信息（六）
乘法是通过定义信息节约。 我们有：Δ（a×b）= 0，因为日志（a×b）= loga + logb。 仍乘法不保留其输入中的所有信息：操作的顺序丢失。 这正是我们想要的操作员所需的是，其特征是广泛的措施：只保留了数字的广泛质量。 如果我们将两个数字乘以3×4，那么结果12，允许我们重建原始计算，就我们可以将所有组件减少到最基本的值：2×2×3 = 12。 这导致观察到某些数字充当其他数字的信息构建块，这为我们提供了素数的概念：
定义：素数是只能通过自己划分的数字或1。
素数的概念引起算术的基本定理：
定理：大于1的每个自然数n是素质的多立方AP的乘积，并且该多项网是唯一的。
算术的基本定理可以被视为关于守恒的定理：对于每个自然数量，存在一系列的自然数，该自然数包含完全相同的信息。 数字的因素形成了所谓的多立方：可以包含相同元素的多个副本的集合：例如，数字12定义了数量2的多重{2,2,3}。 这使得MultiSET成为用于编码信息的强大设备，因为它代码定性信息（即，数字2和3）以及定量信息（即，第2号2发生的事实和仅一次3）。 这意味着在乘法的乘法方面的自然数也代码两种类型的信息：值和频率。 我们可以再次在单一自然数字中使用这种洞察来代码复杂的键入信息。
5.1.8信息，素数和因素
基于位置的数字表示使用添加功率是简单且易于处理的，并形成大多数数学函数的基础。 这不是基于乘法的编码系统的情况。 数学和信息哲学中的许多开放性问题在算术和素质基本定理的概念的背景下出现。 我们还提供简短的概述：
（ir）素质集的规律性。
由于古代众所周知，存在无限数量的素数。 证明很简单。 假设这组素数P是有限的。 现在乘以P的所有元素和添加1.所得到的数字不能被P的任何成员划分，所以P是不完整的。 估计由素数定理给出的素数的密度（参见素数定理关于百科全书的英特兰卡在百科全书[oir]中）。 它指出，在尺寸N的自然数量集合中的次数之间的间隙大致LNN，其中LN是基于欧拉数E的自然对数。 密度估计的改进由他于1859年由他制定的所谓的黎曼假设（Goodman和Weisstein 2019 [oIr]）给出，这通常被认为是数学中最深切的未解决问题，尽管大多数数学家认为假设是真的。
（in）分解效率。
由于乘法保存信息功能是在某种程度上可逆的。 找到某个自然数N的独特素线组的过程称为因子。 观察到在素数的定义中使用术语“仅”意味着这实际上是一个负面表征：如果在1到N之间存在没有数字，则n是素数。 这为我们提供了一个有效的过程，用于分解N个数字N（只需尝试将N除以1到N之间的所有数字，但这种技术不高效。
如果我们使用位置系统来表示Number n，则通过试验和错误识别n因子的过程将采用大多数N个试验的确定性计算机程序，该试验在⌈logn⌉控件的表示的表示中给出了计算时间指数。 通过审判和错误的分解，比较简单的数字，例如，两百位数，这是一个相当小的信息，可以轻松地将我们整个宇宙的大小的计算机长于自大爆炸以来的时间。 因此，尽管理论上可行，但这种算法是完全不实际的。
因子可能是所谓的TRAPDOOR一对一功能的示例，这很容易从一侧计算，而是在其逆的一侧计算。 无论是真正困难的因素，仍然是一个开放的问题，虽然大多数数学家都相信要努力的问题。 注意，在此上下文中的分解可以被视为解码消息的过程。 如果难以进行分解，则可以用作加密技术。 像RSA一样的经典加密技术基于具有大型素数的乘法代码。 假设Alice有一条消息编码为一个大数字，她知道Bob可以访问大型Prime p。 她将数字p×m = n发送到鲍勃。 由于鲍勃知道P，他可以通过计算M = n / p轻松地重建m。 由于因分解是困难的任何其他人接收消息N将具有硬时间重建M。
原始测试与分解。
虽然目前，虽然目前不了解对经典计算机的分解技术不存在，但是有一种有效的算法，可以为我们决定一个数字是否是素数：所谓的aks原始测试（Agrawal等，2004年）。 所以，我们可能知道一个数字不是素数，而我们仍然无法访问其一组因素。
经典 - 与量子计算。
理论上，使用SHOR算法（SHOR 1997）的量子计算机对量子计算机进行有效。 该算法具有非古典量子子程序，嵌入在确定性的经典程序中。 量子位的集合可以根据复杂的高尺寸矢量空间进行建模，原则上允许我们分析N对象的集合之间的指数2N相关性。 目前尚不清楚较大的量子计算机是否足够稳定，以促进实际应用，但是量子级的世界具有相关的计算可能性，例如，可以不再怀疑，例如，量子随机发电机可作为商业产品提供（参见维基百科入门硬件随机数生成器[oir]）。 一旦可行量子计算机变得可用，几乎所有当前的加密技术都变得无用，尽管它们可以被量子版本的加密技术替换（请参阅Quantum ComputionG上的条目）。
有一个无限数量的观察结果，我们可以达到不由公理直接暗示的组n，而是涉及相当大的计算。
5.1.9算术的不完整性
在1931年的一个地标论文中KurtGödel证明，任何包含基本算术的一致正式系统都是从根本上不完整的意义上，即它包含在系统内无法证明的真实陈述。 在哲学上下文中，这意味着在系统内的数学函数方面，不能在富于基本数学中富有足够富有的正式系统的语义，即，存在有关系统的有意义的语义信息，其中包含有关系统的语义信息，有意义的陈述而且真是太忠实而不可证明。
中心是递归功能的概念。 （参见递归函数的条目）。 这些功能在数字上定义。 Gödel对递归函数的概念最接近我们在每天生活中与计算相关联的东西。 基本上，它们是基本的算术功能，在自然数上运行，如添加，减法，乘法和划分以及可以在这些顶部定义的所有其他功能。
我们给出了证明的基本结构。 假设f是一个正式的系统，以下组件：
它有一个有限的符号
它具有一个语法，使我们能够将符号组合到形成良好的公式中
它有一组确定性规则，允许我们从给定的陈述中派生新语句
它包含PEANO的公理指定的基本算术（参见上面的5.1.3节）。
此外，F是一致的，即，它永远不会导出错误的语句形成真实的语句。 在他的证据中，Gödel使用乘法的编码可能性来构建系统的图像（参见从哥德尔不完整定理的条目中讨论Gödel编号）。 根据算术的基本定理，任何数量都可以唯一的因素到其素数。 这定义了数字和数字之间的一对一的关系：数字12可以基于多立方{2,2,3}为12 = 2×2×3构造，反之亦然。 这允许我们以下列方式将任何符号序列作为特定的单个号码：
为每个符号分配唯一编号
PRIME号码定位字符串中符号的位置
该组主要因素中的相同素质的实际数量定义了符号
在此基础上，我们可以将任何符号序列代码为所谓的Gödel号码，例如，数字：
2×3×3×5×5×7 = 3150
代码在假设a = 1，b = 2下表示{2,3,3,5,5,7}表示字符串“abba”。 通过这种观察条件，靠近那些导致罗素悖论的人满意：基本算术本身足以表达：普遍性，否定和自我参考。
由于算术是一致的，这不会导致悖论，而是不完整。 通过与骗子的建筑悖论帕拉德·哥德尔证明，这样的系统必须包含真实但不可证明的陈述：表格有真正的句子“我不可否认”。
定理：任何包含基本算术的正式系统都是根本不完整的。 它包含真实但不可提供的陈述。
在信息哲学的背景下，数学的不完整性是自然数量与编码信息的丰富可能性的直接后果。 原则上，任何确定性的正式系统都可以以基本的算术功能而言。 因此，如果这样的系统本身含有算术作为子系统，则它含有无限的基因族链（即，自身的图像）。 这样的系统能够推理其自己的功能和证据，但由于它是一致的（因此在系统内不可能建造悖论），因此必须不完全不完整。
5.2信息和符号计算
递归函数是在自然数上定义的抽象关系。 原则上，它们可以定义而不参考空间和时间。 必须与要计算它们的操作区分此类功能。 这些操作主要取决于我们为他们选择的符号表示的类型。 我们可以代表第七号作为一元数字||||||||，二进制111，罗马号码VII或阿拉伯语号7，并且根据我们的选择，可以使用其他类型的顺序符号操作来计算另外两加五是七，可以表示为：|||||||||||||||||||| 10 + 101 = 111ii + v = vii2 + 5 = 7consequents我们可以将这四个句子作为相同数学真理的四个语句，或作为指定四种不同的结果操作。
观察：（至少）我们可以研究计算概念的两种不同的观点。 根据这些解释，符号的语义是不同的。
递归函数范式研究在空间和时间外的自然数上的抽象功能方面的计算。 当解释为数学事实时，+签名10 + 101 = 111表示称为添加的数学函数，=符号指定平等。
符号操纵范例在符号字符串空间表示的顺序操作方面的计算。 当作为操作解释为10 + 101 = 111时，表示符号操作的顺序过程的输入，=符号指定该操作或输出的结果。 这种算法可以具有以下形式：10 + 101111
这导致以下暂定定义：
定义：宏观刻度上的确定性计算可以定义为根据确定规则的离散对象的本地，顺序，操纵。
本质上有许多其他方式来执行这些计算。 人们可以使用算盘，研究化学过程或简单地操纵海滩上的鹅卵石序列。 我们操纵对象的事实与观察到数据集是自我参考的观察，所以数据域名原则上的Dedekind Infinite：
定义：如果它具有双孔f：s→s'，则设置s是dedekind无限的。
由于数据元素是离散的并且有限的数据域将是可数无限的，因此对该组自然数具有同义。
定义：如果存在具有该组自然数N的双射来，则无限集S是可计算的。
对于无限数组，信息概念定义如下：
定义：假设s是可数和无限的，并且功能f：s→n定义一对一的对应关系，然后：i（a ||，f）= logf（a）i.e.，给定f的索引中的索引中的信息量。
请注意，通信F明确指定。 一旦为现实世界中的一类对象定义了这样的索引函数，就可以解释这些对象的操纵是一种计算形式。
5.2.1图灵机
一旦我们选择一个有限的符号和我们的操作规则，系统开始生成关于世界的陈述。
观察：元句：
标志“0”是零的符号。
指定与stategee∈a的语义信息相同的声明为sere（参见第6.6节）。 该陈述是乖巧，有意义的和真实的。
我们可以在抽象水平上学习符号操作，没有任何语义意义。 这种理论由Alan Tying（1912-1954）出版。 在数学家执行的符号实际操作上，制定了一个专注于实际操作的一般理论（图4 1936）。 对于他来说，一台计算机是一个坐在桌子后面的真正数学家的抽象，接收在托盘（内部）上写入的问题，根据固定规则（过程）来解决它们，并将它们送到Out-Tray（输出）中拾取。
图灵首先制定了沿着这些线路的一般计算理论的概念。 他提出了在具有三个符号的无限磁带上运行的抽象机器：空白（b），零（0）和一（1）。 因此，用于图灵机的数据域是一组相关的磁带配置，它可以与一组二进制字符串相关联，由零和一个组成。 机器可以在磁带上读取和写入符号，它们具有在各种条件下确定其动作的过渡功能。 在抽象水平的图灵机上运行就像功能一样。
定义：如果TI是具有索引I的图灵机，并且X是ZERO的弦串，并且在磁带上的磁带上，用作输入，TI（x）表示机器停止后的磁带配置，即其输出。
有一个无限数量的图灵机。 发现发现有所谓的通用图灵机UJ，可以模拟任何其他图灵机Ti。
定义：Expression UJ（¯tix）在读取机器Tj的自定义描述¯ti之后，通过UJ表示计算TI（x）的结果。
自定义代码是必要的，因为UJ的输入被编码为一个字符串¯tix。 通用机器UJ将输入字符串¯tix分开到其两个组成部分：机器的描述¯ti和本机x的输入。
一般计算系统的自我参照性质使我们能够构建模拟其他机器的机器。 这表明可能存在“超级机器”，以模拟所有可能的机器上的所有可能的计算并预测其结果。 使用称为对角化的技术，其中一个人分析了在所有可能机器的描述上运行的所有可能机器的枚举，证明了这种机器不能存在。 更正式：
定理：没有图定机器预测任何其他图灵机，无论是否停止某个输入。
这意味着对于某个通用机器UI，它在有限时间内停止的一组输入是无解扣的。 近年来还研究了关于图灵机上的无限计算的概念（Hamkins和Lewis 2000.）并非每台机器都会停止每个输入，但在某些情况下，无限计算计算有用输出（考虑数字PI的无限扩展）。
定义：停止组是图灵机TI的组合和输入X的组合，使得计算TI（x）停止。
通用图灵机的存在表明该类体现了通用计算的概念：也可以对任何其他通用图灵机执行在特定的图灵机上执行的任何计算。 这是一般可编程计算机概念的数学基础。 这些观察结果对信息理论提供了：定义了kolmogorov复杂性的某些信息措施，但不可计算。
在图规计算机类中存在的存在证明类似于大学算术的Gödel的不完整性结果。 由于定义了图灵机以研究计算的概念，因此包含基本算术。 这类图灵机本身就足以表达：普遍性，否定和自我参考。 因此，图灵机可以模拟关于自己的普遍负陈述。 图灵的无能证明也是由骗子悖论的动机，并且一定输入停止的机器的概念类似于某一语句存在的证据的概念。 在同一时间，图灵机满足Gödel定理的条件：它们可以被建模为包含基本PEANO算法的正式系统F.
观察：由于它们可以互相模拟，因此递归函数范例和符号操作范例具有相同的计算强度。 可以在一个范例中计算的任何功能也可以通过定义来计算在另一个范例中。
这种洞察力可以推广：
定义：如果它具有与图灵机的一般类别相同的计算能力，则无限一组计算功能是完整的。 在这种情况下，它被称为图灵等价物。 这样的系统就像图灵的类，通用：它可以模拟任何可计算功能。
这种观察的哲学意义是强大而丰富的，不仅用于计算理论，而且还用于我们对信息概念的理解。
5.2.2普遍性和不变性
通用计算的概念与信息的概念之间存在复杂的汇编。 精确的事实是，图灵系统是普遍的，我们可以说他们处理信息，因为他们的普遍性需要不变性：
小型不变性定理：字符串X中信息的概念测量为通用图灵机U的节目的最小符号S的长度，使得U（S）= X是不变的，在选择不同通用图灵机的选择下模数
证明：证明简单且与信息哲学相关。 让L（x）是符号串的长度x。 假设我们有两种不同的通用图灵机UJ和英国。 由于它们是通用的，因此它们都可以在输入x上模拟图灵机Ti的计算Ti（x）：
uj（¯tjix）英国（¯tkix）
这里L（¯tji）是UJ和L（¯tki）的TI代码的长度是英国TI的代码的长度。 假设l（¯tjix）«l（¯tkix），即英国的TI的代码在UJ上的效率远得多。 观察UJ的代码具有恒定长度，即l（¯ukj）= c。 由于英国是普遍的，我们可以计算：
英国（¯ukj¯tjix）
此计算的输入的长度是：
l（¯ukj¯tjix）= c + l（¯tjix）
因此，通用机器英国上的计算TI（x）的输入的规范永远不会超过常数。 ◻
这种证明构成了Kolmogorov复杂性理论的基础，最初是由于所罗门组织（1964A，B）和Kolmogorov（1965）和Chaitin（1969）独立发现。 请注意，此不变性的概念可以通过TING完成系统的类广义概括：
大不变性定理：根据计算的输入长度测量的信息的概念是不变的，模数为附加恒定，用于图灵完整的系统。
证明：假设我们有一个图灵完整的系统F.根据定义，可以在F中仿真图灵机上的任何计算TI（x），反之亦然。 将有一个特殊的通用图灵机UF，用于在F：UF（¯tfix）中模拟计算TI（x）。 原则上，¯tfi可能会对代码程序使用非常低效的方式，使得¯tfi可以具有任何长度。 观察UF模拟的任何其他通用机器UJ的代码具有恒定长度，即L（¯ufj）= c。 由于UF是普遍的，我们也可以计算：
uf（¯ufj¯tjix）
该计算的输入的长度是：L（¯ufj¯tjix）= c + l（¯tjix）因此，通用机器UF上的计算Ti（x）的输入的指定永远不会比常数长。 ◻
