逻辑和游戏（二）
我们说，如果每次播放都处于w∀或w∃，那么逻辑游戏总额为w∀或w∃，因此没有绘图。 除非一个明确的异常，否则始终认为逻辑游戏总计。 （不要与下面确定的更强大的财产混淆。）
它只是为了数学方便，即使在某些有限位置赢得球员赢得播放器，上面的定义预计将继续无穷大; 在玩家赢过后发生的任何事情都没有兴趣。 许多逻辑游戏都有在每次播放中的财产，其中一个球员已经赢得了一些有限的位置; 据说这种游戏被熟悉。 甚至更强大的条件是，在每次游戏中有一些有限的数字，其中一名球员已经赢得了第n个位置; 在这种情况下，我们说游戏具有有限的长度。
播放器的策略是一系列规则，可以确定播放器如何选择，这取决于两个玩家在早期的移动中选择了如何选择。 在数学上，∀的策略由一个函数组成，该函数将每个位置A与τ（a）=∀到ω的元素b; 我们将其视为∀在游戏到达位置时选择b的指令。 （同样与∃的策略一样。 大多数球员都有一个获胜的策略（否则球员可以互相发挥他们的获胜战略，并且都会赢得争夺，违背w∀和w∃没有共同扮演。 偶尔会遇到一些似乎两名球员们有赢得策略（例如，在下面的强迫游戏中），但仔细检查表明这两个玩家实际上是在玩不同的游戏。
据说一个游戏可以确定一个或其他玩家是否有赢得策略。 由于Gale和Stewart在1953年使用首选的公理显示，有许多未确定的游戏示例。 这一发现导致了集合理论基础的确定性概念的重要应用（参见大型基团和决定性的条目）。 大风和斯图尔特还证明了一个重要的定理，他们的名字：确定了每一个良好的比赛。 因此，确定了每种有限长度的游戏 - 1913年zermelo已知的一个事实。（这是一个更精确的巨大史蒂尔定理。如果∃赢得她尚未丢失的G次播放，则据说游戏G.游戏G.任何有限的位置。定理确定了每个封闭的游戏。定理证明基本上是简单的：让我们呼吁胜利，如果他从这个位置开始赢得胜利策略。假设∀在游戏中没有赢得策略，也就是说开始职位没有获胜。如果第一个举动是∀的移动，他的移动之后的位置仍然没有赢得他。如果第一举动是∃的移动，她必须有一个移动之后的位置仍然没有获胜，否则以否则之前的位置仍然没有赢一直赢得∀。这场比赛以这种方式贯穿，无限地通过不赢得∀的位置移动。因为游戏关闭，∃胜。）
就像古典博弈论一样，上面逻辑游戏的定义用作我们可以将其他概念挂在一起的衣服马。 例如，常见的是一些法律描述了在特定移动中选择播放器的Ω的元素。 严格的这种改进是不必要的，因为如果我们谴责违法者立即失去的球员，那么获奖策略并不受到影响; 但对于许多游戏来说，这种观察它们似乎是不自然的。 下面我们将看到其他一些可以添加到游戏的额外功能。
上面的游戏和策略的定义纯粹是数学。 所以他们遗漏了最重要的游戏最重要的特征，这是人们扮演它们（至少是隐喻的）。 球员的目标是获胜，并通过研究对他们开放的策略，研究有特定目标的人的行为是有理的。 在大多数游戏中有几名球员，所以我们可以研究对别人行为的理性反应。 通过限制参与者的举措和可能的策略，我们可以研究有限的合理性，如果代理商必须在有限信息，记忆或时间的条件下做出理性决策。
简而言之，游戏用于建模合理性和有界合理性。 这与与逻辑的任何连接无关。 但是，一些逻辑被设计用于研究理性行为的方面，并且近年来，将这些逻辑与合适的游戏联系起来，它越来越普遍。 请参阅第5节（“其他逻辑的语义游戏”及其参考书目。
但直到最近，逻辑游戏以完全不同的方式与理性行为联系起来。 在表面上，有问题的逻辑与行为没有直接连接。 但逻辑学家和数学家注意到，如果与可能的目标相关联，可能会更加直观。 例如，在许多逻辑游戏的应用中，中央概念是玩家∃的胜利策略。 通常，这些策略（或它们的存在）结果等同于可以在不使用游戏的情况下定义的逻辑重要性的某些东西 - 例如证明。 但是，觉得游戏是为了给出更好的定义，因为他们完全提供了一些动机：♥试图赢得胜利。
这提出了一个问题，这些问题是数学上不多的兴趣，但它应该关注使用逻辑游戏的哲学家。 如果我们想要∃在G游戏中的动机，则需要任何解释性值，那么我们需要了解∃赢的何种所实现的内容。 特别是我们应该能够讲述一个令人思想的逼真的故事，其中一些代理人叫做♪试图做一些可理解的事情，并且这样做就是在游戏中获胜的事情。 正如Richard Dawkins所说，提高了Maynard Smith进化游戏的相应问题，
我们搜索的全部目的......是为了发现一个合适的演员，在我们的隐喻中发挥主导作用。 我们......想说，'这是为了......'。 我们在本章中的追求是为了完成该句子的正确方法。 （扩展表型，牛津大学出版社，牛津1982，第91页。）
对于未来的参考，让我们称之为Dawkins问题。 在多种逻辑游戏中，它结果明显难以回答，而不是实现这些游戏的先驱。 （Marion 2009进一步讨论了Dawkins问题。）
3.古典逻辑的语义游戏
在20世纪30年代初，Alfred Tarski提出了真理的定义。 他的定义由典型的正式理论的语言中的一个必要和充分的条件组成; 他的必要和充分条件仅使用语法和集合理论的概念，以及相关的正式理论的原始概念。 实际上，tarski定义了元素a1，...，x1，a'的更常规关系'公式φ（x1，...，xn） 句子的真相是n = 0的特殊情况。 例如是问题是否
'对于所有x来说，有r（x，y）'是真的
减少对以下持有的问题：
对于每个对象句子'有y，使得r（a，y）'是真的。
这反过来又降低到：
对于每个对象A，存在对象B，使得句子'r（a，b）'是真的。
在这个例子中，就Tarski的真相定义而言，这将带我们。
在20世纪50年代后期的Leon Henkin注意到我们可以直观地了解某些无法由Tarski定义处理的句子。 以无限的句子占用
对于所有X0，有Y0使得对于所有X1，有Y1使得... R（X0，Y0，X1，Y1，...）。
Tarski的方法失败，因为开始时的量词串是无限的，我们永远不会达到剥离它们的结束。 相反，Henkin建议，我们应该考虑一个人∀选择X0的对象A0的游戏，然后第二人称∃为y0选择一个对象b0，然后∀为x1选择a1，∃为y1选择b1。 这个游戏的戏剧是唯一的♥如果只有当infinite原子句
r（a0，的b0，a1，b1的，...）
是真的。 如果只有当玩家∃具有这个游戏的获奖策略，那么原始句子就是如此。 严格来说，Henkin仅作为一个隐喻，他提出的真相条件是，他提出的句子的恶毒版版本是真的，即，有功能F0，F1，......为A0，A1，A2等的各种选择。我们有
r（a0，f0（a0），a1，f1键（a0，a1），的a2，f2键（a0，a1，的a2），...）。
但这种情况立即转化为游戏语言; Skolem函数F0，F1，...定义了∃的获胜策略，告诉她如何根据早期的选择选择∀。 （它在后来的某个时间来看，C. S. Peirce已经建议在选择对象的谁方面解释“每一个”和“一些”之间的差异;例如，在他的第二次剑桥会议讲座1898年。）
Henkin的工作不久，Jaakko Hintikka补充说，同样的想法适用于连词和障碍。 我们可以将联合“φ∧ψ”视为表达“每一个句子φ，ψ持有”的普遍定量的声明，因此它应该是玩家∀选择其中一个句子。 正如HITIKKA所说的那样，为了演奏G游戏G（φ∧ψ），∀选择游戏是否应按G（φ）或G（ψ）进行。 同样陷入困境是关于句子组存在量化的陈述，它们标记了播放器∃选择游戏应该如何进行的方式。 为了将量词置于相同的风格，他提出了游戏G（∀xφ（x））继续：播放器∀选择一个对象并为其提供名称A，并且游戏作为G（φ（a））进行。 （并且同样与存在量词，除了选择。）HINTIKKA还对否定否定的巧妙建议。 每个游戏G都有一个与G的双游戏相同，除了玩家∀和∃在播放规则中转换和获胜的规则之外。 Game G（¬φ）是G（φ）的双重。
可以证明，对于任何一阶句φ，在固定结构A中解释，播放器∃如果才有Trski的意义上的φ是真的，则播放器∃具有HITIKKA的游戏G（φ）的获胜策略。 这个证据的两个功能很有趣。 首先，如果φ是任何一阶句，那么游戏g（φ）具有有限的长度，因此Gale-Stewart定理告诉我们确定它。 我们推断∃在g（φ）的恰好之一和其双重中具有胜利策略; 因此，如果才有在g（φ）中，她只有在g（¬φ）中有一个胜利策略。 这照顾了否定。 第二，如果∃具有每个游戏G的获胜策略g（φ（a）），那么在为每个a选择一个这样的策略fa之后，她可以将它们串联成一个获胜策略的g（∀xφ（x））（即'，'等待，看看是什么元素a∀选择，然后玩Fa'）。 这需要关注环球量词的条款; 但是该论点使用首选的公理，实际上，HITIKKA和TRISKI对真理的定义的声明并不难，它本身相当于选择的公理（给定Zermelo的其他公理）Fraenkel集理论）。
在这里有两个句子的理论是真的，这是令人费解的，如果选择的公理失败，理论不等同。 事实上，原因不是很深。 所选择的公理是不需要的，因为HITIKKA定义使用游戏，但是它假设策略是确定性的，即它们是单值函数，使用户无法选择选项。 将Tarski定义翻译成游戏条款的更自然的方式是使用非法的策略，有时被称为QuasistRategies（有关详细信息，请参阅Kolaitis 1985）。 （但是，HITIKKA 1996坚持认为，“真实”的正确纠正是使用确定性战略的正确纠纷，这事实证明了所选的公理。）
这些HITIKKA游戏的计算机实现被证明是教授一阶句子含义的非常有效的方法。 其中一个包装是由Jon Barworke和John Ichemendy在斯坦福的设计，称为“Tarski的世界”。 Omsk大学的另一个团队在学校建造了俄罗斯版本，以便在学校使用。
在牛津的John Locke讲座的公布版本中，HITIKKA于1973年提出了这些游戏的Dawkins问题（见上文）。 他的答案是，一个人应该看看Wittgenstein的语言游戏，而理解量词的语言游戏是那些围绕寻求和寻找的语言游戏。 在相应的逻辑游戏中，一个人应该想到∃作为自己和∀作为一种敌对的性质，永远无法依赖我想要的对象; 所以要确定找到它，我需要一个获胜的策略。 这个故事永远不会很令人信服; 自然的动机是无关紧要的，逻辑游戏中的任何内容都对应于寻求。 回想起来，有点令人失望，没有人冒险寻找更好的故事。 将G（φ）中的winning中的胜利策略视为φ是真的的一种验证（在合适的无限性系统中）可能更有用。
后来Jaakko hintikka在两个方向上扩展了这个部分的想法，即自然语言语义和不完美信息的游戏（参见下一部分）。 名称游戏 - 理论语义，短暂的GTS，已经用于涵盖这两个扩展。
本节中描述的游戏几乎使得几乎漫游到多种排序的逻辑：例如xΣ是排序σ的变量的量词∀xσ，是玩家∀要选择排序σ的元素的指令。 这立即为我们提供了相应的二阶逻辑游戏，如果我们认为结构的元素作为一种排序，那么元素集作为第二种，二进制关系为第三个等。 我们也有很常规，也是非常广泛的量化器的游戏规则; 我们可以通过首先将广义量子转换为二阶逻辑来找到它们。
4.具有不完美信息的语义游戏
在此和下一节中，我们将前一节的语义游戏进行了一些调整到其他逻辑。 在我们的第一个例子中，创建了逻辑（HINTIKKA和SANDU 1997的独立友好逻辑，或者更短暂的是逻辑）以适合游戏。 查看独立友好逻辑和Mann，Sandu和SeveSter 2011的入口，以满足此逻辑的更全面的帐户。
这里的游戏与上一节中的相同，除了我们放弃每个玩家知道以前的播放历史的假设。 例如，我们可以要求玩家在不了解其他玩家在某些早期的动作中做出什么选择的选择。 在游戏理论中处理这一点的古典方式是限制玩家的策略。 例如，我们可以要求策略功能告诉∃在特定步骤中做什么是函数，其域名是∀在他的第一和第二动作中可能选择的家庭; 这是一种表达的方式，∃不知道∀在他的第三和后来的动作中选择了∀。 据说具有这种战略职能的限制的游戏是不完美的信息，而不是前一节中的完美信息的奥运会。
要使符合这些游戏的逻辑，我们使用与上一节中相同的一阶语言，除了将符号添加到某些量子（并且可能也有一些连接），以显示这些量子（或连接）的Skolem函数与某些不同变量。 例如句子
（∀x）（∃y/∀x）r（x，y）
读写为：“对于每个x，有y，而不是根据x，使得r（x，y）”。
有三个重要评论可以在完美和不完美的信息之间区分。 首先是Gale-Stewart定理仅适用于完美信息的游戏。 假设例如∀和∃播放以下游戏。 首先，选择数字0和1中的一个。然后∃选择这两个数字中的一个。 如果选择的两个数字是相同的，则播放器∃获胜，否则播放器∀赢。 我们要求∃，当她做出选择时，不知道是什么选择; 所以她的Skolem功能将是一个常数。 （此游戏对应于上面的IF句子R读为平等，在具有0和1组成的域的结构中，可以清楚玩家∃没有持续的胜利策略，以及玩家∀根本没有获胜策略。 所以这个游戏未确定，尽管它的长度只有2。
一个推论是HINTIKKA为读取否定的理由（'玩家交换地点'），在他的一阶逻辑游戏中，如果逻辑，则不会转移到逻辑。 HITIKKA的回答是，即使在一阶的情况下，否则否则是正确的直观意义，即使在一阶案例中也没有必要。
第二条评论是，已经在完美信息的游戏中，赢得策略可能不会使用所有可用信息。 例如，在完美信息的游戏中，如果玩家∃具有胜利策略，那么她还有一个获胜的策略，策略函数只取决于先前的∀。 这是因为她可以使用早期的策略功能重建自己以前的动作。
当HITIKKA使用SKOLEM担任他的首级逻辑游戏的策略时，他只取决于其他玩家的前一球的策略。 （对于∃的Skolem函数仅取决于普遍定量的变量。）因为游戏是完美信息的游戏，但在上面的第二条评论中没有损失。 但是，当他搬到逻辑时，要求策略只取决于其他球员的动作真的确实有所作为。 通过修改符号，使得霍奇格斯1997展示了这一点，使得例如（∃y/ x）意味着：“无论x，无论哪个玩家都选择了x”，y独立于x。
现在考虑这句话
（∀x）（∃z）（∃y/ x）（x = y），
再次在一个有两个元素0和1的结构上播放。播放器∃可以如下赢。 对于z，她选择与玩家的相同，选择x; 然后她选择了她选择的z。 此获奖策略仅适用于由于在这款游戏中，∃可以引用以前的选项。 如果第三个量程是（∃y/ xz），她将没有获胜策略，因为该量化器的任何Skolem函数都必须是恒定的。 通过参考她之前选择来传递信息的方式是信令现象的示例。 John Von Neumann和Oskar Morgenstern用桥梁的示例说明了它，其中一个玩家由两个伙伴组成，这些合作伙伴必须通过使用他们的公众移动到彼此信号来分享信息。
第三条评论是，在策略方面，不完美信息的直观思想与IT的游戏理论定义之间存在错位。 直观地，不完美的信息是关于游戏的播放情况，而不是关于策略的事实。 这是一个非常棘手的事情，它继续导致关于IF和类似逻辑的误解。 举例说明
（∃x）（∃y/ x）（x = y），
再次在一个有元素0和1的结构上播放。直观地人们可能认为如果∃不允许在第二个量词中记住她第一次选择的东西，那么她几乎无法赢得胜利策略。 但事实上，她有一个非常容易的：'总是选择0'！
与一阶逻辑相比，如果逻辑缺少游戏语义无法提供的组件。 游戏语义告诉我们，当一个结构中句子是真的时。 但是，如果我们使用N个免费变量进行公式，则公式表达了什么关于结构的元素的有序N组合？ 在一阶逻辑中，它将定义一组它们，即结构上的n-ary关系; tarski真相定义解释了如何。 如果逻辑的任意公式有类似的定义吗？ 事实证明，1997年霍奇格介绍了略有不同的逻辑，它导致该逻辑的语言的Tarski风格的真相定义。 随着一点调整，可以使这个真理定义也适合逻辑。 但对于这两个新逻辑都有一个捕获量：而不是说法当将元素分配给自由变量使公式赋值是真的，而是当一组元素的分配给自由变量，也称为“团队”，使公式成为真正的。 Väänänen2007年的想法是一系列新逻辑研究依赖的概念（参见依赖逻辑的条目）。 在这些逻辑中，语义在没有游戏的情况下定义，尽管原始的灵感来自HITIKKA和SANDU的工作。
