资讯（七）

宏观刻度上的标准计算可以定义为根据确定规则的离散对象的本地，顺序操纵。 在日志操作日志中的自然数N和自然测量函数集中的操作中具有自然的解释：N→R将实数与每个自然数相关联。 该定义为我们提供了可计数无限集的适当信息测量，包括数字类，如整数Z，在减法下关闭，Rational Number Q，在Division下关闭。

乘法的操作与相关的对数函数的操作表征了我们关于信息概念的添加性的直觉。 它导致该组自然数N和数量的多重数据集（即，主要因素集）之间的自然击倒。 多电站的概念与交换和关联性的属性有关。 当我们在较高维度中研究分部代数时，该程序可以扩展到其他类别。 下表概述了某些相关数字类以及这些类乘法的操作的属性：

编号类。符号。尺寸。可数。线性。换向。联想

自然数。ñ。1。是。是。是。是

整数z 1是是是是

有理数。q。1。是。是。是。是

实数。r。1。不。是。是。是

复数。c。2。不。不。是。是

四元数h 4无无无是

octonions o 8无无无无

该表是在越来越多的普遍性方面排序的。 从一组自然数N开始，可以在减法，z和划分下进行各种扩展，Q.这是我们在宏观规模上具有足够的有限符号表示的数字等级。 对于实数R的元素，则不可用这样的表示。 实数R在一个操作中介绍了操纵无限数量的信息。

观察：几乎所有e∈r我们有我（e）=∞。

当我们将虚数介绍为负方块I2 = -1时，可以定义更复杂的部门代数。 我们现在可以定义复杂的数字：a + bi，其中a是实体部分和bi的虚构部分。 复数可以解释为二维平面中的向量。 因此，它们缺乏符号之间严格的线性顺序的概念。 加法非常简单：

（一个+双）+（c + di）=（一个+ b）+（c + d）我

乘法遵循正常分布规则，但结果不太直观，因为它涉及由I2生成的负项：

（一个+双）（c + di）=（ac-bd）+（bc +广告）我

在此上下文中，乘法不再是纯粹的广泛运行：

可以定义具有这种类型的乘法的概括的更复杂的数字系统，可以定义4和8维度。 Kervaire（1958）和Bott＆Milnor（1958）独立证明，实际上唯一的四个部门代数是R，C，H和O，所以该桌子可以全面了解所有可能的代数，这些概念定义了一个概念广告态度。 对于表中的每个数字类，可以根据乘法的属性进行单独的信息测量理论。 对于可数类n，z和q这些理论商品等效于图灵等效的概念所暗示的信息的标准概念。 达到实际数字这些理论满足了我们直观的信息的广泛概念。 对于复杂的数字，乘法信息效率的概念被销毁。 四元素缺乏争取性的财产和伴随的呼应。 这些模型不仅仅是抽象结构，因为代数在我们对大自然的描述中发挥着重要作用：

复数号用于指定量子物理学的数学模型（Nielsen＆Chuang 2000）。

对于爱因斯坦的特殊相对论（De Leo 1996），四元数是相同的。

一些物理学家认为，octonions形成了统一的强大和电磁力理论的理论基础（例如，Furey 2015）。

我们简要介绍了向量空间在量子物理学中的应用。 以位测量古典信息。 本质上的比特的实施涉及具有至少两个不同稳定状态的宏观物理系统和低能量可逆转换过程（即开关，继电器，晶体管）。 在原子水平上存储信息中的最基本的方式涉及Qubits。 Qubit由双层量子 - 机械系统中的状态向量描述，该状态矢量与复数（von Neumann 1932; Nielsen＆Chuang 2000）中的二维向量空间正式等同于二维矢量空间。 在某些情况下，量子算法具有基本上较低的复杂性（例如，Shor的整数分解算法（Shor 1997））。

定义：量子位或qubit是经典位的泛化。 量子Qubit的量子状态表示为两个正式基础矢量的线性叠加：

|0⟩= [

1

0

]，|1⟩= [

0

1

]

这里使用所谓的DIRAC或“BRA-KET”通知：其中|0⟩|1⟩声音为“ket 0”和“ket 1”。 两个向量一起形成计算基础{|0⟩，|1⟩}，其定义了二维希尔伯特空间中的向量。 n qubits的组合由2n维希尔伯特空间中的叠加载体表示，例如：

|00⟩= [

1

0

0

0

]，|01⟩= [

0

1

0

0

]，|10⟩= [

0

0

1

0

]，|11⟩= [

0

0

0

1

]

纯粹的Qubit是基础态度的连贯叠加：

|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩

其中α和β是复杂的数字，其中约束：

|α| 2+ |β| 2 = 1

以这种方式，可以将值解释为概率：|α| 2是Qubit具有值0和| 2的概率是Qubit具有值1的概率。

在此数学模型下，我们对计算为本地，顺序，根据确定性规则的离散对象的操纵的直觉演变为一个更丰富的范例：

无限信息，实际数字的引入有助于操纵无限描述性复杂性的物体，尽管目前没有指示在量子物理学中实际上是必要的。

非古典概率复杂数字有助于更丰富的扩展概念，其中概率不再是古典的。 Kolmogorov的第三个公理失去了其有效性，支持增强或抑制彼此的概率，因此信息的广泛性丢失。

叠加和纠缠在复杂的高维向量空间方面表示Qubits的表示意味着Qubits停止被隔离离散物体。 量子比特可以是叠加，其在其间在两个离散状态的情况下同时。 量子位波动并因此产生信息。 此外，即使当信息承载在空间中的长距离分开时，也可以将量子态QUBITS相关。 这种现象，被称为纠缠破坏了经典计算的本地性的特性（参见量子纠缠和信息的条目）。

从这个分析来看，很明显，我们宇宙的描述非常小（非常大的）尺度涉及日常生活中现实经验的数学模型。 允许我们理解世界的财产（保持他们在空间和时间内的身份的稳定的离散物体的存在）似乎是一种更复杂的现实的紧急方面，这是我们数学制定之外的不可理解的。 然而，在宏观层面，宇宙促进了基本的过程，如计数，测量长度和符号的操纵，这使我们能够开发一些数学模型的一致层次结构，其中一些似乎描述了更深层次的基础结构现实。

在某种意义上，四千年前推动了梅托莫米亚岛的基本会计系统的发展的数学特性仍然有助于我们渗透到亚古构造世界。 在过去的二百元信息似乎已成为物理学的重要概念。 Seth Lloyd和其他人（Zuse 1969; Wollemer 1990; Schmidhuber 1997b; Wolfram 2002;休谟2010）分析了各种物理系统的计算模型。 信息的概念似乎在对黑洞分析中发挥了重要作用（Lloyd＆NG 2004; Bekenstein 1994 [oIr]）。 Erik Verlinde（2011年，2017年）提出了一种理论，其中在信息方面分析了重力。 目前，这些模型似乎纯粹是描述性的，没有任何经验验证的可能性。

6.异常，悖论和问题

信息哲学中的一些基本问题与现有的哲学问题密切相关，其他人似乎是新的。 在本段中，我们讨论了一些可能确定未来研究议程的观察结果。 一些相关问题是：

是否有唯一识别的描述，不包含有关他们所指的对象的所有信息？

计算是否创建新信息？

建筑和系统搜索之间有区别吗？

由于Frege大多数数学家似乎相信第一个问题的答案是积极的（Frege 1879,1892）。 “晨星”和“傍晚之星”的描述与识别行星维纳斯的程序相关联，但他们没有访问对象本身的所有信息。 如果这是如此发现，晚上的明星实际上也是早晨的明星将是不知情的。 如果我们希望维持这个职位，我们进入冲突，因为就信息理论而言，第二个问题的答案是否定的（见第5.1.7节）。 然而，这种观察是非常适当的直观，因为它意味着我们永远无法在确定性计算的基础上构建新信息，这导致第三个问题。 这些问题围绕着信息哲学的基本公开问题之一：

打开问题信息和计算之间的互动是什么？

我们为什么要计算，如果根据我们的已知信息措施，确定性计算不会产生新信息？ 这个问题可以被重现为：我们应该使用Kolmogorov还是Levin复杂性（Levin 1973,1974,1984）作为我们的基本信息措施？ 事实上，这两种选择都会导致相关，但从根本上不同，信息理论。 当使用Levin测量时，计算生成信息并答案到上面的三个问题是“是”，当使用Kolmogorov时，这不是这种情况。 问题与数学和计算机科学中的许多问题有关。 在斯科特域名（Abramsky＆Jung 1994）的背景下还研究了近似值，可计算性和部分信息等相关问题。 下面我们讨论了一些相关观察结果。

6.1系统搜索的悖论

信息的本质是它减少了不确定性的事实。 例如，当我们搜索对象时，此观察导致不透明语境中的问题。 这是Meno的悖论（参见认知悖论）的说明：

你将如何询问，苏格拉底，进入你不知道的？ 你会作为询问主题提出什么？ 如果你发现你想要的东西，你将如何知道这是你不知道的东西？ （柏拉图，Meno，80d1-4）

悖论与计算机科学和哲学中的其他开放问题有关。 假设约翰正在寻找一个独角兽。 如果他发现一个人，他认为独角兽也存在，所以，在香农的理论方面，约翰得到了很多信息。 然而，来自描述性Kolmogorov的角度来看，John没有获得新信息，因为他已经知道独角兽是什么。 系统搜索的相关悖论可能如下制定：

通过系统搜索可以找到的任何信息都没有任何价值，因为我们肯定会发现它，给予足够的时间。 因此，只要我们不确定其存在，就会只有价值，而且，由于我们已经知道我们正在寻找的东西，我们发现它存在时没有新信息。

示例：Goldbach于1742年召集，每一个大于2的数字可以作为两个素数的总和写入。 直到今天，这个猜想仍然是未经测试的。 考虑“违反Goldbach猜想的第一个号码”一词。 由于数字可能不存在，因此它不会给我们关于该号码的所有信息。 前缀“第一个”可确保描述，如果存在，则是唯一的，它为我们提供了一个算法来查找该数字。 这是一个局部唯一识别的描述。 如果数字确实存在，则此算法仅有效，否则它将永远运行。 如果我们发现这将是一个很棒的消息，而且从描述性复杂性的角度来看，数字本身将完全不对，因为我们已经知道找到它的相关属性。 观察到，即使我们有一个数字N是兼容Goldbach猜想的一个数字，也可能很难验证：我们可能必须检查几乎所有的素数≤n。 这可以有效地完成（我们将始终获得结果）但据我们所知，但据我们所知（它可能需要“关闭”到N个不同的计算）。

可能的解决方案是指定在部分描述方面衡量对象的信息内容是非法的，但这将破坏我们的描述性复杂性理论。 请注意，对象的复杂性是在通用图灵机上生成对象的最短程序的长度。 在这方面，短语“违反了Goldbach猜想”的第一个数字是程序的完美描述，并且它充分测量了这种数字的描述性复杂性。 简短描述反映了数字，如果存在的事实，如果存在，则非常特别，因此它具有很高的可能性发生在一些数学上下文中。

有关系是善于学习的哲学问题，如Anselm对上帝存在的本体论论，康德计数器声称存在不是谓词。 为了避免类似的问题，罗素提议诠释存在的唯一描述（Russell 1905）：像“法国国王是秃头”这样的句子将具有以下逻辑结构：

∃（x）（kf（x）∧∀（y）（kf（y）→x = y）∧b（x））

这种解释并没有帮助我们分析处理存在的决策问题。 假设谓词l如果我正在寻找x，那么短语“我正在寻找法国国王”短语的逻辑结构将是：

∃（x）（kf（x）∧∀（y）（kf（y）→x = y）∧l（x）），

即，如果法国国王不存在，我不能真实地寻找他，这是不满意的。 Kripke（1971）批评罗素的解决方案，并提出了他所谓的因果理论，其中一个名字通过“洗礼”的初步行为得到了参考。 然后，它成为一个刚性的指定器（参见刚性指定器的条目），可以通过因果链回到该原始行为之后。 通过这种方式，像“今天早上约翰是第四个人走出电梯的第四个人”可以建立一个名字的语义。

在数学和信息理论的背景下，相应的概念是数字的名称，建设性谓词和ad-hoc谓词。 对于任何数字，原则上将是关于该号码的无限数量的真实陈述。 由于基本算术不完整，因此会有关于数字但无法移动的数字的陈述。 在极限中，数字的消失片段将具有真正压缩他们描述的真实谓词。 考虑以下陈述：

符号“8”是第八号的名称。

数量X是1000th fibonacci号码。

数量X是违反Goldbach猜想的第一个数字。

第一个语句只需指定数字的名称。 第二个陈述给出了局部描述，该描述是建设性的，信息压缩和唯一。 1000th fibonacci编号有209位，所以描述“1000th fibonacci号码”比数字的实际名称更有效。 此外，我们有一个算法来构造数字。 这可能不是第三语句中的描述的情况。 我们不知道是否存在违反Goldbach猜想的第一个号码，但如果它确实，描述可能很好，因此可以成为临时的，因此没有任何线索来构建数字。 这升起了猜想，即存在有效的临时描述有效的数据：

猜想：存在由非建设性唯一有效描述压缩的数字，即，可以有效地检查描述的说明的有效性，但是除了通过系统搜索之外，可以从描述中有效地构造数字。

猜想是所谓的P与NP论文的更通用变体（参见第6.3节）。 如果一个替换术语“有效”术语“有效”一词获得了P≠nP论文的制定。

6.2有限套件有效搜索

当我们限制自己有效地搜索有限套件时，部分描述的问题和施工与搜索仍然存在。 似乎自然地假设当一个人有一组数字时，那么人们还拥有关于集合成员和其子集的所有信息，但这不是真的。 一般来说，一组数字中的信息量的计算是一个高度琐碎的问题。 我们提供一些结果：

LEMMA SET S的子集Aa⊂s可以包含与设置本身的设置有条件的信息。

证明：考虑所有自然数的集合S小于n的所有自然数。 位于位中的描述性复杂性是log2n + c。 现在通过选择随机选择S的一半元素来构造一个。 观察：

我（a|s）= log2（

n

n / 2

）

我们有：

林

n→∞

我（a|s）

n

=

林

n→∞

log2（

n

n / 2

）

n

= 1

该集合的条件描述性复杂性将是：i（a ||）≈n+ c本来+ c。 ◻

直接后果是我们在合并两组时可以丢失信息。 甚至更强大的结果是：

LEMMA：集合的元素可以包含比设置自身更多的信息。

证明：考虑自然数的集合较小，然后是2N。 S的基数是2N。 该组的描述性复杂性是LOGN + C位，但是对于S的一半元素，我们需要n位来描述它们。 ◻

在这种情况下，设置本身的描述是非常可压缩的，但它仍然包含非可压缩元件。 当我们合并或拆分数字集或拆分或删除元素时，对信息量的影响一般难以预测，甚至可能是无解扣的：

定理：在设置理论操作下的信息不是单调

证明：lemmas的立即后果。 ◻

这表明信息概念遍及日常生活。 当约翰在口袋里有两个苹果时，他似乎可以做任何他想要的东西，但事实上，一旦他选择了两者之一，他就创造了（新的）信息。 搜索问题的后果很清楚：我们可以始终有效地对元素和集合的集合集执行有限的搜索。 因此，当我们通过部分描述搜索这样一组子集，则结果生成（新）信息。 此分析Prima Facie似乎强迫我们接受数学中的简单描述，使我们能够通过系统搜索来识别复杂对象。 当我们寻找该对象时，我们只有有关它的一些信息，当我们终于找到它时，我们的信息会增加到搜索对象的全部事实集。 这与我们目前的信息理论（Shannon和Kolmogorov）冲突：允许我们通过确定性搜索有效地识别对象的任何描述包含关于对象的所有相关信息。 然后搜索过程的时间复杂性是无关紧要的。

6.3 P与NP问题有问题，描述性复杂性与时间复杂性

在过去的十分之一时，数学家一直在思考一个相关的问题：假设我是否能够容易地检查我是否找到了我正在寻找的东西，找到这样的对象有多难？ 在数学和计算机科学中，似乎是一个相当类的决策问题，不能在多项式时间中建设性地解决，其中C是常数并且x是输入的长度），但仅通过系统搜索溶液空间的大部分时间，这可能需要指数时间，t（x）= cx。 这种差异大致恰好与从那些那些没有计算可行的问题的分离。

存在此类问题的问题已经被帧为可以在时间多项式中可以解决的决策问题的可能等值，这是可以在将时间多项式中检查解决方案的问题的输入到输入中的NP的输入。 （Garyy＆Johnson 1979;另请参阅Cook 2000 [oir]以获得良好的介绍。）

示例：众所周知的例子中的众所周知的例子是所谓的子集和问题：给定有限一组自然数S，是否有一个子集S'1，总和最多k？ 很明显，当有人提出解决问题的解决问题时，我们可以轻松检查X的元素是否加入k，但我们可能必须检查几个S的子集，以便自己找到这样的解决方案。

这是所谓的决策问题的一个例子。 答案是一个简单的“是”或“否”，但可能很难找到答案。 观察到问题的配方条件到S具有描述性复杂性逻辑+ C，而S的大多数随机子集具有条件的描述性复杂性。 因此，添加到k的任何子集的子集可能具有更大的描述性复杂性，然后是搜索问题的制定。 在这个意义上，搜索似乎生成信息。 问题是，如果这样的设置存在，则搜索过程被界定，因此有效，这意味着短语“添加到k的第一子集”是足够的描述。 如果p = np然后kolmogorov复杂性和集合s'的levin复杂性，我们发现大致重合，如果p≠np则在某些情况下kt（s'）kt（s'）。 两个位置，搜索的理论生成新信息以及它没有的理论，从不同的角度来违反直觉。