逆转数学（三）
Rational Numbers以类似的方式定义，如整数的（因此，作为自然数对成对）。 我们首先定义一组正整数z + = {（m，n）:( m，n）∈z∧n＜m}。 然后可以如下定义加法，减法和Rational数和乘法的乘法的操作，以及越来越平等的关系
（一个，b）+ q（c，d）=（a⋅d+b⋅c，b⋅d），
（一个，b）-q（c，d）=（a⋅d-b⋅c，b⋅d），
（一个，b）⋅q（c，d）=（a⋅c，b⋅d），
（一个，b）＜q（c，d）↔a⋅d＜b⋅c，
（一个，b）= q（c，d）↔a⋅d=b⋅c。
为了可读性，我们抑制了定义右手边的运营和关系上的下标“z”。 与整数一样，Rational Number的Set Q由z×z +的元素组成，该元素是在等价关系= q下的z×z +的元素。 RCA0可以证明Q作为集合的存在，并显示系统（Q，+ Q，⋅q， 理解刚描述的整数和Rational号码的编码方案的一种方法是定义自然数的这些数字系统和子集之间的基础功能。 随着唱歌所表明，不合理数量和自然数之间没有这种杀菌。 为了代码不合理的数量，因此通常是实数，因此必须使用一组自然数。 使用快速融合的Cauchy序列的以下方法是在反向数学中执行此操作的标准方法。 一系列Rational Numbums是函数f：n→q，我们通常用xk = f（k）表示⟨xk：k∈n⟩。 实数是遵循以下收敛条件的理性数X序列：对于所有N，M = N，| XN-XN + M |≤2-N，其中（a，b）| q =（|，b）是绝对值操作。 据说两个实际x和y均等于，x = RY，如果| xn-yn |≤2-n + 1。 注意= R是自然数集的等价关系，而不是集合上的身份关系（= 1）。 我们无法从等效类中选择特定集合来表示实数，因为基础理论太弱，语言本身不允许我们通过等价类本身量化。 此外，虽然反向数学家经常写作“x∈r”，但严格地说这是一种滥用表示法，因为所有实数的集合r是第三阶对象，它不是二阶算法直接表示的三阶对象。 “x∈r”等表达应该被解释为“x是一个实数”的方便速记，其中存在实际数字的属性是上面描述的，即编码的算术可定义性能的算法的基准序列的基准序列。。 可以通过表示具有恒定序列Rq =⟨qn：n∈n⟩的rational数q：n∈n⟩，其中所有n∈n的qn = q。 可以在附加，减法和乘法乘法方面进行（代码）实数的添加，减法和乘法。 给定实数x =⟨xn：n∈n⟩和y =⟨yn⟨yn：n∈n⟩， x + ry =⟨xn+ 1 + yn + 1：n∈n⟩， X-RY。=⟨xn+ 1-yn + 1：n∈n⟩，和 x⋅ry=⟨xn+k⋅yn+ k：n∈n⟩ 对于至少k，使得| X0 | + | Y0 | +2≤2K。 最后，我们通过说出x≤ry，如果只有所有k∈n，xk≤yk+ 2-k + 1，则定义排序≤r; x＜ry，如果x≤ry和x∈ry。 如前所述，为了援助可读性，我们抑制了上面定义中的操作和关系的“q”下标，因为当添加，减法，乘法等时，从上下文中清楚的是有理数而不是整数或自然数。 RCA0足以表明如此定义的系统（R，+ R，⋅r，0R，1R，＜r，= r）满足ARCHIMEDEAN有序场的公理，但由于给定基数限制，系统本身不是理论的对象。 实数的可数序列也可以编码为自然数集。 这是一个非常强大的设备，允许从Heine-Borel和Bolzano-Weierstraß定理等实际分析中正式化语句。 一系列实数是函数f：n×n→q，使得对于每个n∈n，功能（f）n：n→q，其中（f）n（k）= f（k，n）是实数。 与理性数字的序列一样，我们经常使用⟨xn：n∈n⟩的符号讨论实数的序列，其中xn =（f）n。 据说一系列实际⟨xn：n∈n⟩汇聚到极限x，x = limnxn，如果对于所有ε＞0，则存在n使得所有I，| x-xn + i |＜ε这样的n。 限制LimnxN存在的序列被描述为会聚。 这些概念可用于从分析中制定标准定理的顺序版本。 例如，序列最小上限的公理状态指出，每个有界的实数序列具有最小的上限。 该原则在RCA0中不可提供，实际上相当于ACA0。 然而，在RCA0中可以证明称为嵌套间隔完整性的较弱原则，并且可用于证明许多基本结果，包括中间值定理，实际数字是不可数的唱名的定理版本，以及一个版本Baire类定理（SIMPSON 2009：76-77）。 3.4Ω型号和可计算性 递归理解公理计划从δ中获取其名称 0 1 - 可固定的自然数量正是递归（即可增加的）自然数。 因此，该集合 rec = {x⊆ω：x是compuctable} 具有特殊的作用，作为§2.2中介绍的RCA0Ω-Model R的二阶部分。 这是一种特殊的L2结构之一，称为ω-型号，其中一阶域始终是标准的自然数字ω，+，×和＜符号由添加和乘法的标准（可计算）操作解释，标准较少关系。 由于一阶部件是固定的，这些结构的唯一部分可以变化是二阶量词的范围。 二阶算法的差异子系统的Ω模型通常具有有趣的可计算性 - 理论属性，这些属性与区分它们的集合存在公理束缚。 由于它们的一阶部件是标准的，所有ω模型都满足完整的感应方案（π 1 ∞ -ind）。 RCA0的Ω型号正是图灵理想：P（ω）的子集，其在递归连接下闭合，相对化的可计算性。 最小的图灵理想是REC，因此，REC也是RCA0的最小Ω模型。 我们可以在某种意义上地认为RCA0的预期模型：RCA0的原理仅断言可计算集的存在（或更精确地，在某些参数中计算的集合的存在），并且在所有集合中都是可计算的。 系统的最小Ω模型是RCA0与二阶算法的其他子系统的股票的属性，其特征公理是理解方案。 ACA0的最小Ω模型是算术可定义集的阶级，而Δ的最小Ω模型 1 1 -ca0是大型物品集的类。 π 1 1 -ca0没有最小ω-model，但它确实具有最小β模型，其中β模型是ω-models，满足满足所有真正σ的额外条件 1 1 句子，不仅仅是所有真实的算术句子，因为ω-models。 如果在二阶算法的语言中的语言φ在二阶部分是rec的ω-model中，那么我们说φ是尺寸的，因为当其设定量器受到限制时它有效，使得它们仅在可计算集中的范围内（因此，因此在可计算集中我们可能认为可计算的其他数学对象的代码）。 由于RCA0的所有公理在REC中都是真的，因此RCA0是真实的，并且可以被认为是将可计算分析或更普遍的可计算数学形式化的自然公理系统。 在这方面，RCA0与二阶算法的大多数其他子系统基本不同，其在逆转数学中研究。 WKL0，ACA0，ATR0和π等系统的特征公理 1 1 -CA0可以在可计算性 - 理论术语中被视为断言某些类别的非可计算集的存在，因此保证其ω模型包含不可计算的不同复杂程度，以诸如层次结构（如）测量算术或分析层次结构，或在图灵的程度方面。 在这意义上，可以认为反向数学可以被认为是测量古典数学定理的非建设性的程度。 4.大五 4.1弱König的引理 当我们离开基础理论RCA0并爬上反向数学层次结构时，我们达到的第一个主要里程碑是系统WKL0。 该系统通过添加到RCA0的公理而不是非变构组存在性Axiom弱König的引理或WKL来获得的。 由于Déneskönig（1927年），König无限lemma，各种各样的分支无限的树通过它具有无限路径。 通过将König的无限无限偏移限制为二元序列的可数树来获得WKL。 要以更精确的术语陈述它，我们首先需要提供更正式的树木呈现。 让x⊆n是一组自然数。 我们表示x＜n的x的所有有限序列的集合。 两个重要的特殊情况是x = 2 = {0,1}时，2＜n是所有有限二进制序列的集合，以及当x = n，n＜n = seq，所有有限序列的自然数的集合。 X上的树T是一组有限序列的X的元素，其在前代者下闭合，因此如果τ∈t⊆x＜n，则每个n＜|τ↾n∈t。 X上的树T是有限分支的，如果每一个τt，只有很多x∈x，这样τ ⏜ ⟨x⟩∈t。 通过T的路径是f：n→x，使得所有n∈n，初始序列f↾n=⟨f（0），f（1），...，f（n-1）⟩∈t。 如果它具有无限许多节点，则树t是无限的，即，对于所有n∈n存在τt，使得τ＞n（其中τ被认为是数字，而不是序列。 弱König的引理（WKL）是为每棵树t 12＜n的原则，如果t是无限的，那么它有一条路径。 WKL0是通过将WKL添加到RCA0的公理而获得的系统。 弱König的引理相当于RCA0至非常大量的定理，特别是在实际和功能分析中，也是逻辑和代数。 它可能最好理解为一个紧凑的原则，可以通过观察弱könig的引理本身来看待，而且还可以在定理中相当于，例如继承人覆盖定理和第一 - 致密度定理订单逻辑。 等同于WKL的其他值得注意的定理包括一阶逻辑的Gödel的完整性定理; 可分离的Hahn-Banach定理; Brouwer的定位定理; 每个可数换向环的定理具有理想的素质; 和Peano的常用方程存在定理。 也许令人惊讶的是，将弱König的引理到RCA0不会导致一流的力量增加。 为了解释这一事实，我们首先需要介绍保守性的概念。 非正式地，这是一个想法，虽然理论S可能具有比理论t更具表现力的资源（例如，S可能具有更广泛的词汇量），所以在两个理论中的一个语言中，S表示不超过T. 正式，让S和T分别是语言和LS的理论，并让γ是语言ls∩lt中的一组句子。 如果对于每种φγγ，iff，则S是γ-保守的。 如果S的语言是T，lt⊆ls的语言，我们只是说S是保守的，常见的情况是当S是二阶算法的子系统，而T是一阶算法系统。 在这种情况下，如果S是保守的，那么我们说S的一阶部分是T. 三个关键保守定理连接RCA0和WKL0，并解释他们的一阶实力。 首先是iς1是π 0 2 - 通过限制σ1公式的诱导方案获得的PRA，其中iς1是通过限制诱导方案而获得的一级，并且PRA是由Sklem（1923）开发的原始递归算术系统并由希尔伯特＆伯尼（1934年）公正。 帕森斯（1970）证明了这一结果，因此被称为帕苏斯的定理（Joosten 2002 [其他互联网资源]; Ferreira 2005）。 第二个是iς1是RCA0的一阶部分。 这是由于弗里德曼（1976年）; 可以在SIMPSON（2009：IX.1）和HIRSCHFELDT（2014：129）中找到证明。 第三是WKL0是π 1 1 - 通过RCA0提供。 这是Harrington的未发表定理。 其证据通常由SIMPSON（2009：IX.2）提供，并且可以在Hirschfeldt（2014：7.2）中找到有些详细的版本。 结合前两个结果，我们有rca0是π 0 2 - 在PRA上提供。 这对我们对希尔伯特和伯尼斯的理解有了重要的影响，以及该计划向正式系统RCA0（§5.2）的关系。 随着Harrington的定理，我们可以看到WKL0的一阶部分是iς1，并且WKL0是π 0 2 - 在PRA上提供。 由于一致性语句是π 0 1 句子，它遵循WKL0与RCA0，iς1和PRA等于，因为人们可以在PRA中证明这些理论中的任何一个理论的一致意味着其他理论的一致性。 通过相同的令牌，WKL0具有与RCA0，iς1和PRA相同的证明定理序数，即ωΩ。 Harrington的证据是模型 - 理论上的字符：它使用强制参数来表明RCA0的每个可数模型都可以扩展到WKL0的可数模型，同时保留π的真实值 1 1 公式。 Sieg（1985）随后通过构建一种原始递归函数F来提供更加建设性的处理，该原始递归函数F在Aπ的WKL0中转化任何证据P 0 2 语句φ进入PRA中φ的证据f（p）。 虽然有些技术，但这些保守结果激发了关于数学基础的辩论，了解了在正式制度中可以恢复的数学的限制，这是希尔伯特计划（§5.3）。 4.2算术理解 五大五个成员是ACA0，ACA代表“算术理解公理”。 如果它不包含任何设定量化器，则算术算法中的载体φ是算术的，但它可能包含自由集变量。 算术理解方案包括所有形式所有公式的普遍封闭 ∃x∀n（n∈x↔φ（n）） 其中φ与x不自由算法，尽管φ可能包含其他自由组和数字变量。 ACA0是通过将算术理解方案添加到RCA0的公理而获得的系统。 ACA0证明了算术诱导方案，即诱导方案的限制（π 1 ∞ - 算法到算术公式。 这意味着ACA0证明了一流的PEANO算术PA的所有公理。 通过保守的结果由于弗里德曼（1976）（1976年），这一结果的一种逆转也持有：在ACA0中可提供的一阶算法语言中的每个句子也可以证明在PA。 因此，Genten的PA的一致性证据也适用于ACA0，并且ACA0具有与PA，即ε0相同的证明定义序数。 ACA0严格强于RCA0和WKL0。 从哪里担心前者，从算术理解是算法的，可以很容易地看出，因为它证明了停止问题k和许多其他不可计算的集存在，因此ω-model rec提供了一个counterexample：rca0为真的模型但算术理解是假的。 证明WKL0严格弱于ACA0需要更细微的计算性 - 理论论证，使用Jockusch＆Soare（1972）的低基础定理来证明不包含K的WKL0模型的存在，因此不满足算术理解。 虽然在WKL0中可以证明许多重要的分析定理，但是只有使用算术理解只能证明实际数字的性质的一些基本结果。 其中许多结果涉及实际线的顺序完整性和紧凑性，并断言各种序列的限制。 这些最基本的是最小上限公理的顺序形式，这指出每个有界序列的实数序列具有最小的上限。 其他是Bolzano-Weierstraß定理，其中，每个有界的实数序列都包含一个与限制收敛的子序列; 单调融合定理，其指出，每个实数的单调序列会聚到极限; 和Cauchy融合定理，这指出每个Cauchy的实数序列会聚到极限。 所有这些定理都可以在ACA0中提供，并且当添加到基础理论RCA0时，每个定理在rca0中都意味着算术理解。 由于弗里德曼（1975），这一等价性收集可以看出，作为Dedekind（1872年）的最后一章证明的非正式等量的正式化，但对于真实数字线的完整性的顺序概念，而不是Defekind的任意限定的实数的完整性概念。 虽然这些陈述仅涉及真实数字线R，但它们可以容易地扩展到欧几里德平面R2，三维欧几里德空间R3或任何有限的欧几里德空间RN。 这些空间的相应顺序完整性定理也可以在ACA0中提供，因此在RCA0上等同于它，因为它们意味着R的版本更常见，因此可以在二阶内表示完整可分离度量空间的概念算术，因此这些定理的状态版本，其适用于任何此类空间。 这些定理也可以证明在ACA0中，正如诸如Ascoli Lemma的更强的概括。 ACA0也足以证明，在任何完整可分离的公制空间中也是紧凑的，每个点序列都有一个会聚的子序列。 虽然分析富含定理相当于算术理解，但其他领域可能更为舒适，尤其是代数。 这些定理涉及各种代数结构，包括可数雅贝基团，可数字段（包括有序和正式实际领域），可数换向环和可数矢量空间。 一些重要的例子包括每个可数领域具有强大代数封闭的定理，并且每个可数地区都有强大的真实封闭; 每个可数换向环都有最大的理想; 每个可数的阿比越亚集团都有独特的可分地封闭; 并且每个可数地区的每个可数矢量空间都具有基础。 可数无限的组织组织还为算术理解提供了几种重要的等效性。 一个是könig的引理，每个无限的，有限的树枝都包含无限路径。 这是一个有趣的案例，其中定理的精确陈述很重要。 将König的引理到树木的限制，其中来自任何给定节点的分支的数量被界定（有界König的引理）严格弱于算术理解，实际上它相当于弱König的引理。 另一方面，König的Lemma的不受限制版本相当于算术理解。 另一个例子是Ramsey的定理。 给定固定的自然数n≥1和k≥1，语句RT n k 断言，每一种用于自然数的N组元组的每一种k着色，存在这些元组的无限单色或均匀的子集。 当n≥3和k≥2，室温时 n k 暗示RCA0的算术理解。 语句RT 2 2 但是，在逆转数学中持有一个特殊的地方，因为它在大五分类之外：它在RCA0（Specker 1971）中不可提供，而不是在WKL0（Jockusch 1972）中，并不意味着算术理解（Seetapun＆Slaman 1995），并不意味着König的雷姆玛（刘2012）。 讨论这些结果，他们的影响和更多关于Ramsey的定理和逆向数学动物园[其他互联网资源]的影响，从而从学习中取得了太远的是，现在有许多很多良好的介绍参考资料，包括Hirschfeldt（2014年）和Dzhafarov＆Mummert（2022：第8章）。 4.3算术转留次递归 算术理解允许我们通过应用一些算术可定义的操作来构造物体是有限次的。 这种证据方法的自然概括是允许这种迭代以一直到第一个无限序列ω，并进入Transfinite。 通过Transfinite递归构建数学对象当然是设定理论的标准部分，由替换的公理方案许可。 算术转留次递归的公理方案是算术模拟，其中一个可以施加的操作者φ（x）必须是算术可定义的，并且在其中可以迭代操作者的井排序必须是可数的。 尽管有这些限制，但算术经细胞递归非常强大。 将其添加到RCA0生成系统ATR0，比ACA0更强大，可以证明不仅仅是经典分析的定理，而且在硼尔和分析集的描述性集合理论中产生了许多结果。
