图表（一）

我们所有人都参与并利用有效推理，但我们实际进行的推理与大多数（形式）逻辑学家研究的推理有各种不同。人类进行的推理通常涉及通过多种媒介获得的信息。相比之下，形式逻辑迄今为止主要关注基于一种形式（即句子形式）信息的有效推理。最近，许多哲学家、心理学家、逻辑学家、数学家和计算机科学家越来越意识到多模态推理的重要性，而且，在非符号（尤其是图表）表示系统领域已经开展了大量研究。[1] 本条目概述了这一新研究领域的总体方向，并重点关注图表在证明中的逻辑地位、其表征功能和充分性、不同类型的图表系统以及图表在人类认知中的作用。

1. 简介

2. 图表作为表示系统

2.1 欧拉图

2.2 维恩图

2.3 皮尔斯的扩展

2.4 图表作为形式系统

2.5 欧拉圆再探

3. 图表空间属性的后果

3.1 图表表示和推理的局限性

3.2 图表的有效性

4. 几何中的图表系统

4.1 公元前 4 世纪至公元 20 世纪对欧几里得图表的看法

4.2 曼德斯的精确/同精确区别和普遍性问题

4.2.1 精确/同精确区别

4.2.2 欧几里得构造的普遍性问题

4.3 形式系统 FG 和 Eu

5. 图表与认知、应用

5.1 其他一些图表系统

5.2 图表作为心理表征

5.3 图表的认知作用

摘要

参考书目

参考文献

相关文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 简介

图表或图片可能是人类最古老的交流形式之一。它们不仅用于表示，还可用于进行某些类型的推理，因此在逻辑和数学中发挥着特殊的作用。然而，句子表示系统（例如，一阶逻辑）在现代逻辑史上占据主导地位，而图表在很大程度上被视为仅具有边缘意义。图表通常被用作探索证明的启发式工具，而不是证明的一部分。[2]  哲学家、逻辑学家、认知科学家和计算机科学家最近开始关注不同类型的表示系统，许多研究都集中在图表表示系统上。

为了挑战长期以来对图表表征的偏见，研究多模态推理的人们采取了不同的方法，我们可以将这些方法分为三大类。其中一个研究分支是心灵哲学和认知科学。由于语言形式的局限性对于研究心理表征和推理的人来说是显而易见的，因此一些哲学家和认知科学家热情地接受了多模态推理这一新方向，并探索了涉及非语言形式的人类推理和心理表征（Cummins 1996；Chandrasekaran 等 1995）。另一项关于图表推理的研究表明，就逻辑状态而言，符号系统和图表系统没有内在区别。一些逻辑学家提出了案例研究，证明图表系统可以像符号系统一样健全和完备。这种结果直接驳斥了人们普遍持有的假设，即图表本质上具有误导性，并消除了在证明中使用图表的理论上的反对意见（Shin 1994；Hammer 1995a）。计算机科学家已经将多模态推理引向了第三个方向，他们的兴趣比其他群体更实际。毫不奇怪，那些在计算机科学的许多领域工作的人——例如知识表示、系统设计、可视化编程、GUI 设计等等——在“异构系统”这一新概念中发现了新的和令人兴奋的机会，并在他们的研究领域实现了图表表示。

我们对这篇文章有以下目标。首先，我们想让读者了解一些特定的图表系统的细节。同时，这篇文章将通过探索图表表示和推理在表达能力和正确性方面的性质来解决理论问题。第二部分的案例研究不仅能满足我们的第一个目标，而且还能为第三部分的更理论化和一般性的讨论提供坚实的材料。第四部分将介绍另一个案例研究，并结合第三部分的一般性讨论对其进行考虑。如上所述，图表主题引起了广泛关注，许多不同的研究领域都取得了重要成果。因此，我们的第五部分旨在介绍不同领域采用的各种图表推理方法。

为了进一步讨论，我们需要澄清“图表”一词的两种相关但不同的用法：图表作为内部心理表征和图表作为外部表征。以下引自 Chandrasekaran 等人 (1995: p. xvii) 的引文简洁地总结了内部图表表征与外部图表表征之间的区别：

外部图表表征：这些是由代理在外部世界（纸张等）的介质中构建的，但旨在作为代理的表征。

内部图表或图像：这些包括（有争议的）内部表示，被认为具有一些图像属性。

正如我们将在下面看到的，逻辑学家关注外部图表系统，心灵哲学家和认知科学家之间的意象争论主要围绕内部图表，图表的认知作用研究涉及这两种形式。

2. 图表作为表征系统

句子表征系统在现代逻辑史上的主导地位掩盖了关于图表系统的几个重要事实。其中之一是，在现代逻辑时代之前，有几种著名的图表系统可用作启发式工具。欧拉圆、维恩图和刘易斯·卡罗尔方格已被广泛用于某些类型的三段论推理（Euler 1768；Venn 1881；Carroll 1896）。另一个有趣但被忽视的故事是，现代符号逻辑的创始人查尔斯·皮尔斯不仅修改了维恩图，还发明了一种图形系统，即存在图，该系统已被证明等同于谓词语言（Peirce 1933；Roberts 1973；Zeman 1964）。

这些现有的图表启发了那些最近引起我们注意多模态表征的研究人员。参与该项目的逻辑学家以两种不同的方式探索了这一主题。首先，他们的兴趣完全集中在外部绘制的表征系统上，而不是内部心理表征。其次，他们的目标是通过测试选择性表征系统的正确性和表达能力来确定系统的逻辑状态，而不是解释其启发式能力。如果一个系统无法证明其合理性，或者其表达能力太有限，逻辑学家对该语言的兴趣就会消退（Sowa 1984；Shin 1994）。

在本节中，我们将以欧拉图和维恩图的历史发展为例，说明以下几个方面：首先，这个过程将向我们展示一个数学家对图解三段论推理的简单直觉如何逐渐发展成为一个形式化的表示系统。其次，我们将观察到对图解系统的不同扩展和修改阶段的不同侧重点。第三，与此相关的是，这一历史发展说明了图解系统的表达能力和视觉清晰度之间有趣的张力和权衡。最重要的是，读者将看到逻辑学家们探讨句子系统而非图解系统能否为我们提供严格证明的内在原因，以及他们成功地给出了否定的答案。

因此，读者不会对 Barwise 和 Etchemendy 得出的以下结论感到惊讶，他们是第一批对逻辑中的图解证明进行探究的逻辑学家，

使用文本的推理形式主义和使用图表的推理形式主义之间没有原则上的区别。人们可以拥有基于图表的严格、逻辑合理（和完整）的形式系统。（Barwise & Etchemendy 1995：214）

这种信念对于他们创新的计算机程序 Hyperproof 的诞生是必要的，该程序采用一阶语言和图表（在多模态系统中）来教授初等逻辑课程（Barwise & Etchemendy 1993 和 Barwise & Etchemendy 1994）。

2.1 欧拉图

18 世纪数学家莱昂哈德·欧拉采用封闭曲线来说明三段论推理（Euler 1768）。他将这四种范畴句表示成图1。



图1：欧拉图

对于两个全称陈述，系统以直观的方式采用圆之间的空间关系：如果标有“A”的圆包含在标有“B”的圆中，则该图表示所有A都是B的信息。如果两个圆之间没有重叠部分，则该图传达的信息是没有A是B。

这种表示受以下约定的约束：[3]

域中的每个对象x都被分配一个唯一的位置，即l(x)，在平面中，当且仅当x是区域R所表示的集合的成员时，l(x)才位于区域R中。

这种表示法的强大之处在于，作为集合成员的对象很容易被概念化为落入集合内的对象，就像页面上的位置被认为落入所画圆圈的内部或外部一样。该系统的强大之处还在于，不需要额外的约定就可以建立涉及多个圆圈的图表的含义：集合之间的关系通过代表它们的圆圈之间存在的相同关系来断言。两个通用语句“所有 A 都是 B”和“没有 A 是 B”的表示说明了该系统的这一优势。

转到两个存在性语句，这种清晰度并没有得到保留。欧拉证明了“某些 A 是 B”的图表的合理性，他说我们可以直观地推断出 A 中的某些东西也包含在 B 中，因为面积 A 的一部分包含在面积 B 中（欧拉 1768：233）。显然，欧拉本人认为，在这种情况下，以及在全称陈述的情况下，可以使用同一种区域之间的视觉包含关系。然而，欧拉的信念并不正确，这种表述引起了有害的歧义。在这个图中，不仅圆 A 的一部分包含在区域 B 中（如欧拉所描述的），而且以下说法也是正确的：（i）圆 B 的一部分包含在区域 A 中；（ii）圆 A 的一部分不包含在圆 B 中；（iii）圆 B 的一部分不包含在圆 A 中。也就是说，第三张图可以读作“某些 B 是 A”、“某些 A 不是 B”和“某些 B 不是 A”以及“某些 A 是 B”。为了避免这种歧义，我们需要建立更多的约定。[4]

欧拉自己的例子很好地说明了他的图解系统的优点和缺点。

例 1. 所有 A 都是 B。所有 C 都是 A。因此，所有 C 都是 B。



例 2. 没有 A 是 B。所有 C 都是 B。因此，没有 C 是 A。



在这两个例子中，读者都可以轻松推断出结论，这说明了欧拉图的视觉强大功能。但是，当表示存在性语句时，事情会变得更加复杂，如上所述。例如：

例 3. 没有 A 是 B。某些 C 是 A。因此，某些 C 不是 B。

没有一个图表可以表示这两个前提，因为集合 B 和 C 之间的关系无法在一个图表中完全指定。相反，欧拉提出了以下三种可能的情况：



欧拉声称命题“某些 C 不是 B”可以从所有这些图中读出。然而，前两种情况如何引导用户读出这个命题在视觉上远非清晰，因为用户可能会从案例 1 中读出“没有 C 是 B”，从案例 2 中读出“所有 B 都是 C”。

因此，存在性语句的表示不仅掩盖了欧拉圆的视觉清晰度，而且给系统带来了严重的解释问题。欧拉本人似乎意识到了这个潜在的问题，并引入了一种新的句法设备“*”（代表非空性）来尝试修复这个缺陷（1768：第 105 封信）。

然而，当该系统无法在单个图表中表示某些兼容（即一致）的信息时，就会发现一个更严重的缺陷。例如，欧拉的系统阻止我们绘制单个图表来表示以下语句对：（i）“所有 A 都是 B”和“没有 A 是 B”（如果 A 是空集，则它们是一致的）。 (ii) “所有 A 都是 B”和“所有 B 都是 A”（当 A = B 时，它们是一致的）。 (iii) “某些 A 是 B”和“所有 A 都是 B”。 （假设我们为前一个命题画了一个欧拉图，并试图向这个现有的图中添加一条新的兼容信息，即后者。）这个缺点与 Venn 对他自己的图解系统的动机密切相关（有关欧拉系统的其他缺点，请参阅第 3.1 节）。

2.2 维恩图

维恩对欧拉圆的批评总结如下：

这个 [欧拉图] 以及所有类似方案的弱点在于，它们仅严格说明类之间的实际关系，而不是我们可能拥有或可能希望通过命题传达的对这些关系的不完善知识。 （Venn 1881: 510）

由于其严格性，欧拉系统有时无法在单个图表中表示一致的信息，如上所示。除了这种表达限制之外，由于平面图形的拓扑限制（参见第 3.1 节），欧拉系统还遭受其他类型的非空集表达限制。

Venn 的新系统（1881）旨在克服这些表达限制，以便可以表示部分信息。解决方案是他的“原图”理念。原图表示多个集合之间所有可能的集合论关系，而不对它们做出任何存在性承诺。例如，图 2 显示了关于集合 A 和 B 的原图。



图 2：Venn 的原图

根据 Venn 的系统，该图不传达有关这两个集合之间关系的任何具体信息。这是欧拉图和维恩图之间的主要区别。

对于通用语句的表示，与欧拉图中视觉上清晰的空间包含关系不同，维恩的解决方案是“将它们 [适当的区域] 遮蔽掉”（Venn 1881: 122）。通过使用这种句法手段，我们得到了如图 3 所示的通用语句的图表。



图 3：维恩的阴影

维恩对阴影的选择可能不是绝对任意的，因为阴影可以被解释为集合空性的可视化。然而，应该注意的是，阴影是一种新的句法手段，欧拉没有使用过。这种修订为系统提供了灵活性，以便某些兼容的信息可以在单个图表中表示出来。在下面，左边的图表结合了两条信息，“所有 A 都是 B”和“没有 A 是 B”，以直观地传达“没有任何东西是 A”的信息。右边的图既表示“所有 A 都是 B”，也表示“所有 B 都是 A”，清楚地表明 A 与 B 相同：



事实上，使用主要图还可以避免下面第 3 节中讨论的一些其他表达问题（与图对象的空间属性有关）。令人惊讶的是，Venn 对存在性语句的表示保持沉默，这是欧拉图的另一个难点。我们只能想象 Venn 可能引入了另一种表示存在性承诺的句法对象。这就是查尔斯·皮尔斯大约二十年后所做的。

2.3 Peirce的延期

Peirce指出，Venn的系统无法代表以下类型的信息：存在陈述，析出信息，概率和关系。 Peirce旨在扩展venn的系统，以表达权力相对于前两种命题，即存在和分析陈述。 通过以下三个设备完成此扩展。 （i）用新的符号'o'代替表示空虚的venn的阴影。 （ii）介绍存在导入的符号“x”。 （iii）用于析出信息，引入连接'o'和'x'符号的线性符号'-'。

例如，图4表示语句，“所有a是b或者是b”，它既不在单个图表中代表。



图4：Peirce图

Peirce用符号'o'替换Venn的空虚遮荫的原因似乎是显而易见的：连接阴影或阴影和x x以表示分析信息并不容易。 通过这种方式，Peirce增加了系统的表现力，但这种变化并非没有成本。

例如，下图表表示命题'所有A是B，有些是a是b，或者没有a是b，一些b不是a'：



读取此图需要读取圆圈（如欧拉图中的视觉遏制）或阴影（如在Venn图中），但也需要额外的约定来读取符号'O，''X，'和线路的组合。 Peirce的新公约增加了单一图的表现力，但其惯例的任意性和更令人困惑的陈述（例如，上图）牺牲了欧拉原始系统享有的视觉清晰度。 此时，Peirce自己承认“对意义至关重要的表达”（Peirce 1933：4.365）存在巨大复杂性。 因此，当Peirce的修订完成后，大多数Euler关于可视化的原始想法都丢失了，除了几何对象（圆圈）用于表示（可能为空）集。

对图表研究的另一个重要贡献Peirce从以下评论开始：

“规则”在这里使用的是我们谈到代数的“规则”的意义; 也就是说，作为严格定义的条件下的许可。 （Peirce 1933：4.361）

Peirce可能是第一个讨论非信赖表示系统中转型规则的人。 以同样的方式告诉我们允许哪些符号转换，这是图表的规则，因此应该操作规则。 Pierce的六条规则需要更多澄清，结果是不完整的 - 佩雷斯本人预期的问题。 然而，更重要的是，Peirce没有任何理论工具 - 在语法和语义之间清楚地区分 - 说服读者每个规则是正确的或确定是否需要更多规则。 也就是说，他的重要直觉（可能是图表的转型规则）仍然是合理的。

2.4图为正式系统

Shin（1994）在两个方向上追随Peirce的工作。 一个是改善Peirce的Venn图表版，另一个是为了证明这个修订系统的声音和完整性。

Shin的工作改变了Peirce对Venn图的修改，实现了表现力的增加，而没有这种严重的视觉清晰度。 此修订是在两个阶段进行的：（i）Venn-i：保留Venn的阴影（用于空虚），Peirce'x'（对于存在的导入）和Peirce在'X之间的连接线（用于分析信息）。 （ii）Venn-II：该系统被证明是对Monadic谓词逻辑相同的，与Venn-i相同，除了新引入图表之间的连接线来显示分离信息。

返回欧拉的示例之一我们将清楚地看到这些不同版本之间的对比：

例3.没有A是B.有些C是A.因此，有些C不是B.

Euler承认，可以绘制单个欧拉图来表示房屋，但必须绘制三种可能的情况。 Venn的系统对存在的陈述保持沉默。 现在，Peirce和Shin的系统在单一图中代表这两个房屋，如下所示：



在Shin的图表中，Venn的空虚的阴影公约，而不是Peirce的'O'，更自然地将读者引导到推理“一些C不是B”而不是Peirce的图表。

但是，Venn-i无法在普遍陈述或普遍和存在的陈述之间表达析出信息。 保留Venn-I的富有效力，Venn-II允许通过一条线连接图。 Peirce的令人困惑的图表相当于以下Venn-II图：



除了这一修订之外，Shin（1994）除了配备自己的语法和语义的标准正式表示系统中，Shin（1994）还呈现了这两个系统中的每一个。 语法告诉我们，该图是可接受的，即，它们是良好的，并且在每个系统中允许哪些操作。 语义在图中定义了逻辑后果。 使用这些工具，证明系统是声音和完整的，同样有些符号逻辑是。

这种方法对关于代表系统的一些假设构成了一个根本的挑战。 自现代逻辑的发展以来，重要的概念，例如语法，语义，推理，逻辑后果，有效性和完整性仅应用于句子表示系统。 但是，这些都不是只有这些传统的符号逻辑的内在。 对于任何表示系统，无论是句子还是图解，我们都可以讨论两个级别，句法和语义级别。 什么推断规则告诉我们是如何操纵给定的单元，无论是符号还是图解到另一个单元。 逻辑后果的定义也没有任何特定形式的表示系统。 同样的论点是用于适当和完整性证明。 当系统被证明是声音时，我们应该能够在证明中采用它。 事实上，许多目前的研究探讨了自动定理证明中的图表的使用（见Barker-Plummer＆Bailin 1997;和Jamnik等人1999）。

2.5欧拉圈重新审视

有趣，很重要，可以注意到从欧拉圈到胫骨系统所做的逐步变化共享一个普通主题：增加系统的表现力和逻辑力，使其是声音，完整，逻辑上等于Monadic谓词逻辑。 引入主要图的euler到Venn图中的主要版本允许我们表示关于集合之间关系的部分了解。 从Venn到Peirce图的扩展是制造成使得存在性和分解信息可以更有效地表示。

Venn和Peirce都采用了相同类型的解决方案，以实现这些改进：引入新的句法对象，即Venn的阴影，并通过Peirce and'o'，'和线条。 然而，在负面方面，这些修订的系统遭受了视觉清晰度的损失，如上所示，主要是因为引入了更多的任意惯例。 从Peirce到Shin图的修改专注于恢复视觉清晰度，但不会损失表达力量。

锤子和胫骨从这些修订中采取不同的路径：恢复欧拉之间的圆形与圆圈之间的同态关系，圈子之间的集合代表集合之间的子集关系，并且区域的非重叠代表了不相交的关系 - 同时，默认采用Venn的主要图。 另一方面，这款修订后的Euler系统不是用于三段论推理的自给式工具，因为它不能代表存在的语句。 有关此修订系统的更多详细信息，请参阅（Hammer＆Shin 1998）。