图灵机（三）
2.4.1直接和间接明确决策问题的证明
那么，对于一个特定的决策问题来说，如何显示，它不是可计算的？ 有两种主要方法：
间接证明：占据一些问题，已知已知是无象征的，并表明问题“减少”到DI.
直接证明：通过假设一些版本的教会图论论文，直接证明了DI的无困难性。
今天，人们通常依赖于第一种方法，而在没有问题的情况下，在没有问题的情况下，还要依赖于直接方法，也是教会和帖子（参见第4章）。
还原性的概念在图灵和帖子中的起源中的起源是考虑几种可计算性的若干变体（1947年的帖子;图灵1939）。 该概念后来在计算复杂性理论的背景下占用，并且是今天可计算性和计算复杂性理论的基本概念之一（ODIFRIFDDI 1989; SIPER 1996）。 粗略地说，将问题Dj的问题降低到，以提供用于将问题DI的每个实例Di，M m的有效过程为DI的实例Dj，n，使得求解DJ的有效过程，N，N也产生了求解DI的有效过程，米 换句话说，如果di减少到dj，那么，如果di是无解扣的，则Dj是DJ。 注意，对另一个问题的一个问题也可以用于可解除性证明：如果已知DI减少到DJ和DJ，则可以如此。
在没有Duncomp的情况下，需要一个非常不同的方法，并且教会，邮政和提取的每个或多或少地用于这个目的（Gandy 1988）。 首先，人们需要一种形式主义，捕获可计算性的概念。 提出了这个目的的定位机形式主义。 第二步是表明，在形式主义中存在不计算的问题。 为了实现这一点，需要相对于能够计算每个可计算数的形式主义来设置统一的处理。 然后可以使用（某种形式的）对角化与U组合来导出矛盾。 颂歌介绍了对角，以表明该组实数为“不可数”或不可转售。 该方法的变体也被Gödel在他的第一个不完整性定理证明中使用。
2.4.2图灵的基本问题CIRC？，打印？ 和entscheidungsproblem
回想一下，在图灵的原始版本的图灵机，机器正在计算实数。 这暗示了“表现良好”的图灵机实际上应该永远不会停止并打印出无限的数字序列。 通过作为无圈的识别这种机器。 所有其他机器都被称为圆形机器。 一个数字N，即圆形机的D.N.令人满意。
这种基本差异用于图灵证明无能的：
保监会？ 决定每一个号码的问题是否令人满意
CIRC的无能的证明吗？ 使用假设和无圆机的构造TDECIDE，其计算由无圆机计计算的所有可计算数字集的对角线序列。 因此，它依赖于其在通用图灵机上的结构和能够决定CIRC的假设机器？ 对于给予的每个数字。 结果表明，当提供自己的描述号码时，机器TdeCide成为圆形机器，因此是能够解决循环的机器的假设？ 一定是假的。
基于CIRC的无简约性？，TITE然后显示也打印？ 不是可计算的。 更具体地说，他表明如果打印？ 是可计算的，也是CIRC？ 将是可判定的，viz。 他改写打印？ 以这样的方式，它成为决定任何机器的问题，无论是否将打印到决定循环的符号无限符号？
最后，基于打印的无能性？ 图灵表明，OntscheidungsProbrom不是可判定的。 这是通过显示的实现：
每个图灵机T如何，可以在一阶逻辑中构建相应的公式T
如果有一种用于确定T是否可提供的一般方法，那么有一种通用方法可以证明T将为PENT打印0.这是打印的问题？ 因此，不能判定（提供我们接受图灵的论文）。
因此，从印刷的无困境中遵循，所以OntscheidungsProbly不是可计算的。
2.4.3停止问题
给定图灵对可计算的实数，他的基本决策问题是确定一些图灵机是否不会停止，因此与更众所周知的停留问题没有完全相同：
停止？ 决定每个图灵机T是否会停止的问题。
图灵的问题打印了？ 事实上很接近停止吗？ （见Davis 1958：第5章，定理2.3）。
一个流行的停止证明？ 如下。 假设停止？ 可计算。 然后应该可以构造一个图灵的机器，用于针对每台机器TI和一些输入W对于Ti，无论是否将在w上停止。 让我们打电话给这台机器。 更具体地说，我们有：
th（ti，w）= {haltif ti在w上wloopif ti循环停止
我们现在定义第二台机器TD，依赖于可以构建机器TH的假设。 更具体地说，我们有：
TD（TI，D.N。TI）= {HALTIF TI在其OmenDescription NumberLoopIF Ti上停止其所有录取编号
如果我们现在将TI设置为TD，我们最终会达到矛盾：如果TD停止它意味着TD不会停止，反之亦然。 在编程的背景下，克里斯托弗斯特拉什（Strachey 1965）给出了这个证据的流行但非常非正式的变体。
2.5图灵机的变化
从第1.1和1.2节中可以清楚地看出，有些定义的图灵机。 人们可以使用Quintule或四倍符号; 一个人可以有不同类型的符号或仅限一个; 可以有双向无限或单向无限磁带; 等等。过去已经考虑过几种不太明显的修改。 这些修改可以是两种：概括或限制。 这些不会导致“更强”或“弱”模型。 即。 这些修改后的机器不再计算，不小于图灵可计算功能。 这增加了图灵机定义的鲁棒性。
二元机
在他短期的1936号笔记下，发布的机器考虑标记或取消标记的正方形，这意味着我们只有两个符号S0和S1，但他没有证明这种制定捕获了图灵的可计算功能。 Shannon证明，对于任何带有n个符号的图灵机T，有一个有两个符号模拟T的图灵机（Shannon 1956）。 他还表明，对于任何带有M个州的图灵机，有一个图灵机只有两个态度模拟它。
非擦除机器
非擦除机器是只能叠印S0的机器。 在摩尔1952中，提到Shannon证明了非擦除机器可以计算任何图灵的机器计算。 该结果是在50s的实际数字电脑的背景下给出的，依赖于冲孔胶带（因此，其中一个不能擦除）。 Shannon的结果仍未发表。 王是发表结果（王1957）。
非写作机器
Minsky表示，对于每个图灵的机器，有一个非写入图案的制品，其中有两个胶带模拟它（Minsky 1961,438-445）
多个磁带
而不是一个磁带可以考虑具有多个磁带的图灵机。 这在几种不同的背景下证明了非常有用。 例如，Minsky，使用了双磁带非写入图灵机来证明由POST定义的某些决策问题（标签系统的决策问题）是非图灵可计算的（MINSKY 1961）。 Hartmanis和Stearns然后，在他们的计算复杂性理论中的创始纸上，证明了任何N形磁带图测量都会减少到单个磁带图定机器，因此可以通过单个磁带计算任何可以由n磁带或多张图形制品计算的任何东西图灵机，相反（Hartmanis＆Stearns 1965）。 他们使用多相机器，因为它们被认为更接近实际的数字计算机。
N维图带机
另一个变体是考虑带有磁带不是一维但n维的图灵机。 该变体太低了一维变体。
非确定性机器
图定型机的概念显然更自由基是非确定性的图灵机。 如1.1所述，图灵机的一个基本条件是所谓的确定性条件，viz。 在任何特定时刻，机器的行为完全由它处于配置或状态以及扫描的符号完全确定机器的行为。 在这些旁边，Cuting还提到了所选机器的想法，其中下一个状态不完全由状态和符号对确定。 相反，一些外部设备会随机选择下一步该做什么。 非确定性图灵机是一种选择机：对于每个状态和符号对，非确定性机器在有限（可能为零）状态之间进行任意选择。 因此，与确定性化机器的计算不同，非确定性机器的计算是可能的配置路径的树。 可视化非确定性图灵机的计算的一种方法是，机器为每个替代的可用转换产生自身和磁带的精确拷贝，并且每台机器都继续计算。 如果任何计算机成功终止，则整个计算终止并继承了该机器的生成磁带。 在前面的句子中成功地注意到这个词。 在该制定中，某些状态被指定为接受状态，当机器终止在这些状态之一时，那么计算成功，否则计算不成功，并且任何其他机器都在寻找成功的结果。 向图灵机添加非决定性，不会改变图灵计算的程度。 在论文中，为有限自动机引入了非确定性，Rabin＆Scott 1959，其中还表明添加非确定性不会导致更强大的自动机。 非确定性图灵机是计算复杂性理论的背景中的重要模型。
弱和半弱机器
弱图灵机是机器，其中字母上的一些单词无限地重复在输入的左侧和右侧。 半弱机是机器，其中一些单词通常在输入的左或右侧重复。 这些机器是标准模型的概括，其中初始磁带包含一些有限字（可能是NIL）。 他们被介绍以确定较小的通用机器。 Watanabe是第一个定义具有六个州和五个符号的通用半弱机器（Watanabe 1961）。 最近，许多研究人员已经确定了几种小弱和半弱的通用图灵机（例如，Woods＆Convery 2007; Cook 2004）
除了在图灵机模型上的这些变体外，还有变体导致捕获的模型，以某种明确的意义，超过（图灵）履调功能。 这种模型的示例是Oracle机器（图41939），无限时间的图灵机（Hamkins＆Lewis 2008）和加速图灵机（Copeland 2002）。 引入这种更强大的模型有各种原因。 有些是知名的可计算性或递归理论的模型，用于高阶递归和相对可计算性的理论（Oracle机器）; 其他（如加速机）在SuperTasks的背景下介绍以及提供“计算”功能的物理模型的想法，这些功能是不计算的。
3.与图灵机关的哲学问题
3.1人类和机器计算
在其原始的上下文中，计算可计算数字和图灵机之间的识别旨在证明，EntscheidungsProbral不是可计算问题，因此不是所谓的“一般过程”问题（图4936-7：248）。 为此结果进行的基本假设是我们的“直观”可计算性的概念可以正式定义为图灵计算性，因此没有“可计算”问题不提供可计算。 但是如何定义的“直观”的计算性概念，我们如何确保它真正涵盖了所有可计算的问题，更常见的是各种计算？ 这是计算机科学哲学中的一个非常基本的问题。
在图灵写作纸质时，现代计算机尚未开发，因此，图灵的论文中的重复性，该论文识别了现代计算机的可计算性的计算性，而不是历史上的特定论文的正确陈述。 当时图灵的现有计算机器写了他的论文，例如差分分析仪或台式计算器，它们可以在人类计算实践（Grier 2007）的上下文中被施加并使用。 因此，图灵没有尝试正式化机器计算，而是人类计算，因此在图灵的纸上的可计算问题中可以通过人类方式来计算。 这在图9的第9节中非常明确，其中他表明图灵机是通过分析人类计算过程的“自然”计算（人类）计算的模型。 分析结果是一种抽象的人类计算机“，旨在实现一组不同的条件，这些条件植根于识别一系列人类限制，这限制了我们可以计算的（我们的感官设备也是我们的心理设备）。 这个“计算机”计算（实际）在分为正方形的无限一维磁带上的（实际）数字[注意：图灵假设纸张的二维特征的减少人类数学家通常在“不是计算至关重要”（图灵1936-7：249）]。 它具有以下限制（Gandy 1988; Sieg 1994）：
确定条件d“计算机在任何时刻的行为都是由他观察的符号以及他在那一刻的”心态“的符号决定。” （图灵1936-7：250）
界限条件B1“存在绑定的B到计算机可以在一瞬间观察的符号或正方形的数量。 如果他希望更多地观察更多，他必须使用连续观察。“ （图灵1936-7：250）
界限条件B2“需要考虑的心态的数量是有限的”（图1936-7：250）
位置条件L1“我们可能[...]假设符号被改变的正方形始终是”观察到“平方” （图灵1936-7：250）
地区条件L2“每个新观测的方块都在立即以前观察到的正方形的L方块内。” （图灵1936-7：250）
这是所谓的“直接吸引直觉”（1936-7：249）的图灵分析和结果模型，解释了为什么TINE机器今天被许多人认为，许多标准的可计算标准模型（对于这一观点而言，看看1996年SOARE 1996）。 实际上，从上述条件中可以很容易地获得图灵的机器。 基本上通过分析了限制条件进入“简单的操作”，这是基本上实现的，这是如此小学的，即不容易想象它们进一步分开“（图灵1936-7：250）。
注意，虽然图灵的分析侧重于人体计算，但他对OntsCheidungsProbrom的识别（人类）计算和图灵机计算的应用表明，他没有考虑某种计算模型的可能性，以某种方式“超越”人类计算和能够提供一个有效和一般的程序，可以解决OntscheidungsProblus。 如果这是这种情况，他就不会考虑entscheidungsproberm是无可证的。
关注人类计算在计算的计算分析中，已经LED研究人员通过物理设备延长了对计算计算的图灵分析。 这导致（版本）的物理教会图论论文。 Robin Gandy专注于将图灵的分析延伸到离散机械设备（请注意他没有考虑模拟机器）。 更具体地，如图所示，Gandy从离散机械设备的基本限制开始，并且在此基础上，开发了他证明他被证明可以降低到图灵机模型的新模型。 Wilfried Sieg的这项工作仍在继续推出可计算动态系统框架（SIEG 2008）。 其他人已经考虑了“合理”模型的物理学的可能性，这些模型是“计算”的东西，这些模型不计算可计算。 参见例如Aaronson，Bavarian，＆Gueltrini 2016（其他互联网资源），其中显示，如果存在闭合的时间曲线，则停止问题将使有限资源可解决。 其他人已经提出了由图灵机模型的灵感的计算替代模型，但是捕获所需计算实践的特定方面，所以进行图定型机模型被认为不太适合。 这里的一个例子是旨在捕获交互过程的持久性图灵机。 但请注意，这些结果并不表明存在“可计算”问题，这些问题不计算可计算。 一些作者认为，这些和其他相关提案是合理的计算模型，以至于以某种方式计算得更超过图灵机。 这是后一种陈述，即所谓的超级履历研究，导致2000年代初，在计算机科学界的相当激烈的辩论中，例如，为各种职位的Teuscher 2004.
3.2论文，定义，公理或定理
正如清晰，严格的话说，图灵的论文是不可否认的，因为其原始形式，它是关于正式和模糊或直观概念之间的关系的主张。 结果，许多人认为是论文或定义。 如果一个人能够为不计算的任务提供直观可接受的有效程序，则将驳斥论文。 这一点，没有找到这样的反异结果。 还基于替代基础的其他独立定义的可计算性概念，例如递归函数和算盘机器，相当于计算可计算性。 在相当不同的配方之间的这些等价表明我们理解的基础知识的自然和强大的概念。 鉴于我们对可计算性概念的这种明显的稳健性，有些建议避免完全概念论文的概念，而是提出一组用于锐化非正式概念的公理。 有几种方法，最值得注意的是，结构公理化的方法，其中可计算性本身是公开的（Sieg 2008）和一个人可以导出教会图所针对的公理化（Dershowitz）Gurevich 2008）。
4.可计算性的替代历史模型
除了图灵机之外，还在研究中独立于研究数学基础的背景下进行了几种其他型号，这导致了对图灵的论文相当的论文。 对于这些模型中的每一个，证明它们捕获了所需的可计算功能。 请注意，现代计算机的开发刺激了其他模型的开发，如登记机或马尔可夫算法。 最近，在生物学或物理学等学科中的计算方法，导致生物启发和物理启发模型，如培养网或量子图灵机。 然而，这种模型的讨论超出了此条目的范围。
4.1常规递归函数
一般递归函数的原始配方可以在Gödel1934中找到，它建于Herbrand的建议。 在Kleene 1936中，给出了更简单的定义，并在Kleene 1943中引入了使用所谓的最小化或μ-operator的标准形式。 有关更多信息，请参阅递归函数的条目。
教会利用一般递归职能的定义来说明他的论文：
教会的论文每次有效可计算的功能都是常规递归
在递归函数的背景下，可以使用递归的可解性和无法解决的概念而不是提供可计算性和无难消性。 本术语是由于帖子（1944）。
4.2λ可定义
教堂的λ-微积分在论文中有其起源（1932,1933教堂），其旨在作为数学的逻辑基础。 这是教会的信念，即这种不同的正式方法可能会避免哥特不完整（SIEG 1997：177）。 然而，教堂提出的逻辑系统被他的两位博士学生斯蒂芬C. Kleene和Barkley Rosser才能被证明是不一致的，因此他们开始关注基本上是λ-微积分的那个逻辑的子部分。 教堂，Kleene和Rosser开始λ-定义任何可计算的功能，他们可以想到并很快就建议教会在λ-可定性方面定义有效的计算能力。 然而，只有在教堂后，Kleene和Rosser建立了一般递归和λ - 可定性等同于教会公开宣布他的论文以及一般递归函数而不是λ-定义（Davis 1982; Sieg 1997）。
在λ-微积分中，只有两种类型的符号。 三个原始符号λ，（，）也称为不正确的符号，以及无限的变量列表。 有三种规则来定义λ-微分的良好形成的公式，称为λ-公式。
