图表（二）

本案例研究提出了一个有趣的问题，以进一步研究图解推理。 在整个欧拉图的不同发展中，提高其表达力量并增强其视觉清晰度似乎彼此互补。 根据目的，我们需要优先考虑一个人。 锤子和胫骨的替代系统为其他有效的非信箱代表系统提供了一个简单的模型，这是一种在计算机科学和认知科学中受到不断提请的主题。

3.图空间特性的后果

虽然通常可以承受与公式相同的逻辑状态（如上所述）的图表，但仍然存在重要的差异（这可以具有系统的正确性，用于图形和传统的线性证明计算之间的系统。 关于图表（CF. Russell 1923）的重要点是图中对象之间的空间关系可用于表示某些其他域中对象之间的关系。 然而，顺序语言（例如，符号逻辑，自然语言）仅使用连接关系来表示对象之间的关系。 在图表的情况下，空间关系的特殊代表性使用是直接和直观的，如上面的欧拉图所示，但也有其危险 - 正如我们要讨论的那样。 空间限制，既有图解系统，都可以预期成为其优势和缺点的重要来源。 关于人类可视化处理信息的能力的心理考虑，以及定性空间推理的技能，也具有与图表的有效性的影响，但我们不会在这里调查它们。

图的特定区别特征是由于它们使用平面表面作为表示介质，它们遵守某些“Nomic”或“内在”约束。 这个想法是，句子语言基于本质上是顺序的声学信号，因此必须具有补偿复杂的语法，以便表达某些关系 - 而是二维的图表可以在没有复杂语法的干预的情况下显示一些关系（Stenning＆Lemon 2001）。 图表利用这种可能性 - 使用空间关系来表示其他关系。 问题是; 空间关系和对象如何代表其他（可能更多的抽象）对象和关系？

利用图的逻辑推理通常借助它们描绘其所有可能模型的情况，达到图表的拓扑等价性（当然，这取决于使用中的特定图解系统）。 单个图通常是在一类情况下的抽象，并且一旦构造了合适的图，就可以简单地读取推断，而无需进一步操纵。 在一些示意性系统中（例如，欧拉圈）推断是通过正确构造图表和读取信息的图来执行推断。 在这些情况下，在符号逻辑中使用推理规则的复杂性是由正确绘制特定图的问题所替换的。[5] 例如，Euler圆圈图Ventures使用平面区域之间的拓扑关系来捕获集合之间的关系，使得它描绘了某个集合陈述的所有可能的方式可能是真的。 这有两个重要的后果：（1）如果无法绘制某个图，则所描述的情况必须是不可能的（称为“自我一致性”），并且（2）如果必须绘制图表对象之间的某个关系，则可以将相应的关系推断为逻辑上有效。 （参见第2节中的众多实例。这种现象通常被称为“自由骑行”（BarWise和Shimojima 1995）。 因此，这种曲线的理由是依赖于图的特定代表性使用 - 它们代表了模型的类。 如果特定类别的模型不能由图形系统表示，则使用系统的推断中将不会考虑这些情况，并且可能会绘制不正确的推断。 这一事实使图表系统的代表性充足，受其空间性质的限制，最重要的是，我们现在探索。

3.1关于图形表示和推理的限制

平面中的空间关系的代表性地使用示意图，从而以某种重要方式推理图表。 特别是，拓扑和几何（让我们将它们作为“空间”）属性的图表对象和关系，其限制了图解系统的表现力。 例如，在图中，已知在平面中不能绘制一些简单的结构。 例如，图形K5是由5个节点组成的曲线图，每个节点由弧线连接到另一个节点。 该图是非平面的，这意味着它不能在没有至少两个弧线的情况下绘制。 这只是对可能图的限制，这些图案限制了图解系统的表现力。 现在，由于可以通过枚举情况的枚举来发生示意性推理，因此这种代表性不足（一种不完整性）如果它们用于逻辑推理（例如，请参阅批评Englebretsen 1992年在柠檬和普拉特1998年）。

也许这是最简单的例子是由于柠檬和普拉特[6]（参见例如1997年）。 考虑euler圆圈 - 平面的凸区域代表集合，并且区域的重叠表示相应集的非空交叉点。 被称为Helly的定理状态的凸拓扑的结果（对于2维情况），如果每个三个凸区具有非空交叉点，那么所有四个区域都必须具有非空交叉点。

要了解此内部的后果，请考虑以下问题：

示例4.使用欧拉圈，代表以下场所：

a∩c≠

b∩d

C≠D∩a≠∅

请注意，就设定理论而言，只有这些前提下的琐碎后果。 然而，如图5所示的房屋的欧拉图导致了不正确的结论，即∩（由于图中的四分之侧）（由于图中的四倍重叠区域）：



图5：欧拉圈表示呈现赫利的定理

换句话说，强迫欧拉圈的用户[7]表示未逻辑上所需的集合之间的关系。 这意味着系统中存在逻辑上可能的情况，系统不能代表，并且如果依赖于系统以推理，则用户将产生不正确的推断。 更一般地，可以针对许多不同类型的示意系统生成这种类型的结果，具体取决于他们在代表中使用的特定空间关系和对象 - 正在进行的研究程序。

例如，使用非凸区域（例如，“Blob”而不是圈子）导致类似的问题，只有非平面图涉及而不是Helly定理。 类似的结果涉及Syllogisms Englebretsen 1992的线性图，其中用于表示集合的线，点表示单个，点线交叉点表示设置成员资格，并且线条表示设置的单元。 同样，平面性限制限制了系统的表现力，导致不正确的推论。

atsushi shimojima的“约束假设”也许是最好的总和：

表示是世界上的对象，因此他们遵守某些结构限制，该结构限制了他们可能的形成。 不同表示模式的推理潜力的方差主要是归因于不同方式，其中这些结构约束与表示表示目标的约束（Shimojima 1996a，1999）匹配。

3.2图的疗效

如上所述，在索赔中，在某些任务类型的传统逻辑表现中，它们的索赔已经产生了大部分兴趣。 例如，例如，地图是导航的辅助和景观的口头描述。 然而，虽然通过使用图表肯定会获得心理的优势，但它们（如欧拉圈的情况）通常无效，因为抽象对象和关系的表示。 一旦纯粹直观的概念，可以在语言的标准正式属性方面检查关于图解系统的“疗效”的非心理声明（Lemon等人1999）。 特别是，许多图解系统是自我一致的，不正确的，不完整的，并且对图表的推理复杂性是NP-HARD。 通过对比度，大多数主管逻辑，同时能够表达不一致，是完整的和正确的[8]。

另一方面，无法代表矛盾可以为我们提供有趣的关于图解表现性质的有趣洞察力。 如果一种语言的核心目标是代表世界或事态，那么代表矛盾或Tautologies被召入问题。 矛盾和tautolicies都没有是世界的一部分。 我们如何绘制一张照片或拍照，“正在下雨并且没有下雨”的矛盾？ 析出信息的图片如何“下雨或未下雨”？ 现在，我们似乎更接近Wittgenstein的语言典型图片理论（Wittgenstein 1921）。

4.几何图形系统

数学家已经使用，并继续使用，并继续使用绘图。 数学概念和校样教科书的通信，在黑板上 - 并不统一。 数字和图片很常见。 然而，符合逻辑的普遍概念，作为基本上的句子，通常不会被认为在严格的数学推理中发挥作用。 他们的使用受到限于加强对证据的理解。 他们并不是标准据信，以形成证据本身的任何部分。

态度通过对元素中的Euclid方法的标准评估进行了很好的说明。 在没有数学主题的情况下，图表比文本中的基本几何欧几里德在初学欧几尔德开发中更突出。 主题的证据似乎有关于与它们一起出现的三角形和圆圈的图表。 这是元素的几何样本尤其如此。 欧几里德的图表不仅仅是说明性的。 他的一些推理步骤取决于一个适当构造的图表。 在标准故事上，这些步骤表明了欧几里德证明的差距。 他们展示了Euclid如何在公理地开发几何形状的项目。

Ken Marders出发了他用他的精彩作品“欧几里德图”（2008 [1995]）爆炸这个故事。 他对EuclID的图解方法的分析表明，EuclID以受控系统的方式采用图表。 因此，呼吁质疑元素严格的共同负面评估。 此外，伪造者分析的具体细节表明文本的证明可以理解为遵守正式的示意逻辑。 随后通过开发旨在表征这种逻辑的正式图解系统来证实了这一点。 其中的第一个是FG（在Miller 2007上呈现），其次是系统EU（Mumma 2010）。

本部分致力于阐述伪造的分析和从中出现的正式系统。 简要介绍了通过几个世纪以来一直观看了Euclid的图表，伪造者在几何证明中的角色描绘了它们的作用。 系统FG和EU如何以正式的术语呈现此图片并表征欧几里德图的逻辑之后的描述。

4.1关于Euclid的图表从4世纪BCE到20世纪CE的观点

元素的基本几何形状被认为是从古希腊的初始到19世纪的基础。 因此，关注数学性质的哲学家发现自己有义务对文本的图解证明发表评论。 一个核心问题，如果不是中央问题，是一般性问题。 具有欧几里德证明的图表，提供了凭证的几何配置类型的单一实例化。 然而，看到在图中保持的属性被采用给定类型的所有配置。 这是什么证明这跳跃的特定一般？

作为图示，考虑提出元素的提案16的证据。

这个命题是：

在任何三角形中，如果产生一个侧面，外角大于内部和相对的角度的外部角度。

欧几里德的证据是：



让ABC成为三角形，让它的一侧BC产生D;

我说角度ACD大于内部和相反的角度BAC。

让AC在e [i，10]方面被分，并允许在直线上加入并生产;

让EF等于[I，3]，让FC加入。

然后，由于AE等于EC，并且等于EF，两侧AE，EB分别等于两侧CE，EF; 角度AEB等于角度FEC [I，15]。

因此，基本AB等于基础Fc，并且三角形ABE等于三角形CFE [I，4];因此，角度BAE等于角度ECF（也是角度ACF）;

但角度ACD大于角度ACF;

因此，角度ACD大于BAE。

证明似乎是指用证明给出的图表的部分。 尽管如此，证据并不意味着在图中的三角形中建立某些东西，但是关于所有三角形的东西。 因此，该图以某种方式表示所有三角形。

图中的亚里士多德在后部分析的第10章中的亚里士多德撰写了图表的作用：

几幅度基于他所描述的特定线路没有结论，而是[指的是图所示的内容。 （翻译是T. Heath，在Euclid 1956中发现：Vol。I，P.119）

亚里士多德在段落中并不是对几家如何使用图表的问题来推理他们说明的东西。 几个世纪以后，Proclus对这些要素进行了评论。 Proclus断言，从特定实例传递给通用结论是合理的，因为几何计数是合理的

...使用图中规定的对象不像这些特定数字，而是与类似于同一排序中其他人的数字。 它不是那么尺寸，即我之前的角度是分化的，而是没有直线，而是没有......假设给定的角度是直角......如果我不使用其正确性并仅考虑其直线字符，则该命题将同样适用于所有直角侧的角度。 （关于欧几里德第一章的评论，20170：207上帝

几何图形地点仍然存在于早期现代期间的问题。 第17岁及第18世纪的主要哲学数据提前阵地。 莱布尼兹断言，预期占地现代观点：

......这不是用几何提供证据的数字，尽管博览会的风格可能会让你这么认为。 示范的力量独立于绘制的图形，仅绘制，以促进我们的含义的知识，并提请注意; 它是已经证明的普遍主张，即，定义，公理和定理，这使得推理，并且虽然这些数字不是那里的推理。 （1704新散文：403）

在介绍他的人类知识原则（1710，第16条）中，伯克利重申13世纪以后，普鲁斯对一般性问题进行了。 虽然在通过关于三角形的演示时，但在工作时始终有一个特定的三角形“窥探”，但演示中特定三角形的特定细节的特定细节有“不可能提及”。 根据Berkeley的说法，示威证明了三角形的一般主张。

在康德中可以找到最开发，可预测的最复杂和最复杂的，难以陈述的几何图。 康德在几幅画使用特定图表中看到了一些深入的认识论意义，以理由对几何概念。 通过这种方式推理，几幅

认为混凝器中的概念虽然是非经验的，但相当于其所示，即，所构造的，并且在构造的一般条件下，其遵循的是构造概念的对象。 （1781，纯粹原因批评，A716 / B744。）

有关这些段落的对比，如这些段落揭示了在康德的几何哲学中适应的图表，参见Shabel 2003和Friedman 2012。

在19世纪的几何和数学中，整个革命了。 概念远远比在元素（例如非欧几里德几何形状，集）中发现的概念更为摘要和一般。 不仅有关欧几里德的图解方法的性质的问题失去了紧迫性，该方法将被理解为数学上有缺陷。 后者认为，在莫里茨帕索的开创性工作中发现了它最精确的表达，他提供了帕西基（1882）中的基本几何形状的第一个现代公理化。 在它中，PASCH显示了如何开发主体而不参考图表甚至是实例化的几何概念图。 指导工作的方法常态很好地表达了以下经常引用的段落：

事实上，如果几何形状真正演绎，则扣除的过程必须完全独立于几何概念的感觉，就像它必须独立于数字一样; 只有在关联的命题（分别定义）中使用的几何概念之间的关系应该考虑到。 （PASCH 1882：98;重点是原版。这里的翻译来自Schlimm 2010）

自从数学和数学哲学讨论中既又根深蒂固的规范。 它是后者的根深蒂固，官员反对官员2008 [1995]。 在他开发古代几何的账户中，咨询证据中图表的必要性并不表示演绎差距。 相反，图和文本一起形成严格和演绎的数学证据。

4.2官员的确切/共同精确区别和一般性问题

4.2.1确切/共同精确区别

为了解释古代几何形式与图中的文本和图之间的分工，伪劣员将2008年官员几何图的精确和共切属性[1995]。 潜在的区别是变异的概念。 通过图表实现的共同精确条件是那些不受指定图的每一个连续变化范围的条件的条件。在图表受到最小变化的情况下，确切的条件相反。 粗略地，图的共切属性包括其部件限定了一组有限的平面区域，以及这些区域之间的容纳关系。 突出的确切关系是图中两个大的平等。 例如，需要仅对提示16的图表中的CF位置的最轻微的改变来使角度BAE和ECF不等。

伪造者的关键观察是，欧几里德的图表只通过其共切属性贡献证明。 EuclID从未在图中介绍了确切的属性，除非它直接从共切属性下面遵循。 未作为容纳所呈现的幅度之间的关系或通过文本中的推断链证明。 这很容易用命题16的证明确认。依赖图的一次推断是证明的第二个推断。 具体而言，推理是角度ACD大于角度ACF。 这是至关重要的，基于视角ACD包含角度ACF的图。 有许多其他关系被认为是为了持有证明。 虽然图表实例化了它们，但它们在文本中明确证明它们。 在这些关系中，Relata是空间分开的大小。

假设为什么欧几里德会以这种方式限制自己，这并不难。 它只是表示共同精确的属性和关系，即图表似乎能够有效地运作作为证据的象征。 图的确切属性太精细地是容易可再现的并且支持确定判断。 正如伪造者所说的那样

该实践有资源，以限制图表中分歧的风险; 但它缺乏确切归因的这种资源，因此不允许他们在不溶解违反矛盾的判决的混乱。 （官员2008 [1995]：91-92）

伪造者的见解自然地领导着欧几里德的论据可以以类似于Venn 1994在芬恩图所在的方式形式化的方式形式化。欧几里德图携带的共同精确信息是离散的。 咨询此信息的图表时，它的线条和圆圈的方式是如何将有限的平面区域分配为有限的子区域。 这将打开大门，以概念化欧几里德的图表，作为EuclID证明方法语法的一部分。

4.2.2欧几里德建筑的一般性问题

在正式的证据系统中实现这一概念，如Shin 1994，以指定图表的语法和语义。 在句法方面，这意味着精确地将euclid的图定义为正式的物体，并为欧几里德命题的推导中的正式对象数字提供规则。 在语义上，这意味着指定如何将可变表达式进行地几何解释，或者换句话说，他们究竟是如何理解为代表欧几里德的命题。

因此，欧几里德图的语义状况与Venn的不同之处不同。 Venn图用于证明逻辑结果。 与他们制作的推论是主题中性。 另一方面，欧几里德的图表用于证明几何结果。 与他们制作的推断是具体主题。 特别是，虽然平面欧几里德几何形状的物体是抽象的（例如，几何线是宽度的），但它们仍然是空间的。 因此，围绕图表和代表范围的空间性的问题不会与欧几里德的图表出现，因为它们具有欧拉图。 在几何形状的情况下，实际上，图的空间非常有利于他们。 几何配置可能的空间限制也与空间欧几里德图进行操作。

尽管如此，在古代古代几何形状的哲学评论中识别在古代的哲学评论中，有欧几里德图表的代表范围争夺。 处理单个几何图属性的理由是作为证明范围内所有配置的代表的特性？ 单一图如何证明一般结果？ 伪装的确切/共同精确区分为部分答案提供了基础。 图的共同精确属性可以通过证明范围内的所有几何配置共享，因此在这种情况下，在读取从图表中读取结合性的性质的情况下是合理的。 例如，在关于三角形的证据中，证据范围内的配置之间的变化是精确属性的变化-e.g。，三角形角度的测量，它们的侧面之间的比率。 它们都共享相同的共切属性-i.e.，它们都包括三个有界线性区域，它们一起定义一个区域。