弗雷格-希尔伯特之争（三）

人们可能怀疑希尔伯特的方法和弗雷格的建议之间的强等价性的核心原因是（i）不清楚弗雷格的术语类别是否算作“逻辑”，即其成员 μ 必须映射到自身的类别，与希尔伯特认为具有固定解释的术语类别相同；最重要的是（ii）目前尚不清楚弗雷格所想的是哪种语言。关于第一点：如果弗雷格的固定项类别比希尔伯特的更宽，和/或弗雷格的语言缺乏希尔伯特的一些术语，那么希尔伯特意义上的独立性证明并不意味着存在证明弗雷格意义上的独立性的映射。关于第二个问题：关键问题是像“数字”或“之间”这样的术语，弗雷格认为容易进行概念分析的术语，是否会出现在弗雷格所关心的语言中（而不是要求语言仅包含“完全分析”的术语），以及这些术语是否属于 μ 映射到任意新术语的术语。弗雷格本人指出了刚刚提出的第一个术语划分问题的重要性，即确定哪些术语映射到它们自身的问题，并指出这个问题是需要解决的问题，以便将他的草图变成可行的策略。由于弗雷格从未回答过固定术语或相关语言类型的问题，因此弗雷格的建议不够明确，无法与希尔伯特的建议进行明确比较。那么，我们面临的解释问题是如何理解弗雷格提出的一种方法以及他随后对它的否定，同时认识到该提议的不完整性质。 （有关 1906 年文本的进一步讨论，请参阅：Ricketts 1997、Tappenden 2000、Blanchette 2014。）

六、结论

因为一致性和独立性的主张从根本上来说是非蕴含性或不可证明性的主张，所以即使我们拥有证明数学结果的强大技术，如何证明一致性和独立性也是不明显的。 1899 年，希尔伯特为我们提供了一种系统且强大的技术，可以在所有形式化学科中使用，以实现这一目标：证明一致性和独立性。在此过程中，他与许多同时代的人合作，为当代模型理论技术的出现奠定了基础。 （有关进一步的讨论，请参阅 Mancosu、Zach 和 Badesa 2009；另请参阅有关十九世纪几何学的条目。）

通过弗雷格对该技术的拒绝和希尔伯特对该技术的辩护，我们发现对其成功至关重要的假设进行了澄清。正如我们所看到的，为了使希尔伯特式的重新解释能够证明不可证明的结果，必须假设的证明的关键特征是，可证明性对希尔伯特认为可重新解释的那些术语的内容不敏感——在这种情况下，几何术语。一致性和独立性的另一种观点认为，蕴涵和可证明性对几何术语的内容很敏感，希尔伯特式的重新解释无法证明如此理解的一致性和独立性。如上所述，他对弗雷格持有这种一致性和独立性观点的解读为他反对希尔伯特提供了理由，并为几何一致性和独立性主张的利害关系提供了另一种解释。

尽管希尔伯特和弗雷格之间的沟通明显失败，但他们的辩论揭示了许多重要问题，其中最重要的是（i）示意性理解的句子在提供隐含定义中的作用，弗雷格代表希尔伯特更清楚地阐明了这一点比希尔伯特所做的还要多，以及（ii）逻辑关系被视为“形式”的程度。在最后一个问题上，弗雷格和希尔伯特之间的区别具有启发性。早在与希尔伯特辩论之前，弗雷格就已经认为逻辑的严谨性需要使用形式演绎系统，“形式”是指所有思想都通过精确确定的句子表达，并且所有推理规则和公理都按句法呈现（参见，例如，Frege 1879）。对于我们的目的而言，最重要的是，弗雷格的形式系统完全是现代的，因为在这样的系统中，从一组句子中导出一个句子仅取决于这些句子的句法形式。弗雷格的大部分著作所依据的著名概念分析都是在证明之前提供的。正是在概念分析的基础上，人们得出了在正式系统中处理的适当句子，但分析本身在推导过程中不起任何作用。因此，当谈到证明给定句子可以从一组句子推导出来的积极工作时，弗雷格就像希尔伯特一样：含义并不重要。事实上，在他们通信时，弗雷格的工作比希尔伯特的工作要“正式”得多，因为希尔伯特当时没有使用明确的句法定义的演绎系统。

然而，弗雷格的逻辑概念得出的结果是，逻辑蕴涵（或可证明性）之间仅存在单向联系（思想之间如此），而形式可导性（句子之间如此）之间仅存在单向联系。给定一个良好的形式系统，只有当 σ 表达的思想实际上在逻辑上包含 Σ 成员表达的思想时，句子 σ 才可以从集合 Σ 中推导出来。 （这仅仅要求一个人的公理和推理规则是精心选择的。）但反过来是错误的：在这样的系统中 σ 不能从 Σ 推导出来，并不能保证 σ 表达的思想独立于思想集合由Σ的成员表示。因为很可能，正如弗雷格自己的分析明确处理的情况一样，对思想及其组成部分的进一步分析将产生更复杂的结构。当这种情况发生时，分析可能会返回更复杂的句子 σ' 和 Σ'，这样 σ' 毕竟可以从 Σ' 推导出来。根据上述两种解释选项中较为宽容的一个，这就是弗雷格拒绝希尔伯特对几何中一致性和独立性的处理的解释。正如我们可能会说的那样，因为相当大的逻辑复杂性可能未被发现在相对简单的句子所表达的思想中，所以在弗雷格的事物方案中，不可推导性并不能保证独立性。正如人们所说，逻辑和形式之间存在着巨大的差距。

另一方面，对于希尔伯特来说，至少在公理化几何的背景下，逻辑关系只是可形式描述的关系，因为它们完全与所讨论的句子所展示的结构有关，或者等同于“脚手架”这些句子定义的概念。正是因为希尔伯特意义上的一致性仅针对这种抽象结构，而不是针对实例化该结构的术语的内容，因此重新解释策略是有效的。

希尔伯特显然是这场辩论的胜利者，因为他的一致性概念大致就是今天在形式理论背景下所说的“一致性”，而他的一致性证明方法的近亲现在已经成为标准。正如希尔伯特所做的那样，我们现在通常采用一致性和独立性来独立于所谓的“非逻辑”术语的含义，因此可以本质上以希尔伯特的方式直接证明。这并不是说弗雷格的反对意见已经得到满足，而是说这些反对意见基本上已经通过一致性的正式概念的体现而被回避，并且至少在这个标题下缺乏对弗雷格所谓的“一致性”的关注。