分析游戏的逻辑（七）
这里讨论的数学基础的逻辑提出了如何在全局动态接口本地的问题。 这尤其以逻辑极限行为表示，其中重复进行观察和断言。 如前所述，公开公告的限制模型可以“自我实现”或“自我反驳”。 在第一种情况下，置位于所有代理商之间的常见知识，而在第二个之后，它最终在实际的世界中变得错误。 在合理性模型上软更新，出现第三种选择，即无限振荡，甚至发散（BALTAG和SMET 2009）。 迄今为止，没有这些现象的一般逻辑理论，但参见Van Benthem（2011）关于利用限制模型，米勒和莫斯（2005）的固定点逻辑，以获得公共公告逻辑的高度复杂性，以及有限迭代公告，以及Klein和Rendsvig（2017）关于产品更新的限制行为。
限制行为的主题还提出了机构局部动态逻辑的问题与第4.2.4节中讨论的全局时间逻辑有关。 为了澄清联系，范·宾馆，Gerbandy，Hoshi和Pacuit（2009），表明了动态认识逻辑如何被视为更快递的时间逻辑的可解除碎片。 BALTAG，SME和ZVESPER（2009）讨论动态表示如何通过将信息从时间宇宙转换为动态事件来降低复杂性的相关主题。
5.界限逻辑和游戏概率
概率是游戏理论的核心，在那里他们提供两个突出的角色。 首先，他们构建了对游戏的各个方面的球员的不确定性，包括自然状态，面对的对手的类型，以及其他玩家的过去，现在和未来的动作。 其次，自博弈论的起源以来（Von Neumann＆Morgenstern 1944年），概率随机化已经为扩大了可能的行动的代理空间。 虽然对这种混合策略的解释是广泛辩论的主题（Sugden 1991），但是随机移动是对游戏的分析增添了显着深度的难以诉讼。 事实上，混合策略的概念对于经典博弈论中的许多初始结果至关重要，包括在不完美信息的有限游戏中存在纳什均衡的存在。
概率及其逻辑是数学和哲学的主要话题，如概率解释的条目和逻辑和概率的条目中所讨论的。 当前部分仅概述了概率与游戏的逻辑分析之间的一些关键连接。 以下演示文稿假定所有状态空间有限，忽略了从有限到无限状态空间过渡的重要技术和概念问题。
5.1概率和信仰
概率方法广泛用于代表游戏内外的代理人，见证贝叶斯宣传学中的代理人。 通常，概率信仰模型由两个组件组成：代理人的信仰范围内的可能指出的空间，以及表示代理人如何判断不同命题或国家的数量概率函数。 另一方面，在定性逻辑模型中，代理信念以不同程度的细节表示。 最典雅的方法只区分状态的代理商认为可能会导致她所遏制的人。 这是标准的认知 - Doxastic逻辑的视角，如第3.6节中讨论的多代理S5和KD45。 Boutilier（1994）和Baltag和Smets（2008）的合理性模型采用了更细粒度的观点，其中，所述认知选择范围进一步通过编码哪些选项代理的合理性排序较少或更多地构建可能。 另见第3.6.4和4.2节。
概率和扩张性的观点既可以表达某种替代方案比另一个更有可能。 但是，两个框架之间也存在概念差异。 概率模型可以聚合，允许其逻辑表达，例如，甚至可以超过最高概率世界的许多低概率事件。 聚合概率播放了一个关键角色，例如，在计算预期实用程序中。 然而，没有在合理性语义中表达这样的事情。 对于另一个引人注目的差异，合理性模型导致了一个在联合关闭的信仰的概念。 这种结合关闭通常会导致信仰的概率账户失败。 请参阅两种建模之间的复杂桥梁的Leitgeb（2017）。
5.2从逻辑到概率和背部
在收到的视图上，逻辑和概率框架强调了相信的不同方面。 逻辑强调相互关联的相干性质，例如在逻辑意义或结合下关闭。 另一方面，概率推理强调分级信息和对诸如彩票等不确定事件的态度。 即便如此，还有各种方法试图通过构建框架之间的桥梁来统一两种类型的推理。
从定性到定量概率的早期尝试在这个方向上返回Finetti（1970 [1974]），追求概率理论的纯粹是定性的公理化。 进一步朝向逻辑推理的步骤是定性概率的各种理论（Kyburg 1994），通常基于概率的经典定量概念对现实生活代理的假设来说。 在这一行的研究中，只需要有部分，比较概率评估的原因，而不是为所有事件提供完全指定的概率。 定性概率的逻辑框架包括Segerberg（1971），Fagin，Halpern和Megiddo（1990）和Delgrande和Renne（2015）。 虽然详细差异，但这条线中的所有逻辑都具有共同的逻辑，它们允许表达φ⪯ψ的表达式，指示ψ判断为φ在φ处判断。 最近的框架为此语言添加了各种额外的细化。 同样，Heifetz和Mongin（2001）扩展了概率信仰的公理分析，以更高的顺序推理，研究类似于第3.7节中引入的那些概率型空间。
然而，有时认为定性概率的概念有缺陷：一整套概率逻辑原理，保证逻辑语言中的每一个完整描述对应于独特的概率测量，以便需要复杂的微积分，涉及不透明的无限规则（牛皮纸，普拉特，＆Seidenberg 1959;斯科特1964）。 哈里森 - 训练师，Holliday和Icard（2016年）和Ding，Holliday和Icard（2021）中提出了一种新的角度，通过公正低复杂性定性概率逻辑，从放松上述独特对应要求仅需要与某个家庭的所有概率衡量兼容。
但是，这里描述的框架都没有特定于游戏。 事实上，它仍有待观察是否有旧的概率逻辑，旧或最近，可用于对游戏理论概念的定性分析。
从定量到定性概率，而前一线研究旨在从定性观念恢复定量概率，悔改的项目显示了无处不在的定性模式在定量概率环境中可能是自然出现的。 建立有时被称为洛克论文，阈值通过规定φ的概率高于一些适当的数值阈值T，阈值通过规定要相信一些φ的概率来接近逻辑的概率。 对于大多数阈值T的选择，这种翻译不良，标准逻辑DesiderATA不合适，因为相信的信仰将不会在结合下关闭。 但是，在最近的工作中，Leitgeb（2017）和Lin和Kelly（2012年）已经确定了一个人可以做得更好的条件。 在Skyrms（1977）的思想中，Leitgeb识别了在阈值上识别了强大的上下文相关的“鲁棒性条件”，以保证定义的信仰运营商毕竟满足KD45公理。 另一方面，林和凯利，以非统一的阈值工作，以转换逻辑和概率的信仰概念之间的转换，从而允许在双方的不同形式的信仰动态之间获得连贯性。 最近关于这些方法的数学基础和限制，以及他们生成的条件逻辑请参阅Mierzewski（2020）。
5.3更新和跟踪概率
在游戏的动态视角下，每个移动都构成了一条新的信息代理商必须考虑到。 此外，玩家还可以在审议时改变他们对游戏的信念，通过通信或他们收到的任何其他信号，他们可以是可靠的（参见第4节）。 所有此类动态事件提出了如何将新信息纳入代理商的信念以及概率更新具有相应的逻辑修订时的问题，反之亦然。
如果新信息是硬型，所接受的所有代理人都被认为是不可撤销的真实，逻辑公告的概率对应物是贝叶斯调理。 这两个概念在语义级别互相跟踪，这意味着它们的输出量相同。 在公共公告后计算信仰意味着在子模型中重新计算，由所收到的信息的所有国家组成。 这与贝叶斯更新中的重新计算概率完全相同。 此外，对于推理更新，两种方法都需要条件概念：条件相信和条件概率。 条件信仰的定量概念涉及条件信仰B（φ|）的逻辑概念，随着后者的轻微警告，后者还允许在任何一个论据中允许认识的或移植算子。 在第4.1.2节的早期合理性语义中出现了条件信仰的更精细逻辑概念，（BALTAG＆SMET 2008）。
鉴于定性和定量观点的共存，询问人是否可以跟踪另一个。 在静止的意义上，跟踪询问不同的信仰概念是否可以通过省略或转换所涉及的一些语义细节来互相翻译。 动态解释通过询问是否在第4节的硬或软品种中进行更新，与换向图中的这些翻译兼容：在翻译后的新透视中的信息更新应该产生与旧的匹配更新相同的结果透视，然后翻译（范生根2016年）。 在游戏中，跟踪主题不仅可以参考信息更新，而且还可以引用在第2节中考虑的各种级别描述的游戏播放中解决概念或移动。
跟踪映射的存在取决于所考虑的确切更新类型。 到目前为止，合理性模型有各种更新政策（Van Benthem＆Smets 2015），并非所有这些都具有明显的概率对应物。 同样地，对于众所周知的概率更新品种，例如杰弗里更新，在默许所选命题的概率可以复位的情况下，Plausibility对应物并不容易找到，虽然Van Benthem，Gerbrandy和Kooi（2009）修改动态认识逻辑，以允许Jeffrey更新和其他广义概率政策。
5.4专门用于游戏
实际上，博弈论的所有方面都提供了逻辑和概率观点之间的联系。 显然，这对于刚才讨论的知识，信仰和动态的不同表现是如此。 其他联系人发生在游戏形式的水平，CF. 第2节，概率丰富了策略的空间。 由此产生的混合动作需要玩家扩大他们对混合结果的偏好，CF。 第3节最后，在游戏比赛的推理水平上，参见 第4节，概率信念在解决方案技术中发挥作用，例如基于主导或预期的基于效用的推理。
可用的行动和混合策略概率纯策略的概率混合物在博弈论中突出，因为它们可以确保没有单独纯策略可以保证的结果和收益。
匹配便士的示例。
以矩阵形式考虑匹配便士的知名游戏：
鲍勃
x y
安。一个。1，-1。-1,1
b -1,1 1，-1
对于ANN，一个混合的策略，恰逢一半的时间保证了0的预期结果，无论鲍勃都是什么。 没有纯粹的策略可以实现这一点。
从逻辑的角度来看，混合策略可以概念化为较早的游戏逻辑中的新原始动作（CF.第2节）。 然而，这种治疗立即使可用行动无限的集合呈现。 一种谨慎的精致逻辑语言，将逻辑方法扩展到定性概率，可以允许具有至少Q的概率播放动作的表达式，（Delgrande和Renne 2015）。
一个更具挑战性的一般问题是如何将经典概率方法与其定期结果和平衡存在定理联系起来，在此条目的几个地方提到的逻辑固定点方法。 后者与逐步的阶级迭代运作，而不是逐步，近似程序，使得与古典博弈论相关的布鲁瓦或kakutani定理定理。 相关问题只是在定性框架内再现概率存在定理所需的逻辑需要多少逻辑。
添加播放器的首选项一旦添加偏好，混合策略触发了额外的复杂性。 一些球员追求混合策略的战略概况并没有产生独特的结果，而是一种成果的加权组合。 因此，允许混合策略需要提升偏好关系与结果或策略概况的概率混合物。 纳入这种混合物可以隐含地脱离原因的标准，纯粹的定性视角（Ramsey 1931;野蛮人1954年）。
示例扩展的首选项比较。
以下两款游戏在两个玩家之间的结果之间的定性（即序数）偏好方面相当。 但是，它们在混合结果之间的偏好方面不同
0.5（b，x）+0.5（b，y）⪰a（一个，x）
把游戏抱在左边，但不是在右边。
x y
一个1,0 2,1
b 0,1 4,0
x y
一个1,0 2,1
b -10,1 4,0
这种方式摆着一些逻辑挑战。 例如，考虑偏好关系的结果，其中MT（A，B）代表以概率的概率而获得，否则。 此设置位于von Neumann和Morgenstern的1944年的众所周知的“连续性公理”的范围内，其特征在于隐式无限脱位：
a⪯b⪯c⇒∃t∈（0,1）：mt（a，c）⪯b⪯m1-t（a，c）
这似乎超出了标准概率逻辑的表现力量。
解决方案概念和游戏概率概率也影响了游戏游戏的过程及其推理动态，例如通过改变早期提到的弱势和强大的优势（第3.4节）。 考虑以下游戏，CF. 德布林（2005）：
b
x y
一个。一个。0,5。5,0
湾5,0。0,5
c。1,1。1,1
唯一的策略都不是纯粹的策略。 然而，就预期结果而言，C由A和B的相同混合物主导。 因此，提前分析的解决方法如迭代除去弱或强统治策略可能提供不同的和不相容的结果，这取决于是否考虑了混合策略。 对于此设置，对早期种类的令人满意的逻辑分析似乎没有令人满意的分析。
5.5逻辑方法的进一步挑战
对逻辑和概率推理比比率相互作用的进一步挑战。 通过结论，这是一种似乎难以捕获纯粹的逻辑术语的维度。 游戏和决策理论的特征是，信仰和偏好以各种方式纠缠（刘2011）。 例如，预期效用的关键概念纠缠概率，代表信仰，公用事业，站立偏好。 面临关于对手的现状和未来行动的概率不确定性的球员通常建议最大化预期的效用（冯Neumann＆Morgenstern 1944;野蛮人1954年）。 因此，即使一个人发现了概率信仰和基本实用的定性对应物，纠缠造成了通过形成一些通过形成一些匹配的定量方面实现的方式实现这两个定性分析的额外难度两种组件的算术组合。
6.游戏化
此条目的主要议题是博弈论的逻辑方法，带来逻辑的经典概念和方法才能承担游戏。 这个项目有时被称为“游戏逻辑”。 在那里还有“逻辑为游戏”的匡威方向，其中游戏理论概念被用于阐明逻辑的基本概念。 本节介绍了对该方向作为进入主线的自然对立方向。 对于广泛的调查，请参阅逻辑和游戏和游戏的条目，抽象和完整性。
6.1逻辑游戏
在游戏理论术语中已经分析了逻辑中的许多概念
评估游戏有知名的双人游戏，用于评估给定逻辑模型中的一阶公式φ。 这些游戏在验证者和伪造器之间播放，既可以测试原子断言，并从给定域指定变量的值（HITIKKA 1973）。 根据公式φ的句法结构确定游戏的时间表。 剖钉和存在量化器需要伪造器的验证者，连词和通用量词的选择，否定触发两个玩家之间的角色交换机。 结果是获奖策略与真理的普通语义概念之间的匹配：
在Model M下，在Assignm M模型中，验证者在相关游戏游戏（M，S，φ）中具有获胜策略，在Model M中为True。
相应地，如果式φ在模型中为false，则伪造定义具有获胜策略。 评估游戏结果是一个非常灵活的工具。 通过适当调制规则和获奖的公约，可以找到适量的评估游戏，以便为大多数逻辑系统找到。 然而，这样做可以是一个非常非凡的任务，如对应于诸如模态μ-comchulus（Venema 2008）的定点逻辑相对应的复杂无限的“奇偶校验游戏”所见证。 为目的，应该指出这种分析风格与游戏中的自然行动联系起来的非常逻辑的操作，连词，障碍，模态运营商。 同样，真理的概念与广泛形式的游戏中战略的基本游戏理论概念相关联（参见第2节）：在此处可以理解为公式的真实性或虚假性的一个复杂的结构化对象。
两个观点之间的链接如此接近，即逻辑的有效原则来表达游戏理论事实。 例如，经过一点分析，排除中间的法律意味着总是验证者或伪造器都有一个获胜策略，CF。 第2.4节。 换句话说，在游戏理论上确定了古典逻辑的逻辑评估游戏。 事实上，此属性扩展到大多数非古典逻辑游戏。
其他逻辑游戏逻辑游戏存在许多其他目的。 ehrenfeucht-fraïssssssssssssssésssssssséssséséséssséséssse执行模型建设（Hodges 1985）。 在每种情况下，游戏中的策略与重要的逻辑概念相匹配。 例如，在Lorenzen对话奥运会中，索赔推荐人的赢得战略对应于对手授予的房屋索赔的证据，而对手的赢得战略是反模型的建设。 因此，证明和模型，逻辑中的两个相当明显的概念，在单个游戏中共存。
存在解释这些结缔组织的替代方案，游戏理论方法。 假设在研究下的游戏是固定的，与某种“游戏板”相关的，代表游戏的大国的主要特征（想想国际象棋，尽管可能发生更多抽象的游戏板）。 然后，上述等效性建议赢得策略，即在完整的广泛游戏树中定义的典型游戏理论概念，相当于更简单的“不变”，可以根据与树节点相关联的一些游戏板完全定义。 在分析具体游戏中，识别有用的此类不变性是一个众所周知的艺术。 就本条目的主要主题而言，不变性可以居住在与给定类游戏相关的不同级别。
游戏语义可以查看逻辑游戏，因为仅仅是教学的设备，分析了已经很好地理解的逻辑概念。 或者，在其他条件下，提供一种在游戏理论直觉上绘制的具体的教学逻辑方式。 但是，逻辑游戏有更多提供。 首先，通过追求现有逻辑游戏中获奖的公约，移动或调度的自然变化来提出新的逻辑。 此外，随着游戏构造函数的观看逻辑运营，表明了逻辑常量的新的精致视图。 例如，结合现在自然地分割成顺序和并行版本。 在计算的逻辑中也存在并行性的类似示例。 此外，与对象拣选相关联的量词，如在评估游戏中，将量词变为特殊类型的原子游戏，通过游戏组成的抽象操作连接到以下公式。 该抽象组成操作的一般逻辑与所选和开关的命题操作相结合，已经判定，提供了一个新的可判定核心逻辑，其存在未被怀疑，其存在尚未怀疑（Van Benthem 2014）。 因此，游戏可以在现有的逻辑系统上提供新的透视。
逻辑上的独立游戏理论观点的主要来源是计算逻辑的游戏语义（Abramsky 1997）。 在此设置中，逻辑游戏的状态可能会更改。 这些游戏而不是仅仅是仅仅是教学或探索性的设备，而不是仅仅是教学或探索性的设备被认为是逻辑常数的真正含义。 在此设置中，无限游戏通常是范式，站在正在进行的过程中，而不是有限的终止游戏。 这表明了模态μ-微积分，Venema（2008）的无限奇偶校验游戏的重要性，以及在比赛中早期的共代数透视。 Baltag，Van Benthem＆Westerståhl（即将举行）讨论共代数游戏语义的外面的视角，作为一种可行的通用范式，用于语言学意义，代表了标准讨论的重要转变。
6.2其他与逻辑相关的游戏
游戏逻辑和逻辑游戏之间的区别并不总是尖锐的。 最近的文献已经看到了许多设计与逻辑相连的游戏，但它们并不意味着分析本身的逻辑概念。 这些游戏中的许多游戏都是在图中播放的，作为播放器可以执行不同的移动的基础游戏板。 图表游戏广泛用于计算文献中，用于分析逻辑和算法任务（Flum，Grädel和Wilke 2007）。 但是，在本节中，我们仅突出了一个特定的图形游戏，以获得其富有成效的与逻辑的富有成果，这表明了许多不寻常的问题。
示例破坏游戏。
建议在不利情况下分析算法任务的破坏游戏。 在某些欧洲城市之间考虑以下网络：
这是五分之一的四个城市的图。 扩展描述（图标题中的链接）将描述树。
图24.ⓘ
在阿姆斯特丹和德国萨尔布鲁伯肯之间，可以轻松旅行。 现在，让恶毒恶魔开始取消网络中的连接。 在每个阶段，让恶魔取出一个链接，而旅行者可以遵循剩下的链接之一。 这将一个代理规划问题转变为双人破坏游戏。 Zermelo-style推理表明，从萨尔布鲁伯伦，德国旅行者仍然有一个获胜的战略，而在阿姆斯特丹，恶魔通过首先将靠近萨尔布鲁伯氏切割的联系，恶魔对荷兰旅行者进行了胜利战略。 原始搜索问题的对称性被打破。
