资讯（六）

5.1.9算术的不完整性

在1931年的一个地标论文中KurtGödel证明，任何包含基本算术的一致正式系统都是从根本上不完整的意义上，即它包含在系统内无法证明的真实陈述。 在哲学上下文中，这意味着在系统内的数学函数方面，不能在富于基本数学中富有足够富有的正式系统的语义，即，存在有关系统的有意义的语义信息，其中包含有关系统的语义信息，有意义的陈述而且真是太忠实而不可证明。

中心是递归功能的概念。 （参见递归函数的条目）。 这些功能在数字上定义。 Gödel对递归函数的概念最接近我们在每天生活中与计算相关联的东西。 基本上，它们是基本的算术功能，在自然数上运行，如添加，减法，乘法和划分以及可以在这些顶部定义的所有其他功能。

我们给出了证明的基本结构。 假设f是一个正式的系统，以下组件：

它有一个有限的符号

它具有一个语法，使我们能够将符号组合到形成良好的公式中

它有一组确定性规则，允许我们从给定的陈述中派生新语句

它包含PEANO的公理指定的基本算术（参见上面的5.1.3节）。

此外，F是一致的，即，它永远不会导出错误的语句形成真实的语句。 在他的证据中，Gödel使用乘法的编码可能性来构建系统的图像（参见从哥德尔不完整定理的条目中讨论Gödel编号）。 根据算术的基本定理，任何数量都可以唯一的因素到其素数。 这定义了数字和数字之间的一对一的关系：数字12可以基于多立方{2,2,3}为12 = 2×2×3构造，反之亦然。 这允许我们以下列方式将任何符号序列作为特定的单个号码：

为每个符号分配唯一编号

PRIME号码定位字符串中符号的位置

该组主要因素中的相同素质的实际数量定义了符号

在此基础上，我们可以将任何符号序列代码为所谓的Gödel号码，例如，数字：

2×3×3×5×5×7 = 3150

代码在假设a = 1，b = 2下表示{2,3,3,5,5,7}表示字符串“abba”。 通过这种观察条件，靠近那些导致罗素悖论的人满意：基本算术本身足以表达：普遍性，否定和自我参考。

由于算术是一致的，这不会导致悖论，而是不完整。 通过与骗子的建筑悖论帕拉德·哥德尔证明，这样的系统必须包含真实但不可证明的陈述：表格有真正的句子“我不可否认”。

定理：任何包含基本算术的正式系统都是根本不完整的。 它包含真实但不可提供的陈述。

在信息哲学的背景下，数学的不完整性是自然数量与编码信息的丰富可能性的直接后果。 原则上，任何确定性的正式系统都可以以基本的算术功能而言。 因此，如果这样的系统本身含有算术作为子系统，则它含有无限的基因族链（即，自身的图像）。 这样的系统能够推理其自己的功能和证据，但由于它是一致的（因此在系统内不可能建造悖论），因此必须不完全不完整。

5.2信息和符号计算

递归函数是在自然数上定义的抽象关系。 原则上，它们可以定义而不参考空间和时间。 必须与要计算它们的操作区分此类功能。 这些操作主要取决于我们为他们选择的符号表示的类型。 我们可以代表第七号作为一元数字||||||||，二进制111，罗马号码VII或阿拉伯语号7，并且根据我们的选择，可以使用其他类型的顺序符号操作来计算另外两加五是七，可以表示为：

|| + ||||| = |||||||

10 + 101 = 111

二+ v =第七

2 + 5 = 7

因此，我们可以将这四个句子读为相同数学真理的四个语句，或者作为指定四种不同操作结果的语句。

观察：（至少）我们可以研究计算概念的两种不同的观点。 根据这些解释，符号的语义是不同的。

递归函数范式研究在空间和时间外的自然数上的抽象功能方面的计算。 当解释为数学事实时，+签名10 + 101 = 111表示称为添加的数学函数，=符号指定平等。

符号操纵范例在符号字符串空间表示的顺序操作方面的计算。 当作为操作解释为10 + 101 = 111时，表示符号操作的顺序过程的输入，=符号指定该操作或输出的结果。 这样的算法可以具有以下形式：

10

+101

111

这导致以下暂定定义：

定义：宏观刻度上的确定性计算可以定义为根据确定规则的离散对象的本地，顺序，操纵。

本质上有许多其他方式来执行这些计算。 人们可以使用算盘，研究化学过程或简单地操纵海滩上的鹅卵石序列。 我们操纵对象的事实与观察到数据集是自我参考的观察，所以数据域名原则上的Dedekind Infinite：

定义：如果它具有双孔f：s→s'，则设置s是dedekind无限的。

由于数据元素是离散的并且有限的数据域将是可数无限的，因此对该组自然数具有同义。

定义：如果存在具有该组自然数N的双射来，则无限集S是可计算的。

对于无限数组，信息概念定义如下：

定义：假设S是可数和无限的，功能f：s→n定义一对一的对应关系，然后：

我（a|s，f）= logf（一）

即，给定F中A索引中的信息量。

请注意，通信F明确指定。 一旦为现实世界中的一类对象定义了这样的索引函数，就可以解释这些对象的操纵是一种计算形式。

5.2.1图灵机

一旦我们选择一个有限的符号和我们的操作规则，系统开始生成关于世界的陈述。

观察：元句：

标志“0”是零的符号。

指定与stategee∈a的语义信息相同的声明为sere（参见第6.6节）。 该陈述是乖巧，有意义的和真实的。

我们可以在抽象水平上学习符号操作，没有任何语义意义。 这种理论由Alan Tying（1912-1954）出版。 在数学家执行的符号实际操作上，制定了一个专注于实际操作的一般理论（图4 1936）。 对于他来说，一台计算机是一个坐在桌子后面的真正数学家的抽象，接收在托盘（内部）上写入的问题，根据固定规则（过程）来解决它们，并将它们送到Out-Tray（输出）中拾取。

图灵首先制定了沿着这些线路的一般计算理论的概念。 他提出了在具有三个符号的无限磁带上运行的抽象机器：空白（b），零（0）和一（1）。 因此，用于图灵机的数据域是一组相关的磁带配置，它可以与一组二进制字符串相关联，由零和一个组成。 机器可以在磁带上读取和写入符号，它们具有在各种条件下确定其动作的过渡功能。 在抽象水平的图灵机上运行就像功能一样。

定义：如果TI是具有索引I的图灵机，并且X是ZERO的弦串，并且在磁带上的磁带上，用作输入，TI（x）表示机器停止后的磁带配置，即其输出。

有一个无限数量的图灵机。 发现发现有所谓的通用图灵机UJ，可以模拟任何其他图灵机Ti。

定义：表达式UJ（

¯

首选的TI

x）在读取自定义描述之后，用UJ表示计算TI（x）的仿真结果

¯

首选的TI

机器TJ。

自定义代码是必要的，因为UJ的输入被编码为一个字符串

¯

首选的TI

x。 通用机器UJ将输入字符串分开

¯

首选的TI

X到其两个组成部分：机器的描述

¯

首选的TI

以及本机x的输入。

一般计算系统的自我参照性质使我们能够构建模拟其他机器的机器。 这表明可能存在“超级机器”，以模拟所有可能的机器上的所有可能的计算并预测其结果。 使用称为对角化的技术，其中一个人分析了在所有可能机器的描述上运行的所有可能机器的枚举，证明了这种机器不能存在。 更正式：

定理：没有图定机器预测任何其他图灵机，无论是否停止某个输入。

这意味着对于某个通用机器UI，它在有限时间内停止的一组输入是无解扣的。 近年来还研究了关于图灵机上的无限计算的概念（Hamkins和Lewis 2000.）并非每台机器都会停止每个输入，但在某些情况下，无限计算计算有用输出（考虑数字PI的无限扩展）。

定义：停止组是图灵机TI的组合和输入X的组合，使得计算TI（x）停止。

通用图灵机的存在表明该类体现了通用计算的概念：也可以对任何其他通用图灵机执行在特定的图灵机上执行的任何计算。 这是一般可编程计算机概念的数学基础。 这些观察结果对信息理论提供了：定义了kolmogorov复杂性的某些信息措施，但不可计算。

在图规计算机类中存在的存在证明类似于大学算术的Gödel的不完整性结果。 由于定义了图灵机以研究计算的概念，因此包含基本算术。 这类图灵机本身就足以表达：普遍性，否定和自我参考。 因此，图灵机可以模拟关于自己的普遍负陈述。 图灵的无能证明也是由骗子悖论的动机，并且一定输入停止的机器的概念类似于某一语句存在的证据的概念。 在同一时间，图灵机满足Gödel定理的条件：它们可以被建模为包含基本PEANO算法的正式系统F.

观察：由于它们可以互相模拟，因此递归函数范例和符号操作范例具有相同的计算强度。 可以在一个范例中计算的任何功能也可以通过定义来计算在另一个范例中。

这种洞察力可以推广：

定义：如果它具有与图灵机的一般类别相同的计算能力，则无限一组计算功能是完整的。 在这种情况下，它被称为图灵等价物。 这样的系统就像图灵的类，通用：它可以模拟任何可计算功能。

这种观察的哲学意义是强大而丰富的，不仅用于计算理论，而且还用于我们对信息概念的理解。

5.2.2普遍性和不变性

通用计算的概念与信息的概念之间存在复杂的汇编。 精确的事实是，图灵系统是普遍的，我们可以说他们处理信息，因为他们的普遍性需要不变性：

小型不变性定理：字符串X中信息的概念测量为通用图灵机U的节目的最小符号S的长度，使得U（S）= X是不变的，在选择不同通用图灵机的选择下模数

证明：证明简单且与信息哲学相关。 让L（x）是符号串的长度x。 假设我们有两种不同的通用图灵机UJ和英国。 由于它们是通用的，因此它们都可以在输入x上模拟图灵机Ti的计算Ti（x）：

uj（

¯

t

j

一世

x）

英国（

¯

t

k

一世

x）

在这里l（

¯

t

j

一世

）是UJ和L上TI的代码的长度（

¯

t

k

一世

）是英国TI的代码的长度。 假设l（

¯

t

j

一世

x）«l（

¯

t

k

一世

X），即英国TI的代码在UJ上的效率远得多。 观察UJ的代码具有恒定长度，即，L（

¯

u

k

j

）= c。 由于英国是普遍的，我们可以计算：

英国（

¯

u

k

j

¯

t

j

一世

x）

此计算的输入的长度是：

l（

¯

u

k

j

¯

t

j

一世

x）= c + l（

¯

t

j

一世

x）

因此，通用机器英国上的计算TI（x）的输入的规范永远不会超过常数。 ◻

这种证明构成了Kolmogorov复杂性理论的基础，最初是由于所罗门组织（1964A，B）和Kolmogorov（1965）和Chaitin（1969）独立发现。 请注意，此不变性的概念可以通过TING完成系统的类广义概括：

大不变性定理：根据计算的输入长度测量的信息的概念是不变的，模数为附加恒定，用于图灵完整的系统。

证明：假设我们有一个图灵完整的系统F.根据定义，可以在F中仿真图灵机上的任何计算TI（x），反之亦然。 将有一个特殊的通用图灵机UF，用于在F：UF中模拟计算TI（x）（

¯

t

f

一世

x）。 原则上

¯

t

f

一世

可能会使用一个非常低效的方式来代码程序

¯

t

f

一世

可以有任何长度。 观察到UF模拟的任何其他通用机器Uj的代码具有恒定长度，即，L（

¯

u

f

j

）= c。 由于UF是普遍的，我们也可以计算：

uf（

¯

u

f

j

¯

t

j

一世

x）

此计算的输入的长度是：

l（

¯

u

f

j

¯

t

j

一世

x）= c + l（

¯

t

j

一世

x）

因此，通用机器UF上的计算Ti（x）的输入的规范永远不会比常数长。 ◻

当我们更详细地分析完成完成系统的类别时，此结果的效果有多强。 在二十世纪上半叶的三个完全不同的计算建议中制定了：哥德尔的递归职能（Gödel1931），图灵的自动机（图灵1937年）和教堂的λ微积分（教会1936）。 这些提案中的每一个都以自己的方式阐明了计算概念的方面。 后面的稍后更多的例子。 图灵等效系统的类是多种多样的。 除了明显的候选人，如所有通用编程语言（C，Fortran，Prolog等），它还包含一些意外的元素，如各种游戏（例如，魔术：聚集[丘吉尔2012 oir]）。 下表概述了一些概念有趣的系统：

一些图灵完整系统的概述

系统。数据域

一般递归函数。自然数

制作机器及其概括。符号字符串

蒸番素方程。整数

Lambda微积分。条款

类型0语言。句子

台球计算。理想的台球球

蜂窝自动机。细胞在一个维度中

康威的生活游戏。两个维度的细胞

我们做出以下内容：

观察：图灵等效系统的类是开放的，因为它在计算之间的纯粹操作映射方面定义。

这种观察的直接后果是：

观察：完整图灵机组定义的计算和信息的一般理论在本体学中性。

不可能得出任何必要的计算系统和数据域的特性，超出了它们是一般数学运算和结构的事实。 定义了所定义的数据域，不一定是物理，也不是空间，也不是空间，而不是二进制的或数字。 在任何时刻，都可以介绍该类的新成员。 我们知道有资金系统比图灵机的类更弱（例如，常规语言）。 我们不能排除一天我们遇到一个更强大的系统的可能性。 这样一个系统不存在的论点被称为教会图论论文（参见教堂上论文的条目）：

教堂图论文：图灵机的课程表征了算法计算的概念。

我们概述了论文的论点：

赞成论文的论点：图灵机的理论似乎是我们可以制定的最普遍的理论，因为它是基于关于计算的非常有限的假设集。 这是它是普遍的事实也在其一般性方向上指向。 很难在什么感觉中构思一个更强大的系统可能是“更多”的普遍性。 即使我们可以考虑这样一个更强大的系统，即使这种系统的In-和输出也必须有限，分立，计算时间也有限。 因此，最终，任何计算都将在有限数据集之间具有有限功能的形式，并且原则上，所有这些关系都可以在图灵机上进行建模。 到目前为止，我们定义的所有已知的计算系统都具有相同的功率也证实了论文。

反对论文的论据：本文以其现状，无法实现。 图灵完整系统的类是开放的。 它是基于已知系统之间存在的等同关系的存在。 在这种情况下，它没有定义计算的概念。 它并不提供我们具有哲学理论，这些理论定义了什么是计算的。 因此，它不允许我们将任何系统排除在A类先验中。 在任何时候，可能会出现一个关于计算概念的提案，从而强大。 更多，自然为我们提供了以量子计算形式的计算概念。 量子位是与符号操作相关的正常概念的概念，尽管在最终量子计算中似乎迄今为止，我们似乎没有必要重新定义计算的计算概念。 我们永远无法排除物理学，生物学或化学的研究将定义将迫使我们这样做的系统。 事实上，各种作者提出了这样的系统，但目前没有关于令人信服的候选人（Davis 2006）的共识。 Dershowitz和Gurevich（2008）声称已经证明了假设，但这结果普遍被接受（参见关于“可计算性的讨论 - 反驳教会图论论文将是什么意思”，在其他互联网资源[oir]中是什么意味着什么意味着反驳教会。

完成完整似乎是（正式）系统的自然条件。 任何足以代表自然数和基本算术操作的系统都是完整的。 所需要的是在一组离散的有限数据元素上定义的有限一套操作，该元素足够丰富，以使系统自我参照：其操作可以由其数据元素描述。 这部分解释了为什么我们可以使用数学来描述我们的世界。 抽象的计算概念被定义为抽象世界数学中的数量的功能以及我们在我们周围的每一天世界中的操纵对象计算的具体概念。 递归函数范例隐含的信息结束计算的概念和符号操纵范例是相同的。

观察：如果一个人接受教会图所开放的事实，这意味着关于存在通用信息概念的问题也是开放的。 在该研究的这个阶段，不可能为这种一般理论指定先验条件。

5.3量子信息及以后

我们对古典计算的概念有理由理解，但量子物理学对计算和信息的影响可能会确定哲学研究议程几十年来，如果不再。 仍然已经明确说，该研究对传统哲学职位产生影响：拉普拉斯视图（Laplace 1814 [1902]）宇宙基本决定性似乎是伪造的经验观察结果。 量子随机发电机可商购（参见硬件随机数发电机的维基百科条目[oir]）和量子波动确实影响宏观规模（Albrecht＆Phillips 2014）的神经系统，生物和物理过程。 我们的宇宙有效地是永久性地生成信息的过程。 经典的确定性计算似乎太弱了，以了解其结构。

宏观刻度上的标准计算可以定义为根据确定规则的离散对象的本地，顺序操纵。 在日志操作日志中的自然数N和自然测量函数集中的操作中具有自然的解释：N→R将实数与每个自然数相关联。 该定义为我们提供了可计数无限集的适当信息测量，包括数字类，如整数Z，在减法下关闭，Rational Number Q，在Division下关闭。

乘法的操作与相关的对数函数的操作表征了我们关于信息概念的添加性的直觉。 它导致该组自然数N和数量的多重数据集（即，主要因素集）之间的自然击倒。 多电站的概念与交换和关联性的属性有关。 当我们在较高维度中研究分部代数时，该程序可以扩展到其他类别。 下表概述了某些相关数字类以及这些类乘法的操作的属性：

编号类。符号。尺寸。可数。线性。换向。联想

自然数。ñ。1。是。是。是。是

整数z 1是是是是

有理数。q。1。是。是。是。是

实数。r。1。不。是。是。是

复数。c。2。不。不。是。是

四元数h 4无无无是

octonions o 8无无无无

该表是在越来越多的普遍性方面排序的。 从一组自然数N开始，可以在减法，z和划分下进行各种扩展，Q.这是我们在宏观规模上具有足够的有限符号表示的数字等级。 对于实数R的元素，则不可用这样的表示。 实数R在一个操作中介绍了操纵无限数量的信息。

观察：几乎所有e∈r我们有我（e）=∞。

当我们将虚数介绍为负方块I2 = -1时，可以定义更复杂的部门代数。 我们现在可以定义复杂的数字：a + bi，其中a是实体部分和bi的虚构部分。 复数可以解释为二维平面中的向量。 因此，它们缺乏符号之间严格的线性顺序的概念。 加法非常简单：

（一个+双）+（c + di）=（一个+ b）+（c + d）我

乘法遵循正常分布规则，但结果不太直观，因为它涉及由I2生成的负项：

（一个+双）（c + di）=（ac-bd）+（bc +广告）我

在此上下文中，乘法不再是纯粹的广泛运行：

可以定义具有这种类型的乘法的概括的更复杂的数字系统，可以定义4和8维度。 Kervaire（1958）和Bott＆Milnor（1958）独立证明，实际上唯一的四个部门代数是R，C，H和O，所以该桌子可以全面了解所有可能的代数，这些概念定义了一个概念广告态度。 对于表中的每个数字类，可以根据乘法的属性进行单独的信息测量理论。