Ramsey和代际福利经济学（二）

3.3超车标准

所需要的是将问题解除联系，无论是无限的福祉积分是否从问题收敛，是否存在最佳消耗流。 这是koopmans（1965）和von Weizsacker（1965）提供的洞察力。 后者作者的重新声明最佳储蓄问题如下：

我们说可行的消耗流{C *（t）}优于可行的消耗流{C（t）}如果存在T＞0，使得所有t≥t，

∫t0[u（c *（s））]ds≥∫t0[u（c（s））] ds

如果它优于所有其他可行的消耗流，我们会呼叫{C *（t）}。

在不等式（6）中表示的条件被称为超前标准（OC），因为它是它的。 OC避免询问不等式中的两侧的积分（6）是否会聚为t→∞。 如果他们这样做，OC可以减少古典的功利主义。 但OC能够在更广泛的情况下回应Ramsey的储蓄问题。 在他的工作中，Koopmans（1965）确定了一个规范经济模型，其中U函数是界定的，其中Ramsey Mark II等同于oc术语的优化问题。

我们要制造折扣后代众多的道德的道德？ Ramsey（1928）通过解雇它开始，但随后在纸的尾部研究它。 如果有未来灭绝的可能性，DM可以证明折扣未来的幸福性可能。 Sidgwick（1907）本人指出，在段落之前引用。 如果古典的功利主义是赞扬的幸福总和，那么日期T的“危险率”（即，灭绝的危险率）将出现在预期福祉的表达式中，以折扣率显示在表达中幸福于t。 问题仍然是古典的功利主义是否坚持在确定主义世界中未来公用事业的零折扣。

在一个非凡的作品Koopmans（1960年，1972）中，在Ramsey Mark I和Ramsey Mark II中的确定性世界中暴露了伦理推理的内部矛盾。 他（以及随后的钻石，1965年）表明，如果对确定性世界的代际福祉的概念施加相对较弱的规范要求，则必须抛弃对几代U形功能的平等处理。 我们现在转向那个。

3.4折扣利用主义

它归还数学是更简单的，而不是假设时间是连续的，时间被拍摄为离散。 因此，我们现在假设T = 0,1,2，...... 还可以在T = 0处假设可以根据数值函数V来测量代际福祉。该想法是要求在无限阱流上定义的功能，以满足反映道德指令的属性。

让{U（t）}是无限的流，即{u（t）} =（u（0），u（1），...，u（t），......）。 我们说v（{u（t）}）如果在适当的数学意义上是连续的，则富裕流{u（t）}的v的v的值{u（t）} s的空间彼此接近。 在道德上有吸引力的V形函数的另一个条件是“单调性”。 为了定义概念，让我们说，如果没有一代人沿着前者沿着后者享受不那么幸福，那么如果至少有一代在前者中享有更幸福的一代，那么就没有一代人比在后者中享有更大的幸福。 我们说V是单调的IF如果对于作为前者优于后者，则为另一个v的v v比它更大。

这两个属性都很有吸引力。 犹豫不决的词典排序，没有令人信服的反对连续性的论据。 当然，Rawls（1972）将优先的规则和词典排序放在他的理论中心的诉诸中，但在其理论的中心，但已被证明是他最具争议的行动之一。 如果在正义的对象之间承认小权衡，他分析的丰富和深度将不会减少。 并且很难找到对单调性的原因。 即使是罗尔斯，其工作是如此指出的是分配正义，坚持单调性。

但是可以证明，满足连续性和单调性的任何V函数都必须构建贴现。 它似乎是真实的数字不足以以尊重连续性和单调性的方式适应无限的幸福流，同时授予所有世代的众多权重的众多。 命题的证明是钻石（1965年），并由作者归因于Menahem Yaari。 因此，我们现在在V-Function中介绍积极的折扣，并制定Ramsey Mark III。

再次返回到时间连续的配方。 如前所述，如果它满足具有K（0）的初始资本库存，则可以使用消耗流{C（t）}是可行的。 Ramsey Mark III（Ramsey 1928,553-555）然后：

“从所有可行的消耗流的集中，找到最大化的{c（t）}

v（0）=∫∞0[u（c（t））e-δt] dt，δ＞ 0。“

在Mark III中，贴现率δ是正常的。 这意味着相应的折扣因子E-Δ小于1.后者又可以表示意味着在各种经济模型中，E-ΔT趋于为如此速度的速度，标记III的速度为答案。

让{C *（t）}成为Ramsey Mark III的解决方案。 启发性地认为每次日期都有DM是有用的。 DATM T处DM的代际阱的衡量标准是等式（4）的V（T）。 请注意，连续DMS的道德观点彼此一致。 因此，DMS无需提高“代际合同”。 每个日期的DM都希望选择它认为最佳的消费水平，意识到成功的DMS将根据她为他们计划的内容进行选择。 在现代游戏理论上，Ramsey的最佳消耗流{C *（t）}是DMS之间的“非协作”（NASH）平衡。

4. Ramsey规则及其后果

我们现在构建用于在Mark III中确定{C *（T）}的变分参数Ramsey的非正式版本。 松散地说，DMS需要在任何两个短时间内消费之间的日常流动替代的边际速率，以等于可以在那些在短时间内的那些在那些相同的一对短时间内转化消耗的边际速率。 它们的平等（即，“缺档”和“FEASIBLES”）的平衡是最佳消耗流的必要性。

Ramsey构建了该物业的数学表达，但没有寻找一起携带的条件，都是必要的并且充分。 我们将使用一个简单的例子，该示例也在他的论文中，以展示如何获得足够的条件。

4.1变分论

写du / dc = uc和d2u / dc2 = ucc。 让{C（t）}是一种可行的消耗流。 我们首先向任何两次短时间内消费之间的日常流动替代的边际率的正式表达。 假设意图是在一些将来的日期T下减少消费，小额量ΔC（t），并在附近日期T +ΔT中提高消耗，同时保持所有其他日期的消耗与{c（t）}相同。 从移动中遵循的良好损失是E-Δtuc（t）Δc（t）。 我们现在试图确定在T +ΔT中需要的消耗量增加，如果V（0）保持不变，则需要在T +ΔT中进行; 因为这是T +ΔT的T和消耗量之间的道德偶然替代的边际速度。 表示ρ（t）的速率。 然后ρ（t）必须是折扣边际井的百分比率在t。 它还遵循ρ（t）是DM在T = 0的速率将用于折扣T it在t的单位，以便将其带到现在（因为这是百分比率的百分比率的百分比率，以便正式下降示范，见Dasgupta，2008）。 一些经济学家称之为ρ（t）利益的消费率（小和镜面1974），其他人称之为社交折扣率（箭头和kurz 1970）。 ρ（t）是社会成本效益分析中的基本对象。

让Δ变得消失。 然后，根据定义

ρ（t）= - [d（e-δtuc（t））/ dt] / e-δtuc（t）

以简化符号，令G（c（t））表示c（t）的生长率（即g（c（t））= [dc（t）/ dt] / c（t），它们可以是否定的），并且让σ（c）表示边缘阱的弹性（即，σ（c）= - CUCC / UC＞0）。 方程式（7）然后简化

ρ（t）=δ+σ（c（t））g（c（t））

因为{c *（t）}是假设最佳的，因此没有与{c *（t）}的可行偏差可以增加v（0）。 这意味着感兴趣的消费率（ρ（t））必须等于每吨的投资回报率（FK（T））。 要了解为什么，假设以一些消失的小时间间隔fk（t）＞ρ（t）。 然后通过在T处消耗较少的单位来增加v（0）并尽快享受（1 + FK（T）的返回。 或者，如果通过在T处更好地消耗单位并且在等于返回的量之后，可以通过在T和减少消费（1 + FK（T）之后减少消耗来增加（0）。 但这意味着感兴趣的消费率ρ（t）在每次日期时等于返回FK（t）的社交率。 使用等式（8）我们有，

δ+σ（c（t））g（c（t））= fk（t）

等式（9）是Ramsey规则。 Ramsey Mark III中最佳状态是最佳状态的必要条件，是跨期福利经济学中最着名的方程。 该规则是{C *（T）}要求的正式陈述，即附近的两个日期的消费之间的替代速率（EQ的左侧）等于同一对消费之间的变化率的边际率附近的日期（EQ的右侧）。（9）。确认等式（9）在U函数的正仿射变换下不变。

4.2 Ramsey分析中的不完整性

目前，我们将指定一个U-Function，其中σ独立于C.对于我们仅仅假设σ是恒定的。 在这种情况下，Ramsey规则读为

δ+σg（c（t））= fk（t）

在Ramsey Mark III中，K（0）被给予过去的遗传。 这意味着FK（0）作为初始条件给出，它不是T = 0的DM的选择。 此外，δ和σ是反映伦理值的参数。 因此，DM可以从等式（10）确定G（C（0））。 但这是最初日期消费增长的最佳增长率。 Ramsey规则为DM提供了确定初始增长速率的等式，但并没有说出初始消费水平应该是什么。 下面我们通过一个例子来展示了满足Ramsey规则的可行性消耗路径的无限。 因此，T = 0处的DM需要进一步的条件来确定C *（0）。

例2（线性经济）

假定

f（k）=μk，μ＞0u（c）= - c-（σ-1），σ＞1

从等式（11a），它遵循fk =μ，这意味着投资回报率是恒定的。 从等式（11B），σ是边际阱的弹性。 请注意，U（c）→-‖为C→0，即在U函数的所选常规核，U（c）→0为C→∞。 使用等式（1）产生的等式（11a），

dk（t）dt =μk（t）-c（t）

写是=（μ-δ）/σ。 将方程（11a-b）施加到等式（10）减少了Ramsey规则

dc（t）dt = [（μ-δ）/σ] c（t）= mc（t）

等式（13）表示，如果μ＜δ，则C（t）以指数速率下降至0。 凭经验，需要考虑的案例是μ＞δ，这是我们在这里的作用。 这意味着投资回报率（μ）超过折扣的速率（δ）。 而且又意味着m＞0。 整合方程（13）产量

c（t）= c（0）异位症

等式（14）表示C（t）以速率呈指数增长。 我们重新确认以前所做的一点，虽然等式（14）揭示了初始日期（即，T = 0）处的增长最佳消耗率，但它没有揭示初始消耗水平（即，C（0））。 这是Ramsey规则中的不确定。

确定最佳初始消耗的最简单方法C *（0）是观察等式（14），如果C *（t）在速率m处无限地生长，则应该需要k（t）以相同的速率生长。 原因是，如果K（T）的增长率小于M，则资本将被食用，这意味着库存将在有限时间内耗尽。 然后，如果经济的未来轨迹是这样的，那么经济将停止存在（V（0）将是无限的。每次日期都比需要更低。 情况将类似于DM抛出初始资本股票K（0）的一部分的情况，然后在满足Ramsey规则的节省行为上解决。

我们的线性经济（EQ.11A）的指数增长告诉我们节约率应该是恒定的。 让我们定义节省率，S作为在每个瞬间投资的输出（GDP）的比例。 然后可以重新编写等式（1）

dk（t）dt =sμk（t）

等式（15）表示预期保存等于预期投资。 整合方程（15）产量

k（t）= k（0）esμt

但我们坚持认为k（t）和c（t）都应以相同的速度增长。 等式（14）和（16）因此意味着

是=μ-δσ=sμ

等式（17）中的节省速率是最佳的。 所以我们把它写成了s *。 从而

s * =mμ=μ-δσμ＜1

方程式（16） - （18）告诉我们，消费的最佳增长率G *是

g * =μ-δσ＞0

另外，如果Δ= 0，则等式（18）减少到

s * =1σ

等式（20）提供优雅简化的答案，因为可以存在Ramsey开始纸张的问题。

4.3横向条件

线性技术（EQ 11A）和ISO-Elastic U-Function（EQ.11B）允许我们立即识别出，如果满足RAMSEY规则的消费流是最佳的，则资本和消费都应以相同的指数率升高。 在更一般的模型中识别足够的最优性条件是更困难的程度。 我们需要的是对满足Ramsey规则的消费流的长期功能的条件，可以确保它是最佳的。 Von WeizSacker（1965）表明所需条件涉及与该消费流相关的资本社会价值的长期行为。 我们现在正规化了这种情况。

让你成为帐户的单位。 考虑消耗流{c（t）}。 因此，UC（T）是社会价值的边际消费单位。 为UC（T）.p（t）的写入p（t）称为（现货）消费的会计价格。 因为e-Δtp（t）是p（t）的折扣值，所以它被称为当前价值的消费会计价格。 如果{c（t）}满足Mark III中的Ramsey规则，则E-ΔTP（T）也是资本股单位的本值计算价。 von WeizSacker（1965）表明，{c（t）}的最优性的充分条件是e-Δtp（t）k（t）→a为t→n，其中a是（有限）非负数。 用文字来说，{c（t）}的必要和充分条件是最佳的（i）它满足Ramsey规则，并（ii）经济的资本库存的现值是有限的。 条件（ii）被广泛称为“横向条件”，消除了满足Ramsey规则的那些可行的消耗流，但是储蓄过度储蓄。 一个简单的计算证实，如果节省速率为S *（EQ.18），则满足横向条件。

4.4储蓄最佳速率的数值估计

等式（18）表示S *是投资回报（μ）的越来越多的函数，折扣时间率的降低（δ），以及边际阱（σ）的弹性的降低函数。 这些属性中的每一个都直观地显而易见：

（1）投资回报率（μ）越高，未来几代人从边际增加初始世代的储蓄率越大。 这表示节省的最佳速率应该是μ的越来越多的函数，其他东西等于。

（2）DM选择的时间折扣率（δ）的值越大，她奖励未来几代人的福祉的重量就是较低的。 这意味着早期世代的最佳消耗水平较高（SECT。2.1），这反过来暗示节约的最佳速率较低，其他东西相等。

（3）由于投资回报是阳性（μ＞0），时间箭头显示有利于后代的偏见（Sect。2.1）。 但是σ的所选值越大，DM越多显示了对几代消费的股权。 因此，较大的是，初始几代享有的消耗率越高。 所以我们应该期望挽救的最佳速度是σ的降低功能，其他东西相等。

考虑等式（18）和（19）的右侧边上的参数的程式化图是有助于的。 虽然程式化，但它们是一对道德参数σ和δ的数字，他们在他们的工作中曾在气候变化经济学上写过的经济学家。 为了确保，气候变化的福利经济学要求比等式（1）和（11A）所示的模型要求更复杂的模型，但在下面确认时，它还没有提供任何额外的理论见解。 在下面我们需要一年的时间才能是时间的单位，并假设μ= 0.05（即，每年5％）。 沿着最佳，利息的消费率等于投资回报率（Ramsey规则），这意味着利息的最佳消耗率等于每年持续5％。

μ每年的5％的数字意味着20年的资本输出比（1 /μ）远远高于行业间研究的资本产出比估计，这是世界各地的经济学家抵达（Behrman 2001）; 其中1 /μ的代表性数字在该文献中为3年。 但他们的估计是基于“资本”的定义，该定义被限制在“生产”资本，如工厂，道路，港口和建筑物。 自然资本（生态系统，亚土壤资源）缺少人力资本（教育，健康，知识）。 Ramsey的模型，封装在等式（11a）中，包括所有形式的资本货物。 毫无疑问，他的制定需要一个英雄（阅读，不可能的！）聚合的壮举，但是当考虑到进入生产的所有资本货物时，我们应该期待总资本产出比率（我们应该称之为（包括普及）财富产出率），达到3年的批量; 也许甚至高于20年（Arrow等，2012,2013）。 来自国家经济账户的大类资本商品，通知我们经济学家对生产和消费可能性的理解（Dasgupta，2019）。 因此，在我们应该达到我们应该遗留到我们的后代的良好近似之前，它似乎还有很长的路要走。

例3（从气候变化的经济学中取出）

我们现在关注三个经济学家在研究气候变化经济学中选择的等式（11B）中的两个道德参数的值。

σ= 1.5和δ=0σ= 1和δ= 0.03（3％一年）σ= 1和δ= 0.001（每年0.1％）

（NB：Σ= 1对应于对数阱功能，即u（c）= logc，并且可以作为σ→1中的等式（11b）中的U（c）的功能形式的限制来获得。）

我们强加了那些参数值，以发现最佳节省率S *（EQ.18）以及消费的最佳增长率（EQ.19）是：

S * = 67％和G * = 3.3％（康兰）S * = 40％ANDG * = 2.0％（Nordhaus）S * = 98％ANDG * = 4.9％（船尾）