教堂的理论(一)
1.语法
1.1基本面的想法
1.2公式(按某些条款)
1.2.1定义
1.2.2例子
1.3原理和推论规则
1.3.1推理规则
1.3.2基本类型理论
1.3.3的扩展原理
1.3.4描述
1.3.5首选公理
1.3.6无限远的原理
1.4基于平等的制定
1.4.1定义
1.4.2原理和推理规则
2.语义
3.骚乱
3.1λ转换
3.2高阶统一
3.3统一原则
3.3.1基本类型理论
3.3.2扩展类型理论
3.4切割消除和切割模拟
3.5扩展证明
3.6决策问题
4.自动化
4.1面向机面向的证明结石
4.2验证助理
4.3自动定理普通
4.4(反击)模型发现
5.应用程序
5.1自然语言的语义
5.2数学与计算机科学
5.3计算形而上学和人工智能
5.4。 金属研究
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.语法
1.1基本面的想法
我们从教会类型理论的制定的语法的基本想法开始非正式描述。
所有实体都具有类型,如果α和β是类型的,则从α型元素到α元素的功能类型被写为(��)。 (这个符号由教堂引入,但有些作者写(�→�)而不是(��)。例如,请参阅类型理论的条目的第2节。)
如Schönfinkel(1924)所指出的,当这些函数的值本身都是函数时,可以在一个参数的函数方面表示多个参数的函数。 例如,如果f是两个参数的函数,则F的左域的每个元素x有一个函数g(取决于x),使得f的每个元素y的��=���。 我们现在可以编写�=��,并将f视为单个参数的函数,其域中的任何参数x的值是函数��,其域中的任何参数y的值为fxy。
对于更明确的示例,请考虑函数+,该函数携带任何一对自然数量的总和。 我们可以表示此功能+((��)�),其中�是自然数的类型。 给定任何数x,[+((��)�)�]是在应用于任何数字y时的函数,给出了值[+((��)�)�]�],通常缩写为�+�。 因此[+((��)�)�]是一个参数的函数,它为任何数字添加了x。 当我们认为+((��)�)作为一个参数的函数时,我们看到它将任何数字x映射到函数[+((��)�)�]。
更一般地,如果f是映射n元元,��,...,��,分别为α,�,...,�,�的元素的n元素的函数,则我们可以分配给f类型((...((��)�)...�)�)。 习惯性地使用左侧的关联惯例省略括号,并将此类型符号写入(���...��)。
一个集合或属性可以由映射元素到真实值的函数(通常称为特征函数)表示,以便在函数中,或具有属性IFF中的属性,该函数表示集合或属性的函数将该元素映射到真理。 当声明被归咎于语句时,扬声器意味着它是真的,因此��意味着��是真的,这也表达了s映射x到真相的断言和�∈�。 换句话说,�∈�iff。 我们需要�作为表示真实值类型的类型符号,所以我们可以将类型(��)的任何功能称为α类型α的一组元素。 类型((��)�)的函数是β的元素与α的元素之间的二进制关系。 例如,如果�是自然数的类型,并且<是自然数之间的顺序关系,<具有类型(���),以及所有自然数x和�(通常写入为�<�)的价值真值iff x小于y。 当然,<也可以被视为将每个自然数x映射到所有自然数x的每个自然数x的函数,使得x小于y。 因此,设置,属性和关系可以被视为特定的功能。 因此,教堂的类型理论是一种功能的逻辑,并且在这种意义上,它是弗里格·贝格里夫斯的工作的传统。 相反的方法是减少与关系的关系,这是Whitehead和Russell(1927A)在Principia Mathematica中采取的方法。
表示α型元素的表达称为α型α的良好形成的公式(WFF)。 因此,类型理论的陈述是�的WFF。
如果��是α的WFF,其中���不自由,则功能(与)���这样∀��[�����=��]由[�����]表示。 因此,���是一种可变粘合剂,如∀��或∃��(但当然,含义相当不同); λ称为抽象操作员。 [�����]表示其值在任何参数��的函数��,其中��可能会在��中自由。 例如,[���[4⋅��+ 3]]表示其在任何自然数n上的值为4⋅�+ 3的函数。 因此,当我们将此功能应用于第5号时,我们获得[���[4 + 3]] 5 =4⋅5+ 3 = 23。
我们使用子(�,�,�)作为�中substituting�的结果作为符号,以及子公司(�,�,�)作为替代�的所有自由出现的结果的表示法�。 通过亚离子(��,��,��)(或反之亦然)用β-转化替换[�����]��的过程,这是一种形式的λ转换。 当然,当��是�的WFF时,[�����]表示所有元素的集合��(类型�)的组成; 该集合也可以由{��|��}表示。 例如,[��]表示x的集合,使得x小于y(以及数字x的特性,如果它小于y)。 在熟悉的定理符号中,
[�����]��= subfree(��,��,��)
会写的
��∈{��|��}≡subfree(��,��,��)。
(通过实际值的扩展性的公理,当��和��type时,��≡��相当于��=��。)
命题连接和量子可以分配类型,可以由这些类型的常数表示。 否定功能将真值值映射到真实值,因此它具有类型(��)。 类似地,分离和结合(等)是从真值到真值值的二进制函数,因此它们具有类型(���)。
语句∀����是真的iff set [�����]包含α类型的所有元素。 可以引入常数π�(��)(对于每个类型符号�),以表示集合的属性:设定���具有属性π�(��)IFF���包含α的所有元素。 通过这种解释
∀���[π�(��)���≡∀��[�����]]
应该是真的,也是如此
π�(��)[�����]≡∀��[[�����]��]
对于任何WFF��和变量��。 因为通过λ-转换我们
[�����]��≡��
这个等式可以更简单地写成
π�(��)[�����]≡∀����
因此,可以在π-(��)方面定义,并且λ是唯一需要的可变粘合剂。
1.2公式(按某些条款)
在我们说明“公式”的定义之前,谨慎一词是按顺序的。 读取器可以习惯于认为公式作为表达式的表达式,该表达式以正式语言扮演断言的作用,以及一个术语作为指定对象的表达式。 教会的术语有些不同,提供了讨论许多不同类型表达的统一方式。 我们称之为α(wff�)的良好形式的α(wff�)的良好配方将被称为α型术语,然后只有某些术语,即具有类型�的术语将被称为公式。 无论如何,在此条目,我们决定留在教堂的原始术语。 另一些评论涉及使用一些特定的数学符号。 在下文中,条目区分符号�,�(�(��))和1。 第一个是用于个人类型的符号; 第二个是用于逻辑常数的符号(参见下面的第1.2.1节); 第三是用作可变绑定运算符的符号,其表示明确的描述“the”(参见第1.3.4节)。 读者不应混淆它们并检查浏览器是否正确显示这些符号。
1.2.1定义
键入符号定义如下所示:
�是类型符号(表示单个类型)。 还可以存在额外的原始类型符号,这些符号用于正式的学科,在那里有几种自然的人。
�是类型符号(表示真值类型)。
如果α和β是类型符号,则(��)是类型符号(表示来自类型β的元素的功能类型α)。
原始符号如下:
不正确的符号:[,],�
对于每个类型符号α,可赎回的变量列表�:��,��,��... ..
逻辑常数:〜(��),∨((��)�),π(�(��))和�(�(��))(每个类型符号α)。 这些常量的类型由他们的下标表明。 符号〜(��)表示否定,∨((��)�)表示差异,并且使用π(�(��))定义如上所述的通用量化。 �(�(��))作为描述或选择运营商,如第1.3.4节和下面的第1.3.5节所讨论的。
另外,可以存在各种类型的其他常数,这将被称为非学生常量或参数。 每个参数选择决定了类型理论系统的特定配方。 参数通常用作正式的学科中的特定实体的名称。
公式是有限序列的原始符号。 某些配方称为形成良好的式(WFF)。 我们将wff�写成α的WFF的缩写,并归纳地定义此概念,如下所示:
α的原始变量或常数是wff�。
如果���和��是指示类型的WFF,那么[�����]是wff�。
如果��是β的变量,并且是WFF的变量,那么[�����]是WFF(��)。
例如,通过(a)〜(��)是wff(b),如果��是wff�,则[〜(��)��]是wff�。 通常,后者WFF将简单地写成〜~�。 避免括号,括号和类型符号通常很方便,并使用约定来省略它们。 对于公式,我们使用对右侧的关联惯例,我们可以写出∨((��)�)����而不是[[∨((��)�)��]。 对于类型,相应的约定是类似的。
缩写:
��∨��代表∨�������。
��⊃��代表[〜~����]∨��。
∀����代表π�(��)[�����]。
其他命题连接和存在量化在熟悉的方法中定义。 特别地,遵循[��⊃��]∧[��⊃��]
����代表�x��y�∀���[�����⊃�����]。
��=��代表��������。
最后的定义被称为leibnizian的平等定义。 如果y具有x具有的每个属性,则x和y断言。 实际上,Leibniz称他的定义“索引的身份”,并以前进的形式给出它:x和y是相同的,如果x和y具有完全相同的属性。 难以表明这两种形式的定义是逻辑上等同的。
1.2.2例子
我们现在提供了一些例子来说明各种断言和概念如何在教堂的类型理论中表达。
示例1表示“拿破仑是魅力”的断言,我们介绍了常量Charismaticcharismatic��和拿破仑,他们下标表明和明显的含义,并断言WFF
charismatic��napoleon�
如果我们希望表达“拿破仑拥有一般的所有属性”的断言,我们可能会考虑解释这一点,意味着“拿破仑拥有一些伟大的财产”,但似乎更合适地将该声明解释为“拿破仑拥有所有的所有伟大的将军都有的属性”。 如果恒定的GENDGANERALES添加到正式语言中,这可以由WFF表示
∀���[∀��[greatgeneral����⊃�����]⊃���napoleon�]
作为这样的财产的一个例子,我们注意到“拿破仑士兵钦佩他”的句子可以以类似的方式表达
∀��[soldier����∧commanderof����=napoleon�⊃admires�����napoleon�]
通过λ转换,这相当于
[���∀��[soldier����∧commanderof����=��⊃admires�������]]napoleon�
这一陈述声称拿破仑的属性之一是他士兵钦佩的属性。 财产本身是由WFF表示的
���∀��[soldier����∧commanderof����=��⊃admires�������]
实施例2我们说明了与以下寓言类型理论的一些潜在应用。
一个名叫Sheila的富人和有点古怪的女士都有一个鸵鸟和猎豹作为宠物,她希望把他们从酒店带到她的偏远和几乎无法进入的农场。 这次旅行的各种部分可能涉及使用电梯,箱子,飞机,卡车,非常小的船只,驴推车,悬挂桥等,而她和宠物并不总是在一起。 她知道,当她不与他们同在时,她不允许鸵鸟和猎豹在一起。
我们考虑该问题的某些方面是如何正式化的,以便Sheila可以使用自动推理系统来帮助分析可能性。
旅行期间的时刻或时间间隔会有一定的时刻。 她将在酒店和时刻开始的位置开始旅行,并在地点农场和瞬间完成。 时刻将有类型�,位置将具有类型�。 一个州将有类型�,并将在特定时刻指定Sheila,鸵鸟和猎豹的位置。 计划将指定根据本计划的实体将在每个时刻的地方。 它将是从州的时刻的函数,并且将有类型(��)。 各州的确切代表不需要关注我们,但是各国将有职能向名为DieculeOfsheila,Locationofostrich和Locationofcheetah提供所示的信息。 因此,locationofsheila��[�����]将是Sheila的位置根据计划���时刻��。 设定的提议(��)是Sheila正在考虑的计划集。
我们将计划P定义为可接受的,如果该计划在酒店开始,在农场饰面,每当鸵鸟和猎豹在一起时,Sheila也是如此。 正式,我们定义可接受的acceptable�(��)
����[locationofsheila��[���start�] =hotel�∧locationofostrich��[���start�] =hotel�∧locationofcheetah��[���start�] =hotel�∧locationofsheila��[���finish�] =farm�∧locationofostrich��[���finish�] =farm�∧locationofcheetah��[���finish�] =farm�∧∀��[moments����⊃[[locationofostrich��[�����] =locationofcheetah��[�����]]⊃[locationofsheila��[�����] =locationofcheetah��[�����]]]]]
我们可以表达Sheila有办法与公式实现其目标的方法
∃���[proposals�(��)���∧acceptable�(��)���]
示例3我们现在提供数学例子。 数学思想可以在型理论中表达而不引入任何新常数。 从集合到自身的迭代f的迭代是一个函数,该函数适用于一个或多次。 例如,如果�(�)=�(�(�(�))),则g是f的迭代。 [迭代+�(��)(��)������]意味着���是���的迭代。 定义(禁用)迭代+�(��)(��)
��������∀��(��)[��(��)���∧∀���[��(��)���⊃��(��)[������[�����]]]⊃��(��)���]
因此,如果g在包含f的函数的每个集合P中,则G是F的迭代,其包含f的功能,并且它包含j的功能������[�����](i.,f组成的f)。
F的F的固定点是元素Y,使得�(�)=�。
可以证明,如果函数f的一些迭代具有唯一的固定点,则F本身具有一个固定点。 本定理可以由WFF表示
∀���[∃���[迭代+�(��)(��)������∧∃��[�����=��∧∀��[�����=��⊃��=��]]]⊃∃��[�����=��]]。
看安德鲁斯等人。 1996年,讨论如何自动证明称为THM15B的定理,可以自动证明。
实施例4哲学的一个例子是哥德尔为上帝存在的本体论论的变体。 此示例说明了两个有趣的方面:
教堂的类型理论可以用作元逻辑,以简明地嵌入表达的其他逻辑,例如Gödel假设的高阶模态逻辑。 通过利用该目标逻辑的可能的世界语义,其句法元素以这样的方式定义,即元逻辑的基础设施尽可能重复使用。 在该技术中,称为浅语义嵌入,例如,模态操作员◻简单地用(作为句法糖为单位)λ公式
�������∀��[��������⊃�����]
其中����表示与◻和类型�相关的可访问性关系,以可能的世界识别。 此外,由于∀��[�����]在教堂的π型理论中是π�(��)[���[�����]],模态配方
◻∀���
代表为
◻π'[������[��������]]
其中Π'代表λ术语
�φ������∀��[φ�������]
并且如上所述,◻得到解决。 以上选择Π'实现了量化的量化概念。 通过在Metalogic中引入二进制“存在”谓词,并且通过利用该谓词作为π'定义中的额外后卫,可以获得定量的现实主义概念。 表示嵌入式模态配方���是全局有效的公式∀��[�����]捕获。 局部有效性(以及现实)可以被建模为�����,其中��是表示特定可能的世界的标称(元逻辑中的常量符号)。
可以利用上述技术在高阶模态逻辑中对Gödel的本体论证的自然编码和自动评估,这在教会类型理论中展开了公式,因此可以应用更高阶定理普通的普通。 进一步的详细信息在第6节(逻辑和哲学)中介绍了自动推理的第6节(逻辑和哲学),也就第5.2节; 此外,请参阅Benzmüller&Woltzenlogel-Paleo 2014和Benzmüller2019。