在几乎所有科学中都在发挥作用。 它是大部分社会科学 - 目睹普遍使用统计测试，置信区间，回归方法等。 此外，它发现了它的方式，融入了大量哲学。 在认识论中，思想哲学和认知科学，我们看到了由主观概率函数建模的意见的状态，并通过更新这些功能来建模的学习。 由于概率理论是决策理论和博弈论的核心，它具有道德和政治哲学的影响。 它占据了这种形而上学的宗旨，作为自然的因果和定律，突出了。 它在科学哲学中再次出现在分析理论，科学解释，以及特定科学理论的哲学中，如量子力学，统计力学，进化生物学和遗传学。 它甚至可以参加逻辑哲学的中心阶段，语言哲学以及宗教的哲学。 因此，在中央科学，社会科学，哲学关注的基础上，概率基础的问题至少间接，有时直接承担问题。 对概率的解释是最重要的这种基本问题之一。

1. Kolmogorov的概率微积分

2.对概率解释的充分性的标准

3.主要的解释

3.1古典概率

3.2逻辑/证据概率

3.3主观概率

3.4频率解释

3.5倾向解释

3.6最佳系统解释

结论：未来的前景？

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参考书目

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相关条目

1. Kolmogorov的概率微积分

概率理论是智力历史中的相对退化。 要确定，有关证据和推理的概率思想返回古代（见富兰克林2001）。 然而，概率的数学待遇必须等到菲尔德 - 帕斯卡的对应，以及他们对17世纪法国的机会游戏分析。 它的公务化必须等待仍然更长，在Kolmogorov的概率理论的经典基础（1933）中。 粗略地，概率位于0到1之间，它们是添加剂。 更正式，让ω是非空集（“通用集”）。 ω上的字段（或代数）是ω的子集的集合F，其具有ω作为成员，并且在互补（相对于ω）和Union下关闭。 让P是从F到遵守的实数的函数：

（非消极性）P（a）≥0，适用于所有a∈f。

（归一化）p（ω）= 1。

（有限的添加性）P（a∪b）= p（a）+ p（b）对于所有a，b∈f，使得a∩b=∅。

呼叫p概率函数，（ω，f，p）概率空间。 这是Kolmogorov的“基本概率理论”。

非消极性和归一化公理在很大程度上是约定的问题，尽管它是不普遍的，概率函数至少需要两个值0和1，并且它们具有最大值（与各种其他措施不同，例如长度，体积等，但是无限的）。 我们将在下面的许多点返回有限的添加性。

我们现在可以将理论应用于各种熟悉的案例。 例如，我们可以代表一个由设定ω= {1,2,3,4,5,6}折腾单个模具的结果，我们可以让F成为Ω的所有子集合。 根据F的概率的自然分配，我们获得如下所属的欢迎结果：

p（{1}）=

1

6

，

p（甚至）= p（{2}∪{4}∪{6}）

=

3

6

，

p（奇数或小于4）= p（奇数）+ p（小于4）-p（奇数无4）

=

1

2

+

1

2

-

2

6

=

4

6

，

等等。

相反，我们可以将概率附加到正式语言的句子的句子的成员，以（可计算）真实的 - 功能组合关闭，以下对手公理化：

所有aa∈s的p（a）≥0。

如果T是逻辑真理（在古典逻辑中），则p（t）= 1。

P（a∨b）=所有a∈和b的p（a）+ p（b），使得a和b逻辑上不兼容。

概率的承载有时也称为“事件”，“结果”或“命题”，但潜在的形式主义仍然是相同的。 在解释其持票人的情况下，已经提请更加关注“P”; 我们将关注前者。

概率的基本理论足以满足大多数日常应用的概率，大部分讨论都足够了。 但在数学，统计和科学中更进一步的治疗需要更多的数学复杂，涉及可数无限延伸。 （对数学细节不太感兴趣的读者可能希望跳到“条件概率......”下面的三个Paragaph。）现在让我们加强关于F的关闭假设，要求它在互补和可数联盟下关闭; 然后在Ω上称为Sigma字段（或Sigma代数）。 无论我们应该加强有限的添加性，因为Kolmogorov所做的那样：

3'。 （可数添加性）如果a1，a2，a3 ...是（成对）脱节集的可无限无限序列，则每个都是f的元素，然后

p（

∞

⋃

n = 1

一个）=

∞

σ

n = 1

p（一）

Kolmogorov评论，无限概率空间是真正随机过程的理想化模型，并且他只针对那些满足可数性添加性的模型限制了自己。 该公理是衡量理论的概率理论的同化的基石。

然后给出给定B的条件概率由无条件概率的比率给出：

p（a|b）=

p（a∩b）

p（b）

，提供p（b）＞0。

这通常是有条件概率的定义，尽管应该强调的是，这是一个可能与我们可能拥有的近似概念完全对齐的术语的技术用法（参见Hájek，2003）。 我们在比如“死亡陆地1的概率下的概率下的地方认识到它，因为它降落了奇数，是明天下雨的概率，因为明天早上天空中有乌云，很高”。 这是给出某些证据或信息的概率或鉴于某些证据或信息的概念。 事实上，一些作者采用条件概率是原始的概念，直接公开它（例如Popper 1959b，Rényi1970，范弗拉索1976，Spohn 1986和Roeper和Leblanc 1999）。

还有其他形式化可以放弃正常化; 这促进了可计算的添加性，甚至是添加剂; 这允许概率采取无穷大值（正，但小于每个正物数）; 允许概率是不精确的 - 间隔值，或者更普遍地用一组精确的概率函数表示; 并且对待概率相对不定值。 （见罚款1974年，哈尔珀2003，2016年，2016年，2016年，Hawthorne 2016，Lyon 2016年。然而，当我们谈论“概率微积分”时，我们将意味着Kolmogorov的方法，如标准。 查看Hájek和Hitchcock（2016B），以便对其进行相对的非技术介绍，用于哲学家。

鉴于某些概率作为输入，公理和定理允许我们计算各种进一步的概率。 但是，除了1到通用集和0到空集的分配之外，它们对概率的初始分配是沉默的。[1] 有关指导，我们需要转向概率的解释。 但是，首先，让我们列出了这种解释的一些充足率标准。

2.对概率解释的充分性的标准

适用于评估拟议概率解释的核对的标准是什么？ 当然，解释应该是精确的，明确的，非循环，并使用良好的原语。 但是，这些都是良好哲学的处方; 我们想要什么来自我们对概率的解释，具体呢？ 我们首先遵循鲑鱼（1966,64），虽然我们将提出一些关于他标准的问题，并提出一些其他问题。 他写道：

可否受理。 我们说，如果分配给解释中的原始术语转换正式公理的原始术语，并因此将所有定理转换为真正的陈述，则可以允许对正式系统的解释。 概率概念的基本要求是满足概率微积分的数学关系.....

ascertainability。 该标准要求有一些方法，原则上至少是我们可以确定概率的值。 它仅仅表达了概率，如果原则上是不可能的，概率将是无用的，以了解概率是什么.....

适用性。 这一标准的力量在主教巴迪勒着名的流行主义中最能表达，“概率是生活指导。”

似乎可否受理的标准毫无疑问。 “解释”这个词通常以这种方式使用，即“可接受的解释”是一种渗淋酸。 然而，事实证明，标准是非微不足道的，实际上，如果严重采取的话，排除了几个领先的概率解释！ 正如我们所看到的，其中一些未能满足可数性的添加性; 对于其他（某些倾向解释），至少一些公理的状态尚不清楚。 尽管如此，我们认为他们是真正的候选人。 此外，应该记住，Kolmogorov的只是许多可能的公理化之一，并且没有普遍协议是“最好”（无论什么意味着什么）。 实际上，鲑鱼的首选公理化与Kolmogorov的不同之处不同。[2] 因此，没有可否受理巡回法院，而是对此或公务化的可否受理。 无论如何，如果我们发现了不允许的解释（关于Kolmogorov的公务化），那么符合确定性和适用性标准的精彩工作，那么我们肯定会拥抱它。

让我们转向这些标准。 在确定的标准中有点不清楚“原则上”的数量 - 它超出了什么是实用或可行的 - 尽管这可能是一些纬度都是善的。 大多数工作将由适用性标准完成。 我们必须谈谈更多（如鲑鱼确实做）关于终身概率的指南应该是什么样的。 质量，长度，面积和体积都是有用的概念，它们以各种方式为“导游”（思考临界距离判断如何生存）; 此外，它们是允许和可观的，因此可能是将统治它们的适用性标准。 也许最好将适用性视为作为一个标准集群，每个人都应该捕获概率的概念概念角色的某些东西; 此外，我们不应该要求所有这些解释都得到满足。 它们包括：

非琐碎性：解释应该至少使概念性可能性产生非极端概率。 例如，假设我们将“P”解释为真实函数：它将值1分配给所有真实句子，以及0到所有虚假句子。 然后琐碎，所有的公理都是真的，所以这种解释是允许的。 然而，我们几乎不会算作对概率的充分解释，因此我们需要排除它。 对概率至关重要的是，至少原则上，它可以采取中间值。 我们展示的所有解释都符合此标准，因此我们将不再讨论。

适用于频率：解释应该使概率与（长运行）频率之间的关系。 除此之外，它应该明确为什么，由和大，更可能的事件比可能的事件更频繁地发生。

适用于理性信念：解释应澄清概率在制约理性代理人的信仰程度或信任程度方面发挥作用。 在其他事情之外，知道一个事件比另一个事件更有可能，对前事件的发生更加信心。

适用于理性决策：解释应该清楚概率如何在理性决策中的数据。 这似乎特别适用于“生命指南”。

适用于放大推断：如果它亮起“良好”和“糟糕”放大推断之间的区别，则解释将获得奖励积分，同时阐述为什么缺乏演绎推论。

对科学的适用性：解释应该照亮科学概率的范式使用（例如，在量子力学和统计力学中）。

也许我们可能强加对解释的进一步形而上学的追求问题。 例如，概率和模态之间似乎有连接。 即使他们没有，也会发生积极概率的事件。 一些作者还坚持谈话条件，只有可能发生具有积极概率的事件，尽管这更具争议 - 请参阅第3.3.4节“规律性”的讨论。 （实际上，在不可数的概率空间中，这种情况将需要雇用无穷大的人，因此将使我们超越标准的Kolmogorov理论 - “标准”，这两者都是正统的，而在其对标准的情况下，而不是'非标准的“真实数字”。在任何情况下，我们的名单已经足够长，以帮助我们对市场领先解释的评估。

3.主要的解释

广泛地说，可以说有三个主要概率的概率：

认识论概念，这意味着衡量客观的证据支持关系。 例如，“根据相关地震和地质数据，加利福尼亚可能会经历这十年的主要地震”。

代理人的信心的概念，一个评分的信念。 例如，“我不确定本周将在堪培拉下雨，但它可能会在堪培拉下雨。”

一个物理概念，适用于世界各种系统，独立于有人认为的内容。 例如，“特定的镭雾原子可能在10,000年内衰减”。

一些哲学家将坚持认为并非所有这些概念都是可理解的; 有些人将坚持认为其中一个是基本的，而其他人则将其降低到它。 此外，这些概念之间的边界有些渗透性。 毕竟，'信心程度'本身就是一个认识论概念，而随着我们将看到的，它被认为是通过证据支持关系和世界上物理概率的态度来合理地限制。 并且在营地内支持每个概念的营地内障碍，因为我们也会看到。 尽管如此，可以记住这些概念是有用的。 第3.1节和3.2讨论概念（1），古典和逻辑/证据概率的分析; 3.3讨论概念（2），主观概率的分析; 3.4,3.5和3.6讨论概念（3），频率，倾向和最佳系统解释的三次分析。

3.1古典概率

经典的解释归功于其早期和8月的血统。 它由De Moivre和Laplace的冠军，并且在Pascal，Bernoulli，Huygens和Leibniz的作品中可以找到它的英雄版本。 它在没有任何证据的情况下或在对称平衡证据的情况下分配概率。 指导思想是在这种情况下，在所有可能的结果之间同样地共享概率，从而使事件的经典概率仅仅是事件发生的总可能性总数的分数。 似乎特别适合那些机会游戏，因为他们的设计创造了这种情况 - 例如，偶数数量出现的公平死亡的经典可能性是3/6。 它通常在教科书概率难题中预设（通常是默许地）。

这是De Moivre的经典陈述：

[i] F我们构成分数，其中分子是事件可能发生的机会的数量，并且该分数可以发生或失败的所有机会的数量，该分数将是发生发生的可能性的正确指定。 （1718; 1967年，1-2）

拉普拉斯给出了最着名但略微不同的配方：

机会理论包括将所有事件的所有事件减少到一定数量的同样可能的情况，也就是说，要说我们同样不确定的情况，以及确定对所寻求其概率的事件有利的情况的数量。 该数量与所有可能情况的比率是该概率的测量，因此只有一个分数，其分子是有利的情况的数量，其分母是所有可能的情况的数量。 （1814; 1999,4）

我们可能会提出一些关于此配方的问题。 什么时候是同一种事物？ 直观地，“头”和“尾巴”同样可能会折腾公平硬币的结果; 但是，如果他们的那种是'硬币可以降落'的方式，那么“边缘”应该达到它们。 “一定数量的同样可能的情况”和“所有可能的情况的数量”是可能有限数量的。 那么，无限空间中的概率？ 显然，不合理的价值概率，如1 /

√

2

自动消除，因此诸如诸如Quantum Mechence的理论不能容纳。 （但是，我们很快就会看到Laplace的理论已被精制地处理无限空间。）

谁是“我们”，谁“同样不确定”吗？ 不同的人可能同样犹豫不决，这表明拉普拉斯提供了主观解释，其中概率因其证据中的特征差异而因人员而异。 然而，他的意思是在关于一组“同样可能的”病例的情况下，在记忆中立位置中的理性概率分配表征理性剂。 但是，提案风险听起来是空的：对于一组案例，代理人“同样不确定”是什么，除了将它们分配相同的概率而言？

这将我们带到了Laplace的账户的关键反对意见之一。 “同样可能的”病例的概念面临作为类别错误的指控（对于“可能性”不在度数），或通知（对于含义真正可能的“）。 由于凯恩斯因凯恩斯的一个重点（虽然他不是原则的朋友）所谓的“漠不关心的原则”是一种概念（虽然他的原则）：“如果没有认识的原因，而不是其他几个替代方案，那么相对越来越多这些替代方案中的每一个的断言都具有相同的概率”（1921,52-53）。 （“相同概率的原则”是更好的名字。）因此，可能要求保护，毕竟在经典解释中没有圆形。 然而，这一举动只能推迟问题，因为仍然存在圆形的威胁，尽管较低。 我们在这里有两种情况：我们根本没有证据（“理由”）的结果，以及我们对对称平衡证据的结果。 第一种情况下没有圆形，除非“证据”的概念本身是概率的; 但是，除了人为的例子，令人疑问是出现的。 例如，我们有一个关于硬币折腾于我们自己的实验结果，他人的证词，我们对一些相关物理的知识等的相当大的证据基础。 在第二种情况下，循环的威胁更加明显，因为它似乎需要一些有利于每个结果的证据的权衡，这似乎需要提到概率。 实际上，对称平衡证据的最明显表征在条件概率的平等方面：给定证据E和可能的结果O1，O2，......，开启，证据是对称平衡的IFF P（O1 | E）= P（O2辅助）= ... = p（在e上）。 然后，似乎毕竟概率仍然存在于解释的基础上。 尽管如此，如果可以减少所有概率，这将是一项成就。 参见Zabell（2016）以进一步讨论经典解释和漠不关心原则。