弗雷格-希尔伯特之争（二）

弗雷格和希尔伯特分歧的第二个问题，即从一致性到存在性的推论的合理性，也仍然存在。虽然每个人（大概包括希尔伯特）都会同意弗雷格的观点，即在数学领域之外我们无法安全地从一致性推断存在性，但问题仍然是我们是否可以（或必须）在数学范围内这样做。弗雷格的观点是，数学对象的存在只能通过诉诸更基本的原理来证明（如果有的话），而希尔伯特的观点是，在适当的纯数学情况下，没有什么需要证明的，为了建立存在，而不是理论的一致性（参见数学哲学和数学哲学中的柏拉图主义条目）。

尽管存在这些差异，弗雷格和希尔伯特一致认为，在一致性和独立性方面存在重要的数学问题，并且他们一致认为，例如，平行线假设与欧几里德几何其余部分的独立性这一经典问题是一个重要的问题。但如上所述，他们对于希尔伯特的程序是否足以解决这些问题存在分歧。接下来我们转向弗雷格拒绝希尔伯特证明一致性和独立性方法的理由问题。

4. 更深层次的分歧

如上所述，弗雷格认为希尔伯特的重新解释涉及将注意力从几何思想（其一致性和独立性存在问题）转移到一种完全不同的思想，即关于背景理论 B 的思想（其一致性和独立性不存在问题） 。关于一致性证明，他的观点是希尔伯特从集合的一致性中做出了不合法的推论

斧头

右

关于实数与集合一致性的 AXR 思考

斧头

G

AXG 关于几何点、线和平面的思考。弗雷格承认希尔伯特的句子集 AX 可以被理解为提供抽象关系的隐式定义

右

斧头

RAX，由希尔伯特构造的 n 元组满足，并且满足以下条件的一致性（即可满足性）：

斧头

右

AXR 需要所定义关系的一致性。但在这里，弗雷格也认为希尔伯特的关键推论来自抽象关系的一致性

右

斧头

RAX 保证集合的一致性

斧头

G

AXGof的想法，是有问题的。正如弗雷格本人所说，指的是

斧头

右

AXR 和

斧头

G

AXG 作为“特殊几何形状”，并

右

斧头

RAX 作为“一般情况：”

[G]鉴于特殊几何中的公理都是一般公理的特例，我们可以从特殊几何中不存在矛盾的情况下得出一般情况下不存在矛盾的结论，但不能得出另一种特殊情况中不存在矛盾的结论。 （弗雷格 1900 年 1 月 6 日的信 [PMC]：48）

一旦他指出了他认为有问题的推论，弗雷格就认为论证的责任完全在于希尔伯特：如果希尔伯特认为

斧头

G

AXG 的一致性来自于

斧头

右

AXR 或来自可满足性

右

斧头

RAX，然后由希尔伯特来证明这一点。弗雷格并没有特意证明关键推论是无效的，但似乎认为一旦他指出了这里需要论证的必要性，他的观点就基本上已经得到了阐述。

当然，从希尔伯特的角度来看，没有必要进行这样的论证。弗雷格一遍又一遍地坚持句子集（AX）和不同思想集之间的差异（

斧头

G

AXG,

斧头

右

从希尔伯特的角度来看，AXR 等）完全无关紧要。因为希尔伯特所理解的一致性适用于 AX 定义的概念和关系的“脚手架”，当其几何术语被用作占位符时，他心目中的一致性（用思想来说）是

斧头

G

AXG 当且仅当它成立

斧头

右

AXR，因为两组想法都是同一个“脚手架”的实例。同样的观点也适用于句子：弗雷格坚持认为，在几何解释下的句子所出现的一致性问题与在实数解释下的句子所出现的一致性问题是不同的；另一方面，对于希尔伯特来说，只有一个问题，如果有任何解释可以使句子表达真理，那么答案是肯定的。因此，虽然弗雷格认为希尔伯特应该对来自一致性的推论做出解释

斧头

右

AXR 为

斧头

G

AXG，对于希尔伯特来说根本没有推论。

弗雷格对拒绝希尔伯特程序的理由缺乏明确性，造成了解释上的空白，对此存在争议的空间。首先，我们应该记住，希尔伯特显然是正确的，他自己的重新解释策略足以实现他所声称的相对一致性和独立性结果。如果如上所述，从不可证明性的角度来理解一致性和独立性，并且如果证明如希尔伯特假设的那样独立于几何术语的含义，那么

斧头

右

AXR,

斧头

G

如果其中之一是一致的，那么 AXG 甚至 AX 本身都是一致的。那么，弗雷格对希尔伯特技术的拒绝必然涉及到对希尔伯特所建立的内容的一些混淆，或者对一致性和独立性主张中存在问题的问题的不同理解。

那么，理解弗雷格对弗雷格-希尔伯特辩论的贡献的一种方法是承认弗雷格在澄清希尔伯特自己的公理方法方面所做的贡献，但认为弗雷格对希尔伯特证明一致性和独立性的技术的负面评估是错误的。因此，尽管弗雷格和希尔伯特在公理的性质上存在差异，但

右

斧头

RAX 确实显示了所讨论的公理集合的一致性，无论人们是以希尔伯特的方式将这些公理视为句子（即，作为集合 AX）还是以弗雷格的方式将这些公理视为思想（即，作为集合）

斧头

G

AXG）。对于独立也是如此。从这种观点来看，弗雷格的错误在于没有注意到希尔伯特通过重新解释来证明几何句子的那种不可证明性结果（即一致性或独立性）必然会带来相应的不可证明性（一致性或独立性）结果几何思想（参见 Resnik 1974、Currie 1982、Dummett 1975）。

第二种解释认为，弗雷格对一致性和独立性的理解与希尔伯特的理解完全不同，因此所讨论的蕴涵不成立：

右

斧头

RAX 以及由此产生的希尔伯特意义上的 AX 的一致性，并不意味着弗雷格意义上的一致性

斧头

G

AXG。对于独立也是如此。根据这种解释，弗雷格声称希尔伯特的论证未能在他，弗雷格，理解这些术语的意义上表现出一致性和独立性，这是正确的。 [9]

第二种解释的中心思想是，对于弗雷格来说，一个给定的思想是否可以从思想的集合中证明的问题不仅对用于表达这些思想的句子的形式结构敏感，而且对简单的思想的内容也敏感。这些句子中出现的（例如几何）术语。因此，弗雷格对可证明性的理解类似于上面概述的早期传统，并在莱布尼茨的著作中得到了例证。如果弗雷格确实以这种方式将可证明性视为内容敏感的，那么我们立即看到

斧头

右

AXR 并不需要一致性

斧头

G

AXG，因为矛盾是否可以证明的问题

斧头

G

AXG 可能部分地转向所讨论的思想的特定几何部分，即 AX 几何术语的通常几何含义。要选择一个说明性的例子，尽管不是弗雷格本人给出的例子，但请考虑一对句子

B 点位于 A 点和 C 点之间的直线上；

B 点不在 C 点和 A 点之间的直线上。

这对句子在希尔伯特的意义上显然是一致的。但根据弗雷格在这里提出的解释，这种一致性（希尔伯特意义上的）并不能确保这些句子在其普通解释下所表达的思想形成一个一致的集合。例如，如果弗雷格理解“之间”的关系容易受到概念分析的影响，其定义支持一对句子（所表达的思想）的矛盾证明，那么在弗雷格的意义上，该对就是，不一致。

弗雷格以刚才提出的方式认为可证明性对概念分析敏感，因此，弗雷格在他一生试图证明他的逻辑主义论文中所采用的策略中是显而易见的，该论文的真理是算术可以从纯逻辑中证明。在该项目的过程中，弗雷格定期提供演示，证明给定的思想 τ 从一组思想 T 中逻辑得出，涉及两个步骤。首先，弗雷格对 τ 和/或 T 的成员进行概念分析，揭示了这些思想中以前未被认识到的概念复杂性。其次，他从 T 的如此分析的成员中证明了 τ 的如此分析的版本。例如，弗雷格自己证明了

（我）

一个数的两个倍数之和是该数的倍数

从逻辑上可以得出以下表达的想法

(二)

∀

米

∀

n

∀

p

（

（

米

+

n

）

+

p

=

米

+

（

n

+

p

）

）

∀m∀n∀p((m+n)+p=m+(n+p))

并由

(三)

∀

n

（

n

=

n

+

0

）

。

∀n(n=n+0)。

演示通过仔细分析加法中“的倍数”的概念来进行，为我们提供了一个更复杂的 (i') 来代替 (i)，然后从 (ii) 和 (iii) 中证明它。 [10]同样，弗雷格逻辑主义项目的一个重要部分包括对零和后继等算术概念的仔细分析，这种分析揭示了以前未被注意到的复杂性，并促进了算术真理的证明。 （有关逻辑主义项目的讨论，请参阅有关弗雷格、逻辑主义和新逻辑主义的条目。）

正如弗雷格在他的《算术基础》的前几页中所说的那样，当我们试图从最简单的起点证明算术的真理时，

……只要我们不能成功地将其中出现的概念分析成更简单的概念或将它们简化为更普遍的概念，我们很快就会遇到无法证明的命题。 （弗雷格 1884：§4）

简而言之：思想的组成部分有时可以用更简单或更一般的成分来分析，从而揭示先前隐藏的逻辑蕴涵关系。因此，当我们想知道一个给定的思想是否在逻辑上由一组思想所蕴涵时，从弗雷格的角度来看，我们不仅需要关注表达这些思想的句子所展现的整体结构，而且还需要关注其内容。这些句子中出现的各个术语。

弗雷格工作的这一方面与他关于独立性和相关解释的观点之间的联系如下。因为我们有时只能在仔细分析这些想法的一些看似简单的组成部分之后才能发现，一个想法 τ 在逻辑上是由一组想法 T 蕴含的，所以我们有时也能够发现一组想法是不一致，即基于这种概念分析，它在逻辑上必然产生矛盾。因此，一组Σ句子所表达的一系列思想的一致性不仅取决于Σ中句子的整体结构，还取决于Σ句子中出现的术语的含义。

为了澄清最后一点，让我们看一个非数学的例子，希尔伯特和弗雷格都没有明确处理过这个例子。考虑这组句子{琼斯做了一场噩梦，琼斯没有做梦}，或者等效地它的一阶再现，

{

氮

j

,

～

D

j

}

{Nj,~Dj}。该集合显然与希尔伯特在 FG 中使用的意义一致；提供对“Jones”、“x had a night”和“x had a dream”（或“j”、“N”和“D”）的解释是一件简单的事情，这样解释的句子，表达真相。 （例如，考虑这样一种解释：“j”被指定为数字 7，“N”被指定为素数集合，“D”被指定为大于 12 的数字集合。）但是从弗雷格的观点来看，表达的想法可以说是不一致的，因为做噩梦的一部分就是做梦。弗雷格观点的不一致可以通过对所表达的思想进行分析来证明，并注意到该分析的结果产生了集合{琼斯做了一个令人不安的梦，琼斯没有做梦}。

出于同样的原因，在结构上相似的两组思想（即它们可以在不同的解释下由同一组句子表达）在弗雷格一致性方面可能有所不同。当应用于几何背景时，由于弗雷格反对希尔伯特，其中心思想是希尔伯特所从事的重新解释类型可以从一组一致的思想中获取一个（例如，

斧头

右

AXR）到不一致的（例如，

斧头

G

AXG）由于主题的转变，因此使从第一个一致性到第二个一致性的推论无效。等价地，从一般关系的一致性推论

右

斧头

RAX 到几何思想集合的一致性

斧头

G

根据对弗雷格一致性概念的理解，AXG 是无效的，因为后者涉及的额外几何内容是不一致的潜在根源。正如弗雷格在给利布曼的信中所说的那样，

就公理缺乏矛盾性和相互独立性而言，希尔伯特对这些问题的研究因公理的意义绝不是牢固固定的这一事实而受到损害……我有理由相信，相互独立性欧几里得几何的公理无法被证明。希尔伯特试图通过扩大区域来做到这一点，使欧几里得几何表现为一个特例；在这个更广泛的领域，他现在可以通过例子来证明不存在矛盾；但仅限于这个更广泛的领域；因为我们不能从一个更全面的领域中不存在矛盾来推断在一个更窄的领域中不存在矛盾。因为仅仅因为限制，矛盾就可能产生。 （1900 年 7 月 29 日给利布曼的信，弗雷格 [PMC]：91）

弗雷格并不声称在任何具体情况下证明了这种潜在矛盾的存在。也就是说，他没有提供概念分析来揭示希尔伯特声称已表现出一致性的不一致之处，并且没有证据表明他认为希尔伯特的任何具体一致性声明是错误的。弗雷格在给希尔伯特的一封信中暗示了他可能已经想到了一些这样的分析，他在信中声称，在他自己未完成的对几何基础的研究中，他能够“用更少的原始术语凑合”，这大概意味着他认为一些被希尔伯特视为原始的术语可以通过其他术语进行分析（参见 1899 年 12 月 27 日给希尔伯特的信，弗雷格 [PMC]: 34）。任何这样的分析都会揭示逻辑依赖关系（从弗雷格的角度来看），希尔伯特会在其中找到独立性。

由于弗雷格关于这个主题的著作均已不复存在，因此我们没有关于他可能给出的具体分析的详细信息。然而，弗雷格对希尔伯特批评的关键点不是对特定分析或特定一致性和独立性主张随之而来的失败的分歧，而是关于一致性和独立性证明的一般方法论。因为对于希尔伯特来说，一组句子的一致性完全取决于它们所表现出的整体结构，而对于弗雷格来说，所表达的一组思想的一致性还取决于句子中出现的非逻辑术语的内容，因此，希尔伯特一致性并不意味着弗雷格一致性。

5. 挥之不去的问题

我们调查了两种方式来理解弗雷格对希尔伯特证明一致性和独立性技术的反对。第一个观点认为弗雷格从根本上犯了错误，其错误在于他未能理解一组可重新解释的句子的可满足性与相关的独立性/一致性主张之间的联系。第二个观点认为弗雷格从根本上是正确的，因为（i）他理解思想的一致性和独立性，不仅关注表达思想的句子的表面语法，而且还关注表达思想的简单术语的内容，以及（ii）如此理解的一致性和独立性无法以希尔伯特的方式证明。

这些解释选项都不是完全没有问题的。第一个问题的一个重要困难是弗雷格对希尔伯特重新解释的力量的严重混乱，这可以说与以下事实存在某种张力：一般来说，弗雷格对希尔伯特在 FG 中的方法论程序的描述相当大。比希尔伯特自己的更清楚。困难的另一个根源在于，弗雷格对独立性的理解与他的逻辑主义著作中的核心逻辑蕴涵的理解存在紧张关系，根据这种理解，数学术语的内容对于逻辑问题至关重要。蕴含。第二种解释虽然对弗雷格更宽容，也更符合他在逻辑方面的一般工作，但可以说，弗雷格没有明确提及概念分析与一致性和独立性问题的相关性。

对弗雷格的独立性和一致性观点的任何解释的潜在困难的最后一个来源是 1906 年“几何基础”论文中非常有趣的第 (iii) 部分。该文本的重要性及其造成的解释困难可以概述如下。

1906 年的《几何基础》论文主要是重申弗雷格早期对希尔伯特一致性和独立性处理的反对意见（如上所述）。在对这些反对意见进行了演练之后，弗雷格在第三部分中转向给出证明独立性的积极方法的问题。他问道，如何证明一个给定的想法独立于一组想法？作为回答，弗雷格提供了一种潜在方法的草图，并在结束讨论时指出，所草绘的方法仍然不完整，并且面临一些困难。尽管它明显不完整，但弗雷格从未（据我们所知）返回该提案，并且似乎最终发现它并不令人满意。四年后，他在给 Jourdain 的注释中声称，平行公理的不可证明性无法被证明，这表明他认为原则上不能令人满意（参见弗雷格 [PMC]：183n）。也就是说，他在 1910 年似乎维持了他早期的观点，即没有系统的方法来证明独立性。 [11]

1906 年提案本身可概述如下。弗雷格说，假设我们有一个句子集合 C，每个句子都表达一个确定的思想，以及一个类似地表达一个确定的思想的句子 S。所提出的证明 S 思想与 C 思想独立性的方法的核心是，我们采用术语到术语（因此也是句子到句子）的映射 μ 来保留句法类型（将名称映射到名称，一位谓词到一位谓词等）并将“逻辑”术语映射到其自身。那么：如果 μ 将 S 映射到一个假句子，同时将 C 的所有成员映射到真句子，则 S 思想独立于 C 思想。 （有关弗雷格提案的讨论和发展，请参阅 Antonelli & May 2000、Eder 2016。有关弗雷格拒绝该提案的原因的讨论，请参阅 Ricketts 1997、Eder 2013、Blanchette 2014。）

该提案的第一个有趣之处在于它与希尔伯特的方法惊人的相似。假设弗雷格的语言足够丰富，能够包含希尔伯特在重新解释中可能使用的所有对象、函数和集合的术语，那么当且仅当对希尔伯特使用的那种重新解释时，可以说存在弗雷格描述的那种映射显示（他的版本）独立性：希尔伯特的重新解释为术语 t 提供了新内容，而弗雷格的方法将简单地将 t 映射到具有该内容的新术语。这意味着，尽管弗雷格提出了所有反对意见，希尔伯特的方法最终足以证明弗雷格（1906年）所认为的思想的独立性。如果这是正确的，那么我们就有理由怀疑弗雷格对希尔伯特方法的拒绝的任何解释是合理的，并且我们特别有理由拒绝这样的观点，即对于弗雷格来说，一致性和独立性对弗雷格的内容敏感。数学（例如几何）术语。