教会图论文（六）

图灵讨论了与图灵的论文密切相关的论文，即每种系统方法都有相应的替代拼图（其中“通过图灵机可计算”，如“通过图灵机可计算”，是一个严格定义的概念）。 他说：

声明是......一个人不试图证明的声明。 宣传比证据更适合，因为它的状态是定理和定义之间的东西。 （图灵1954 [2004：588]）

可能需要提出本措辞，同样适用于本文（图灵的论文），对于每种系统方法都有相应的图灵机。

图灵还说（在2004年发布的手写材料中）这句话“系统方法”

是一个像许多其他人那样的短语，“蔬菜”是以普通的方式理解得很好。 但是，在与蔬菜植物或微生物学家或播放“二十个问题”时，人们可以遇到困难。 大黄和西红柿蔬菜或水果吗？ 煤蔬菜或矿物质吗？ 煤气，骨髓，僵化树，链球菌，病毒怎么样？ 有生菜我吃午饭吃还是动物？ ......问题c）上面的同样的困难是关于我可以回答这样的问题的系统方法？]。 与“系统方法”短语的含义的常用熟人不会做，因为一个人必须能够非常清楚地对任何类型的方法说清楚，这些方法可以提出是否允许或不允许。 （在COPALD 2004：590）

在这里，图灵强调，术语“系统方法”并不准确，因此在这方面就像术语“蔬菜”，并且与数学上精确的术语不同，例如“λ-可定义”，“图灵机可计算”和“替换拼图”。 Kleene声称，由于像“系统方法”和“有效可计算”的术语不准确，因此涉及它们的论文无法证明（OP。CIT。）。 然而，然而，没有发表类似的论点（也许是因为他看到了一个困难）。 术语“系统方法”是不精确的事实是不足以表明，在涉及该术语的论文中可能没有数学上可接受的证据。 Mendelson对这一点进行了图形陈述，写了关于上面所谓的“教会论文的悔改”（第1.5节）：

假设连接直观和精确的数学概念是不可能的明显假。 实际上，一半的CT（“更容易”的一半），所有部分递归功能都有效可计算的断言，在递归理论中的所有教科书中被承认是显而易见的。 可以为它提供直接的论点...... 这一简单的论点就像在数学中看到的那样清楚的证据，尽管它涉及有效的有效可计算性的直观概念，但它是一个证据。 （孟德尔森1990：232-233）

然而，某些条款的“直观”性质不排除本文的表现，并不是说论文是可证明的。 如果教会的状态是“定理和定义之间的某些东西”，那么定义可能是教会的建议“定义有效可计算功能的概念”（第1.5节）和定理是图灵的计算定理（第4.3.5节），即，给出了定期对人类计算的基本特征的说明，但图灵的论文是真实的。 本定理是可观的，但要从定理证明论文本身，有必要以数学确定性显示，所以图灵的人类计算的基本特征的说明是正确的。 到目前为止，没有人这样做。 宣传似乎比证明更合适。

5.教堂的论文和机器的极限

5.1两个不同的论文

通用图灵机可以完全模拟每个机器的行为吗？ 教会图论有时被视为提供机器逻辑限制的陈述，以通用图灵机是最可能的机器的影响（因此刚提出的问题的答案是是的。）例如：

这是一种最普遍的机器配方，它导致了一系列独特的输入 - 输出函数已成为教会的论文。 （Newell 1980：150）

然而，教会图论论文是关于有效方法的程度的论点（其中包括其数学重要性）。 换句话说，论文涉及人类在通过纸张和铅笔计算时可以实现的人类可以实现什么样的人（缺乏牙型，死亡，死亡或纸张不足）。 人类的死记作者可以实现，以及机器可以实现的，可能是不同的。

Gandy可能是第一个明确区分在图灵的论文之间，并且通过机器可以计算的任何不同的命题可以由图灵机（Gandy 1980）计算。 甘地叫这个命题“论文M”。 他指出，在一些“机器服从牛顿机械师的机器”的情况下，论文M实际上是假的，其中“可能存在与任意大型速度的任意长度和信使的刚性杆”（1980：145）。 他还指出，论文未能申请他所谓的“基本上是模拟机”（1980：125）。 最有趣的问题是Thesies M是否与与实际物理定律一致的离散（即非模拟）机器。 第6.4节中讨论了这个问题。

论文M是不精确的，因为Gandy从未明确指定他的意思是“由机器计算”。 陈述更明确的命题是有用的，捕捉论文的精神。这可能被称为强大的教会图论论文，但在平衡似乎避免了这个名字，因为有问题的命题与1936年的教会图论文有很大差异。这个命题将被称为“最大论文”。

一些术语：一台机器

是

�

将据说生成（借鉴这个词，从1937：153）是一定的函数（例如，

x

�

平方）如果

是

�

可以设置，以便，如果

是

�

呈现出任何功能的参数（例如，4），

是

�

将执行一些处理步骤的序列，最后

是

�

产生功能的相应值（在示例中16）。 Mutatis Mutandis对于函数，即添加，需要多个论点。

最大论文：

机器可以生成的所有功能都是有效可计算的。

“有效地计算”是常用的术语：如果（且仅当）有效地获得其值的方法，则据说函数可有效地计算。 当在有效的可计算性方面，教堂绘制论文说：所有有效的可计算功能是图灵的可计算。

显然教学论文和最大论文是不同的论文。

5.2“等价谬误”

最大值论文的常见论证或同等的引用了以下事实，其中许多不同的尝试在精确的术语 - 通过图灵，教会，邮政，马尔可夫和其他人试图以精确的术语分析的非正式概念 - 结果 - 原来是相同的，从某种意义上说，每个分析可被证明地挑出相同类的功能，即那些通过图灵机可增的功能。

如前所述，这种分析的收敛通常被认为是教会图论论文的有力证据（这是论文的等价争论 - 第4.1节）。 有些人进一步进一步，并采取这种融合来证明最大值论文。 例如，纽威尔展示了通过图灵，教堂，邮政，马尔可夫等人提供的分析的融合。，如图所示

所有尝试......制定......机制的一般概念......导致相同的机器类，因为它们在TOTO中包含完全相同的输入输出功能。 （Newell 1980：150）

新尔说，各种等同的分析构成了

大型动物园的最大类机器的不同配方。 （同上。）

可以说在这里有谬误。 分析Newell正在讨论是有效方法的概念：分析的等价物只对人类可计算的程度的问题，而不是进一步的问题，无论是通过机器可变的功能是否可以超出人类可计算的原则上延伸。

5.3看着我们的话

这一点可能有所帮助地调查某些标准技术术语，这些技术术语可能会为令人难以求意而设定陷阱。

5.3.1“可计算”这个词

正如已经强调的那样，当提出关于可计算数字的谈判时，他正在谈论人类可计算数字。 他说：“计算通常通过在纸上写出某些符号来完成”（1936 [2004：75]） - 并且通常由人文劳工，致力于固定规则“（1945 [2005：386]）。 “计算机”，他说，可能会以这样的距离坐在一步之上的“无声的方式”（1936 [2004：79]）。 人机的工作是可控的：“我们现在可以建立一台机器” - 图灵机“进行这台计算机的工作”（1936 [2004：77]）。 另请参见第7节，了解与此关键点有关的更多报价。

因此，各种结果在“可计算数”中的效果中的效果相应地是人类计算机的效果。 图灵不应被解释为打算出现关于机械局限性的结果。 Gandy写道：

绝不是显而易见的是[上述第4.3节]中描述的限制适用于机械装置; 图灵不申请这个。 （Gandy 1988：84）

5.3.2两个指导报价

[C]函数在绝对意义上是无解扣的：即使通过[图灵机]即使通过任何过去，现在或未来的真实机器提供无解扣。 （Booolos＆Jeffrey 1974：55）

在技术逻辑文献中，术语“可计算”通常用于表示“有效可计算”（虽然并非总是见第5.3.3节）。 （“有效可计算”在第5.1节中定义。真正的机器 - 这是真的，因为功能是EX假设，没有有效地计算。 然而，对于文献的休闲读者来说，这个陈述（和其他人这样的人）可能似乎比事实上更多。 函数是无分布的（即，有效地无明确的），通过任何过去，目前或未来的真实机器，不符合本身的本身不能由某些真实机器生成问题。

第二个报价：

机器行为的正式限制......某些行为是“无解扣”-Behaviors，没有任何形式规范，可以展示该行为的机器。 这种限制的典型例子是图灵着名的停顿问题：我们可以给机器提供正式规范，当任何其他机器与其初始状态一起提供时，将......确定该机器是否达到其停留状态？ 证明没有可以指定这样的机器。 （Langton 1989：12）

事实证明，当随着任何图灵机的描述以及其初始状态，该机器是否将达到其停留状态，无论是否达到其停止状态，都没有始终确定。 肯定证明没有任何证明，没有任何可能指定某种类型或其他可以做Langton描述的机器。 因此，考虑因素Langton Presents不会对机器行为的任何一般正式限制 - 仅适用于图灵机的行为。 然而，报价给出了不同的印象。 （在通过时，值得指出的是，虽然停止问题非常普遍归因于图灵，因为Langton在这里做到这一点，但实际上没有制定它。在20世纪50年代初期起源于戴维斯（Davis 1958：70）。）

5.3.3除了有效

一些作者使用诸如“广义上的计算”等短语，或者只是“计算”，以指的是潜在地超越有效计算的类型的计算（例如，Doyle 2002; Maclennan 2003; Shagrir＆PiTowsky 2003; Siegelmann 2003;Andréka，Németi，＆Németi2009;槟榔岛和阿格拉尔2019）。

例如，Doyle建议使用离散光谱（例如，分子或其他量子数量）的平衡系统可以示出比有效计算更广泛的计算概念。 由于“平衡可以如此容易，可重复的，并且无意识地完成”，我们可以“采取平衡”的运行是一种计算操作，即使使用原理使用图灵机操作加上平衡的功能包括不这样的功能由一个独立的图灵机（Doyle 2002：519）计算。

5.3.4“机械”一词

“机械”的技术和日常含义之间存在差异。 在技术文献中，“机械”和“有效”通常可互换使用：“机械”程序只是一种有效的程序。 Gandy 1988概述了“机械”这个词的历史。

以下陈述发生在文献中：

提出了一类抽象机[图灵机]可以执行任何“机械”计算程序。 （孟德尔森1964：229）

这可能被误认为是论文M.然而，这里的“机械”在其技术意义上使用，声明只不过是教会图论文：

提出了一类抽象机器可以执行任何有效的计算过程。

“机械”的技术用法具有模糊概念性可能性的趋势，即并非所有机器可变的功能是图灵的可计算。 问题“机器可以实现不机械的程序？” 可能看起来是自我回答 - 但这就是被问题M和最大性论文的询问。

5.4强大的最大性论文

最大论文有两个解释，这取决于短语“可以由机器生成”是在“可以由符合实际世界的物理规律的机器生成”（论文的弱形式），或者在所有机器上量化的感觉，无论符合物理法律（强大形式）。 （强弱术语反映了强势形式需要弱的事实，但不反之亦然。）

将在第6.4节中讨论薄弱形式。 众所周知，强形式是假的。 这可以通过给出能够生成不可有效可计算的功能的名义机器的示例来示出。 这里将提供单一的例子; 在Andréka等人中可以发现其他实例。 2009年，戴维斯2001年，霍加斯特1994，PiTowsky 1990，Siegelmann 2003和其他文件中提到的其他论文。

5.4.1加速图灵机

加速加速机器（ATM）正如标准图规定机器一样，除了它们的操作速度随着计算收益而加速（Stewart 1991; Copeland 1998a，B，2002a; Copeland＆Shagrir 2011）。 ATM执行其程序在执行第一的时间内所谓的第二操作，以执行第一的时间，以执行第二的时间，依此类推。

如果要执行第一个操作所需的时间被称为一个“时刻”，则第二个操作在半时刻进行，第三次的第三操作，等等。 自从

1

2

+

1

4

+

1

8

+

...

+

1

2

n

+

1

2

n

+

1

+

...

≤

1

，

1

2

+

1

4

+

1

8

+

...

+

1

2

�

+

1

2

�

+

1

+

...

≤

1

，

ATM能够在运行时间的两个时刻执行无限的许多操作。 这使ATM能够生成无法由任何标准图灵机（因此，通过教会图定目一图，这些功能无法有效可计算计算的功能。

这种函数的一个示例是暂停函数

h

ℎ

。

h

（

n

）

=

1

ℎ

（

�

）

=

1

如果是

n

�

修改机器停止和

h

（

n

）

=

0

ℎ

（

�

）

=

0

如果是

n

�

Th Turing机器无休止地运行。 众所周知，没有标准图灵机可以计算此功能（Davis 1958）; 但ATM可以在有限的时间内产生任何功能的值。

计算时

h

（

n

）

ℎ

（

�

）

，ATM的第一步是在称为答案广场的磁带的正方形上写“0”（

一种

�

）。 然后，ATM继续模拟的动作

n

�

TH TITE机器。 如果ATM发现

n

�

机器停止，然后ATM继续擦除之前写的“0”

一种

�

，替换为“1”。 另一方面，如果

n

�

Th机器不会停止，ATM永远不会返回正方形

一种

�

删除最初写在那里的“0”。 无论哪种方式，一旦经过两次运行时间，

一种

�

包含值

h

（

n

）

ℎ

（

�

）

（COPELAND 1998A）。

这个名字机器是一个强大的最大性论证的反例。

6.教会图论文的现代版本

6.1算法版本

在现代计算机科学中，算法和有效程序与人类不同，而且与机器相关联。 因此，许多计算机科学教科书在不提及人类计算机的情况下制定教会图书论文（例如，Hopcroft＆Ullman 1979; Lewis＆Papadimitriou 1981）。 尽管人类计算的概念奠定了在图灵和教堂的分析中的核心。

现代计算机科学的各种算法在图灵的日子里，现代计算机科学黯然失色。 现在有平行算法，分布式算法，交互算法，模拟算法，混合算法，量子算法，酶算法，细菌觅食算法，粘液模算算法更多（参见例如Gurevich 2012; Copeland＆Shagrir 2019）。 通用图灵机甚至不能执行由例如每一个细胞同时更新的并行系统（与串行图定机器相比）的并行系统（与序列步骤相反）进行（其中涉及操作）的算法选择性酶结合）。

然而，通用图灵机仍然能够计算平行系统和酶系统的行为。 教堂的算法版本的教会版本指出，这是每个算法系统都是如此。 因此，Lewis和Papadimitriou说：“我们将图灵机带到精确的正式等同于”算法“（1981：223）的直观概念。 David Harel在论文的算法版本中提供了以下（着名的）制定：

我们可以找到可以在某些编程语言中编程的算法，任何语言，任何语言，...也是由图灵机可以找到的算法。 该陈述是所谓的教堂/图灵论文的一个版本。 （哈尔埃尔1992：233）

鉴于自20世纪30年代以来，算法概念已经发展的程度 - 从人类计算机的逐步阶梯劳动到粘液模具有趣的问题的增长。 这个概念是否会继续发展？ 这个演变中有什么限制，如果有的话？ 这个概念可以发展，这样的教会图论论文的算法版本不再是普遍的方式？ 返回Doyle关于平衡系统的建议（第5.3.3节），Doyle的主张本质上讲，平衡的操作可以合理地被认为是一些有效程序或算法的基本步骤 - 是否所得到的算法满足教会算法的算法版本。 （参见COPELAND＆SHAGRIR 2019进一步讨论。）

总之，教会图论论文的算法版本比原始论文更广泛，在该教堂和图灵基本上仅考虑了单一类型的算法，纸上的有效逐步计算。 算法版本也可能比原始论文更低。