逆转数学（二）

在20世纪50年代，进一步利益使用从可计算性理论（被称为递归函数理论）和可定义理论的工具，更普遍地在学习本世纪早期的基础方案，如直觉，精神动症和劣化主义。 所有这些都被视为涉及更大或更少的建构主义程度，并且这种自然地导致了试图分析它们的可定定类别或自然数和实数的功能。 最基本的是将可计算实数类的识别作为建设性数学的模型（Mostowski 1959）。 Grzegorczyk（1955），Kondô（1958）和大多数人（1959年）也研究了算术集，为Weyl（1918）的劣化主义提供了自然模型（第5.4节）。 在伯尼之后（1935年），更多的旧版理论与更包含可计算性或可定定性的更多概要（Dean＆Walsh 2017：2.2-2.3）。 也许这场运动的高潮是Kreisel于1960年的暂定提案，以确定与大型机制套装（§5.5）的可疑定义集合，以及他在哥伦 - 前克森定理的相关工作当其量子限制在大型电瓶集（Kreisel 1959）时，显示是假的。 Kreisel的结果可以被理解为递归的反例，并且实际上是一个大型母亲对Cantor-Bendixson定理的分型校长。 内部展示结果导致了Cantor-Bendixson定理与π的公理方案之间的等效性证明

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理解（§4.4）。

在20世纪60年代的Erett主教的工作也对逆向数学产生了影响。 在1967年出版Bishop的建设性分析基础之后，对建设性分析的基础及其有力倡导数学方法的兴趣的复兴导致了建设性数学限制的新工作。 20世纪70年代和20世纪80年代发现的许多递归的反例，后来被转变为从那些定理到非建设性集体存在原理的逆转证明。 例如，棕色和辛普森（1986）逆转到弱König的Lemma（§4.1）的可分离Banach空间的Hahn-Banach定理逆转由Metakides，NeRode和Shore（1985）的定理，又由Bishop本人建造的Brahn-Banach定理感到灵感。

1.4逆向数学的早期发展

尽管有许多前因，逆转数学作为一个独特的学科，具有特定的正式环境和方法，直到20世纪70年代中期没有出现。 它的出现可以完全追溯到哈维弗里德曼在温哥华大学数学家国际大会上的谈话。 授权“一些二阶算术及其使用系统”，并在ICM的诉讼程序中发表（弗里德曼1975年），弗里德曼的论文提出了逆向数学的愿景，这些数学非常接近这一主题中描述的成熟程序进入。 正式的设置是二阶算术及其子系统，以及大五个子系统（RCA0，WKL0，ACA0，ATR0和π

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-ca0）和它们的特征公理全部存在。

弗里德曼的ICM纸张呈现了一系列等效性与大五个，Modulo一个基础理论RCA，只证明了可计算集的存在。 在学习的陈述中，是从Dedekind的Stetigkeit UND Intrational Zahlen（1872）的最后一章的分析基本定理的形式，所有这些都是彼此可被过度相等的，并涉及到Axiom方案算术理解，基础理论RCA。 Specker证明，其限制计算停止问题的可计算值的可计算界限序列因此转变为验证，即真实线的顺序完整性和顺序紧凑性等同于算术可定义集的存在。

在技术水平上，弗里德曼（1975年）纸张形式主义与当代反向数学实践中使用的最重要差异是他的基础理论RCA包括完全感应方案（π

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-ind）。 弗里德曼随后在1976年显示，他的1975纸的等效性可以在较弱的基础理论中证明称为RCA0，其中完全感应方案被无量子无诱导所取代。 然而，在弱化的过程中，感应原理弗里德曼基本上改变了他早期纸张中使用的基础理论的定义。 得到的系统RCA0基本上是基本递归算法的二阶版本。 虽然正式相当不同，但这确实导致系统在理论上非常接近现在标准的基础理论RCA0（§3）。

RCA0的现代形式首先出现在Friedman，Simpson和Smith（1983）的有影响力的纸上印刷，其中PA-FOR作为有序的精彩，递归理解公理方案和σ

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感应方案。 到1983年，逆向数学是基本上，正如我们今天所知的那样，甚至涉及使用口号“逆转数学”，弗里德曼在斯蒂芬·辛普森（2009：35）组织的AMS特别会议期间。

在20世纪80年代和20世纪90年代遵循逆转数学的主要发展成为可计算性理论的主要子场，在很大程度上是由于斯蒂芬辛普森和博士生的工作。 他们系统地研究了数百个定期的逆向数学状态，从功能分析到组合，换向代数来测量理论，顺序理论到一般拓扑。 这项研究计划的许多成果在辛普森的教科书中调查了二阶算法的子系统，于1999年首次出版。第二版于2009年发表。

2.二阶算术及其子系统

2.1二阶算术的语言

二阶算术L2的语言是一种双重语言，它增加了一阶算法的语言，熟悉了PEANO算法等系统，其中包括代表自然数集的第二种变量。 第一个排序x0，x1，x2，...称为数字变量的变量，旨在在自然数字上进行范围，而第二个排序x0，x1，x2，...称为集变量的变量，旨在在一组自然数字上进行范围。 二阶算法的非逻辑符号是：常量符号0和1; 二进制函数符号+和×; 和二进制关系符号＜和∈。 数值术语是数字变量，0或1，或者具有T1 + T2或T1×T2，其中T1和T2是数值术语（第二排序的唯一术语是设置变量）。 原子公式具有T1 = T2，T1＜T2或t1∈x的形式，其中T1和T2是数值术语，X是任何设定变量。 可以使用任何标准的经典证明系统来呈现二阶算法。 集合的身份关系被定义为共同延伸性：

x =y⇔∀n（n∈x↔n∈y）。

2.2二阶算法的语义

“二阶算术”名称可能会令人困惑。 首次来到它中，一个人可能很容易认为它的名字意味着它使用二阶逻辑，这是熟悉数学哲学中的其他语境，例如逻辑论和数学结构主义。 在二阶逻辑的所谓标准语义（有时也称为完整语义）中，二阶量词被解释为范围在一阶域的整个Powerset上。 例如，在二阶PAENO算法PA2的模型M中，即在二阶逻辑中配制的PEANO算术，二阶量子的范围是P（| M |），其中M | 是一阶量词的范围。 从Defekind的分类定理遵循，系统PA2只有一个模型，达到同构。 这意味着，至少对于二阶语义征集⊨2，PA2是语义完成的：对于每个φ12，pa2⊨2φ或pa2⊨2¬φ。

因此，重要的是要注意，尽管它的名称，用于二阶算术的语言L2的逆向数学中使用的语义不是标准的二阶语义，而是一般或Henkin语义 - 换句话说，一阶逻辑。 L2结构是表格的有序元组

是=⟨m，sm，0m，100万，+是，×是，＜m⟩，

其中M是数字变量范围内的域，SM是M个设置变量范围，0m和1m的一组址组，是M，+ m和×m的特征元素是m的二进制操作，并且＜m是M.域M的二进制操作。而SM总是认为是不相交和否定的。

由于二阶量词的范围可以是任何非空置sm⊆p（| m |），因此存在许多非同种晶体L2结构。 添加公理不会改变这种情况：二阶算术Z2的正式系统（在§2.3中介绍）及其子系统具有许多非同义模型。 离开二阶逻辑的标准语义实际上是逆向数学的重要组成部分，因为为了证明原理T0并不意味着另一个原则T1，必须证明有一个模型M，例如m⊨t0和m⊭t1。 如果我们考虑的每个子系统具有相同的唯一模型，这将是不可能的。

基本示例由L2结构提供

r =⟨ω，记录，0,1，+，⋅，＜⟩。

其中rec = {x：x是compuctaby}。 这里ω是标准的自然数字0,1,2，......和符号0,1，+，⋅，＜具有它们的标准解释。 因此，R是所谓的ω-model，其中一级部分是标准自然数。 因此，Ω模型完全由其二阶零件彼此区分。 在R的情况下，其二阶零件由REC组成，包括所有可计算的自然数集。 由于不同Ω - 型号仅在其二阶零件中彼此不同，因此它们通常由这些部件的名称引用。 因此，本文的其余部分将参考R作为REC，其二阶部分由算术可定义组成的ω-Model A将被称为代惰性，等等。

尽管在REC中，许多古典数学原理如中间值定理IVT在REC中是真的，但是其他不是最小上限的公理润滑油，这相当于算术理解（§4.2）。 从这我们可以得出结论，IVT不需要润滑油。 该模型还允许我们展示一个不完整的实例。 我们将在§3中介绍的基础理论RCA0在REC，而且由于REC1LUB，它是rca0⊬lub的一阶逻辑的声音定理所遵循的。 从这个意义上讲，逆转数学是对不完整性的研究：它研究了定理的等级，这相当于某些集合存在原则，但这不是由基础理论或严格较弱的等级中的原则证明（辛普森2010; Eastaugh 2019）。

2.3二阶算法的公理

二阶算术或Z2的正式系统具有作为L2的以下公式的通用闭合的公理。

PA-，用于离散有序半环的公理：

n + 1≠0

是+ 1 = n + 1→是= n

是+ 0 =是

是+（n + 1）=（是+ n）+1

是×0 = 0

是×（n + 1）=（是×n）+是

¬m＜0

是＜n +1↔（是＜n∨m= n）

感应公理：

（0∈x∧∀n（n∈x→n +1∈x））→∀n（n∈x）

理解方案：

∃x∀n（n∈x↔φ（n））

其中φ（n）是任何l2配方，其中x不自由，但这可能具有其他自由组和数变量。

通过应用理解方案（π

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-CA）和感应公理（IND），Z2可以证明由通用封闭物组成的感应方案

（φ（0）∧∀n（φ（n）→φ（n + 1）））→∀nφ（n）

其中φ（n）是任何L2公式。

二阶算法有时被称为分析的一阶理论，因为设置变量可以被解释为范围超过实数。 许多较旧的演示文稿采用功能性计算，其中由k-ary函数f：nk→n的变量fk替换设置变量f：nk→n。 GRZEGORCZYK，MOSTOWSKI和RYLL-NARDZEWSKI（1958）呈现这样的系统，该系统还包括明确的描述运营商ι和他们称之为leśniewski模式的理解方案的形式。 通常，关于这些变型系统的结果仅通过一个微小的调整将其转移到另一个系统。

二阶算法的子系统是一个公理系统T，其中每个AXIOMφTT是在Z2中可提供的L2句子。 在已经研究过的二阶算法的许多子系统中，五个在逆转数学中具有核心重要性，并且作为“大五”而俗称。 其中的第一个是系统RCA0，这是逆向数学的标准基础理论。 Big 5的其他成员（WKL0，ACA0，ATR0和π

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-CA0）是RCA0的适当扩展，并且每个等同于基础理论RCA0到来自分析，代数，无限组合，逻辑和拓扑的多种普通数学定理。 这些系统中的每一个具有比前一体的更大的证据强度，从而认为它们证明了前述系统中不可提供的定理：WKL0证明了比RCA0更多的定理，ACA0证明了超过WKL0，ATR0证明了超过ACA0和π

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-CA0证明超过ATR0。 请注意，通过包含的顺序与一致性强度排序不同：虽然大多数大五个成员证明了前面系统的一致性，但在RCA0和WKL0的情况下，这不会被保守结果等待§4.1讨论。

这些系统名称结束时的“0”下标意味着感应原则受到限制。 在ACA0和更强的系统（如ATR0和π）的情况下

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-CA0，该限制涉及它们仅包含感应公理（IND），而不是感应方案（π

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-ind）。 因此，它们只能证明它们可以证明相应的集合存在的感应方案的实例：例如，ACA0可以证明所涉及的公式的任何实例是算术（即，它不包含任何设定量子），而π

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-ca0可以证明所涉及的公式是π的任何实例

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。 在比ACA0较弱的系统的情况下，如RCA0和WKL0，感应公理对于能够数学方式做得太弱。 因此，它们被σ增强

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感应方案，这是（π

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- 是 - σ

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公式，其中x的形式∃xθ（x），其中x是数字变量，θ仅包含绑定的数量量词，并且没有设置量化器，但它可能包含自由和绑定的数字和设置变量。

在接下来的两节中，我们将仔细看看大五个子系统，包括可以在每个子系统中完成的数学，但不在较弱的子系统中，以及它们的模型 - 理论和证明理论属性的一些照明细节。 逆向数学和可计算性理论之间的密切连接意味着有时可以有助于参考递归函数的条目相关部分。

3.基础理论

3.1递归理解

在逆向数学中使用的二阶算术子系统通常通过替换理解方案（π

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-CA）具有较弱的公理。 这些子系统中最根本的称为RCA0，其中RCA代表“递归理解公理”，0下标表示其感应原理受到限制。 RCA0的原理由基本公理组成; 递归（或δ

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）理解方案由表格所有公式的普遍封闭组成

∀n（φ（n）↔ψ（n））→∃x∀n（n∈x↔φ（n））

其中φ（n）是σ

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--formula和ψ（n）是π

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- 既可以具有额外的空闲号码和设置变量; 和σ

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- 诱导方案，这是诱导方案的限制（π

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- 是 - σ

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-formulas。 名称“递归理解”是指δ的事实

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-DefiNable子集ω是递归（在当代术语，可计算）中的那些，或者使用另一个基本等效的表征，计算可计算（这是POST定理）。 RCA0是大多数反向数学的基础理论：给定定理τ，其在延伸RCA0的二阶算术S的某些子系统中可以提供，当我们显示S的公理时，我们获得了逆转到τ。可从RCA0 +τ的原理中提供。

存在σ

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系统中的诱导允许一个人衍生自然数的许多熟悉的代数特性：添加和乘法的缔合和汇编，即0和1分别是添加和乘法的标识元素，以及乘法的分配。 这些结果可以通过说RCA0证明系统（n，+，⋅，0,1，＜）是换向有序的血腥，取消; 全部详细信息可以在SIMPSON的LEMMA II.2.1中找到（2009：65-66）。

3.2配对，序列和编码的基础知识

然而，所有编码都复杂和多层是最终构建的，这些技术允许通过单个自然数N来编写有序对⟨a，b⟩或有限序列⟨a1，a2，...，ak⟩的单个自然数n。A和B或元件A1，...，AK可以以有效的方式从代码N中恢复。 一个简单的编码方案定义编码订购的数量的数量（A，B），b⟩作为数字（A + B）2 + A，其中M2缩写为m×m。 在RCA0中，我们可以验证任何a，b，a'，b'∈n，if（a，b）=（a'，b'），然后a = a'和b = b'。 通过手中的配对功能，我们可以在n：二进制关系上定义二进制关系和单个参数函数，只是一个设置的x∈，使得对于所有n∈x，存在一个，b≤n，使得n =（a，b），而单个参数函数f：n→n是一个对于所有对（a，b）和（c，d）ψf，如果a = c，则B = d的二进制关系。

任意长度的编码序列需要更多的艺术，但可以通过将上面使用的想法扩展到代码对来实现。 该方法使用Sunzi的定理来通过单个自然数字来编码数量的有限序列，以便可以以可增加的方式从其数值代码中恢复任何有限序列。 功能β：n×n→n产生的，对于有限序列的任何代码以及索引，该索引的序列的值称为Gödel的β函数。 所有有限序列的自然数序列被称为SEQ，可以通过递归理解证明存在。 所有s∈seq这样的设置| s | = k由nk表示。

一旦我们有一个有限序列的编码方案，我们就可以代表RCA0内的n-ary关系和函数，以任意n∈n。 它还允许我们通过单个函数f：nn→nk编写n-ary函数的有限序列⟨f1，...，fk⟩，用fi（x）=（f（x））（i）。 通过组合递归理解和σ

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对有限序列的编码诱导，可以在RCA0内开发原始递归函数的理论。 最后，请注意，通过单个集合x来编码集合αxn：n∈n⟩的可数序列

西安= {是：（我，是）∈x}。

由于函数，关系，实数等由集合编码，因此该技术还允许一个将这些对象的可数序列代码为单组。

3.3整数，理性和实数

通过单个数字代码编码数字对的能力是通过自然数对整数和Rational数字进行编码的。 整数由对（a，b）ψ×n表示，其中对对（a，b）的预期解释是a-b。 我们首先定义了N×N的添加，减法和乘法的下列操作，以及与平等的关系。

（是，n）+ z（p，q）=（是+ p，n + q），

（是，n）-z（p，q）=（是+ q，n + p），

（是，n）⋅z（p，q）=（m⋅p+n⋅q，m⋅q+n⋅p），

（是，n）＜z（p，q）↔m+ q＜n + p，

（是，n）= z（p，q）↔m+ q = n + p。

定义绝对值操作| n | z，

|（是，n）| z = {

（m，n）如果n≤m，

（n，是），否则。

如果我们单独使用这些操作，如定义整数，那么无限不同的对将定义相同的整数。 例如，整数-17由对（0,17）表示，（17,34），（124,141）等。 因此，我们将整数z的集合定义为由关系= z引起的等效类的＜n最小成员组成。 RCA0能够证明Z的存在，并证明系统（z，+ z，⋅z，＜z，= z，0z，1z）是有序的换向环。