康德的数学哲学（一）

1. 康德的前批判数学哲学

2. 康德的批判数学哲学

2.1康德在《教条运用中的纯粹理性纪律》中关于数学概念建构的理论

2.2康德对“纯数学如何可能”的回答

2.3康德关于数学在先验唯心主义中的作用的概念

3. 康德数学哲学述评

3.1该领域的历史

3.2解释性辩论

3.3现场现状

参考书目

学术工具

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1. 康德的前批判数学哲学

2.

3.

1763年，康德参加了一个征文比赛，题目是形而上学和道德的第一原则是否可以被证明，从而达到与数学真理相同的确定性程度。尽管他的论文被柏林皇家科学院授予二等奖（输给了摩西·门德尔松的《形而上学科学中的证据》），但它仍然被称为康德的“获奖论文”。这篇获奖论文于1764年由科学院发表，标题为“关于自然神学和道德原则的独特性的探究”，是康德前批判数学哲学的关键文本。

在获奖论文中，康德对数学和形而上学的方法进行了比较(Carson 1999；萨瑟兰2010)。他声称“数学的任务……是结合和比较已知的概念，这些概念是明确和确定的，目的是建立可以从它们推断出什么”（2:278）。他进一步声称，这项工作是通过对数字或“可见符号”的检查来完成的，这些数字或“可见符号”提供了综合定义的普遍概念的具体表示（Dunlop 2014, 2020）。例如，人们通过任意组合其他概念来定义数学概念“梯形”（“四条直线包围一个平面，使其对边不相互平行”[1]），并伴随着一个“可感知的符号”，显示如此定义的所有对象的各部分之间的关系。定义和基本的数学命题（例如，空间只能有三维）必须“在具体中加以检验，这样它们才能被直观地认识”，但这些命题永远无法被证明，因为它们不是从其他命题中推断出来的（2:281）。当简单的认识“用综合的方法”（2:282）结合起来时，定理就成立了，例如，当证明在圆内相交的两条弦所形成的段的乘积相等时。在后一种情况下，人们证明了一个关于任何和所有在圆内相交的线对的定理，而不是通过“画出所有可能在圆内相交的线”，而是通过只画两条线，并确定它们之间的关系（2:278）。由此产生的“普遍规则”是通过对所显示的可感知符号的综合，以及由此产生的可感知符号所说明的概念的综合来推断出来的。

康德的结论是，数学方法不能用于获得哲学（特别是形而上学）的结果，主要原因是“几何学家通过综合方法获得概念，而哲学家只能通过分析方法获得概念——这完全改变了思维方法”（2:9 9）。然而，在这个前批判阶段，他也得出结论，即使缺乏对其基本概念的综合定义，“形而上学也能像数学一样具有产生信念所必需的确定性”（2:296）。(后来，在关键时期，康德将综合的概念扩展到不仅描述数学概念的起源和组合，而且还描述统一多种表象的行为。当然，他也将使用“综合”和“分析”这两个术语来区分两种相互排斥的方式，即主词和谓词概念在任何类型的不同判断中相互关联，他将强调这种区分的扩展意义，包括两种论证模式之间的方法论对比，一种是综合的或渐进的，另一种是分析的或回归的。下面将简要说明分析/综合区分的这些不同含义。)

在分别于1768年和1770年发表的论文《关于空间方向分化的终极依据》和《论感性世界和可理解世界的形式和原则[就职论文]》中，康德关于数学及其结果的思想开始朝着他的批判哲学方向发展，因为他开始认识到一种独特的感性能力将在数学认知的叙述中发挥作用(Carson 2004；卡森2017;诗句2020)。在这些文章中，他将数学推理的成功归因于它对“敏感形式原则”和“直觉的原始数据”的利用，这导致了“直觉认知规律”和关于大小和外延的“直觉判断”。一个这样的判断是用来建立一个对象的可能性，这个对象“与另一个对象完全相等和相似，但它不能被封闭在与另一个对象相同的界限内，它的不一致的对应物”（2:382）(burroker 1981；Van Cleve and Frederick 1991；Van Cleve 1999)。康德在《空间的方向》中引用了这种“不一致的对应物”来建立牛顿式绝对空间的可定向性和现实性，这是他当时所理解的几何对象。他在“就职论文”中引用了同样的例子，以确立空间关系“只能由某种纯粹的直觉来理解”，从而表明“几何所采用的原则不仅是不容置疑的和可论证的，而且也属于心灵的凝视。”因此，数学证据是“其他科学中所有证据的范式和手段”（2:4 3）。（后来，在关键时期的《绪论》中，他将援引不一致的对应物来建立空间的先验理想，从而否定他先前支持绝对空间的论点。）

2. 康德的批判数学哲学

2.1康德在《教条运用中的纯粹理性纪律》中关于数学概念建构的理论康德的数学批判哲学在《纯粹理性批判》题为“教条主义应用中的纯粹理性纪律”一节中得到了最充分的表达，这一节开始了《纯粹理性批判》两个主要部分中的第二个部分，即“先验的方法主义”。在《批判》的前几部分中，康德对纯粹理性进行了批判，以“限制其超出可能经验的狭窄边界的扩张倾向”（A711/B739）。但是康德告诉我们，不必对数学进行这样的批判，因为纯粹理性在数学中的运用是通过直观保持在一条“可见的轨道”上的：“〔数学的〕概念必须立即在纯粹直观中具体地表现出来，通过这种直观，任何没有根据的和任意的东西都立即变得明显起来”（A711/B739）。然而，数学的实践和学科确实需要一个解释，以便解释它在证明实质性和必要的真理方面的成功，同时也允许它作为推理模型的调用。这样，康德就象他在前批判时期所做的那样，把自己的注意力转向了这样的问题：什么说明了“快乐的和有充分根据的”数学方法，以及它是否在数学以外的任何学科中有用。要否定地回答后一个问题，康德必须说明数学推理的唯一性。

康德关于数学推理独特性的核心论点是，他声称数学认知源自其概念的“建构”：“建构一个概念意味着先验地展示与之相对应的直觉”（A713/B741） (Friedman 1992,2010；Shabel 2006)。例如，虽然概念＜triangle＞可以被论述地定义为由三条直线所包含的直线图形（如欧几里得的《几何要素》所做的那样），但在康德的技术意义上，只有在表现出相应的直观时，这个概念才得以构成。在这种情况下，相应的直观是一个三面形的单一而直接的表象。康德认为，当一个人为了进行几何证明所必需的辅助构造步骤而渲染一个三角形时，无论这个三角形是在纸上产生的还是仅仅在想象中产生的，他都是先验地这样做的。这是因为在这两种情况下，所显示的对象都没有从任何经验中借用其模式（A713/B741）。此外，人们可以从单个三角形的这种单一展示中推导出关于所有三角形的普遍真理，因为所展示对象的特定决定，例如，其边和角的大小，与所呈现的三角形作为一般概念＜triangle＞ (A714/B742)的展示“完全无关”。因此，必须捍卫康德的观点，反对普遍持有的观点，即普遍真理不能从依赖于特定表征的推理中得出（Friedman 2012, 2020）。与此相关的是，经验呈现的三角形的不完全直的边与一般概念＜三角形＞类似地“无关”，因此这种经验直觉被认为足以用于几何证明。这就提出了一个问题，即人们如何才能确保直觉充分显示概念的内容（Dunlop 2012）；纯粹直觉和经验直觉之间的关系(Friedman 2012；Shabel 2003);特别是，哪些直观显示的特征可以被安全地忽略（Friedman 2010, 2012）。康德建构理论的这些特征也引发了关于数学概念习得条件的讨论（Callanan 2014）；构造在间接约简证明中的作用（Goodwin 2018）；建构与定义的关系(Heis 2014, 2020；Nunez 2014);以及想象力在建筑中的作用（Land 2014）。

最终，康德声称，“只有大小的概念”(数量)可以用纯粹的直觉来建构，因为“品质不能在任何事物中表现出来，只有经验直觉”(A714 / B742)(Sutherland 2004a,2004b,2005a,2021)。 这导致了数学和哲学认知之间的原则区别:虽然哲学认知局限于抽象的概念分析的结果， 数学认知是“始终以直觉为导向的推理序列”的结果，也就是对其物体的具体表现(Hintikka 1967;Parsons 1969;Friedman 1992;Hogan 2020)。 康德在某种程度上解释了数学家如何构造算术和代数数量级，这与几何推理的对象空间图形不同。 他将“实指”和“象征性”结构区分开来，将实指构造与几何图形显示或显示空间图形的实践相一致， 而符号构造与算术或代数符号连接的行为有关(例如，“一个数量级要除以另一个数量级， [数学]将它们的符号按照除法的符号形式排列在一起(A717 / B745)(Brittan 1992;Shabel 1998)。 康德进一步宣称，纯粹的数量级概念适合于构造，因为与其他纯概念不同，它不代表可能的直觉的综合，而是“本身就包含了一种纯粹的直觉”。 但是，由于这种“纯粹直觉”的唯一候选是空间和时间(“表象的纯粹形式”)，因此只有空间和时间的大小才能以纯粹的直觉来表现，即。 ，构造。 这种空间和时间大小可以通过显示事物的形状来定性地表现出来，例如窗户窗玻璃的矩形，或者仅仅通过显示事物的部分数量来定量地表现出来。 ，窗口包含窗格的数量。 在这两种情况下，所显示的都被视为一种纯粹的“正式直觉”，对其进行的检查会产生判断，这些判断“超越”与直觉关联的原始概念的内容。 这些判断在范例上是综合的先验判断(下面将更详细地讨论)，因为它们是独立于经验的放大真理(Shabel 2006)。 康德认为，数学推理不能在数学领域之外被应用，就像他所理解的那样，它必然指向“完全由纯粹直觉给出的、没有任何经验数据”(A724 / B752)的物体。 因为只有形式的数学对象(即时空大小)才能得到， 数学推理对于物质上的内容是无用的(尽管关于形式的数学对象的数学推理结果的真理在这些材料内容上得到了结果， 也就是说，数学适用于和先验的现象(Shabel 2005)。 因此，数学在其定义、公理和演示中发现的“彻底基础”不能被哲学或物理科学“实现或模仿”(A727 / B755)。

虽然康德的数学概念建构理论可以被认为是对康德所理解的数学实践的解释[2]， 该理论与康德作为表征模式对直觉与概念之间严格区别的广泛承诺交织在一起(Smyth 2014); 在不同认知能力的角色之间(Land 2014;Laywine 2014)，以及先验和后验证据和推理(Anderson 2015)。 最终，数学图景在“教条主义使用的纯粹理性学科”中发展起来，取决于批判哲学所要提供的完整的判断理论， 关键是康德在先验美学中提出的感性理论(帕森斯1992;卡森1997;里索德1991)，以及在《普罗文学》主要的先验问题中的相应章节中，第一部分， 他研究了纯粹的数学感概念的“起源”，以及“它们的有效性范围”(A725 / B753)。 [3]2.2康德对他的问题的回答是“纯数学怎么可能?” 康德对他的批判哲学提出了两个相关的主要问题:(1)综合判断如何是先验的? (2)形而上学如何成为一门科学(B19;B23)? 数学提供了一种特殊的途径，通过提供一种编纂的科学学科的模型来帮助回答这些问题，这种模式的可能性是明确的，而且，它的认知成就既包括合成的，也包括先验的(Anderson 2015)。 换句话说，解释综合先验判断是如何在数学语境中得到肯定的，以及对一个系统的可证明知识构成这种判断的结果和相关的解释， 让数学真理被援引为形而上学希望实现的实质性但必要和普遍真理的范式。 康德的数学概念建构理论(上面讨论)只能在他处理关于数学和形而上学知识的本质和可能性的广泛问题的同时得到充分的理解(Jauernig 2013)。 在未来任何形而上学的序言和纯粹理性批判的b导论中，康德介绍了分析/综合的区别， 它区分属于或包含在主体概念中的谓词和判断的谓词，以及分别连接但超越主体概念的谓词。 在每一篇文章中，他都遵循着这种区别，并对他的说法进行了讨论，即所有数学判断都是综合的，而且是先验的。 [4]他在那里声称，首先，“正确的数学判断总是先验的判断”，理由是它们是必要的，因此不能从经验(B14)中获得。 他在此之后解释了这种非经验性判断是如何合成的，也就是说，它们如何能够综合一个主语和谓语概念，而不是仅仅解释或分析一个主语概念，而不是仅仅将一个主语概念分解为其组成的逻辑部分。 在这里，康德著名地引用了算术命题“7 + 5 = 12”，并认为这样的判断是合成的。 他消极地争辩说，“不管我分析我的概念有多长(7和5)，我仍然不会在其中找到12”，而且是积极的， 声称“一个人必须超越这些概念(7和5)，以一种直觉寻求帮助，这种直觉对应于两个人中的一个，一个五个手指， 比如说，一个接一个地把直觉中给出的五个单位加到7的概念中，从而看到数字12出现了”(B15)。 他认为，像“7 + 5 = 12”这样的算术命题的必要真理不能通过任何逻辑或概念分析方法来确定(Anderson 2004,2015)，但可以通过直观合成来确定(Parsons 1969)。 最近，对康德算术理论的讨论从算术判断的合共性和先验的问题转移到对康德对数字的描述的研究。 这里出现的主题包括序性和基数(Sutherland 2017,2020);实数(Tait 2020;van Atten 2012); 以及康德的“可能性”概念中的数字概念的中心性(Carson 2020)。

康德在对算术推理和真理的讨论之后，又提出了欧几里得几何学的相应主张。根据欧几里得几何学，几何学的原理表达了概念之间的综合关系（例如两点之间的直线概念和两点之间最短的直线概念之间的综合关系），两者都不能从另一个概念中解析地“提取”出来。因此，几何原理表达了基本几何概念之间的关系，因为这些关系可以“在直观中表现出来”(Shabel 2003；萨瑟兰2005)。在其他地方，康德还将几何定理作为一种命题（除了几何原理之外）纳入综合，并提供了关于几何证明的思考（A716-7 / b745 - 5） (Friedman 1992,2010；Shabel 2004)。理解几何定理的综合性的一种方法是认识到直觉在几何证明中不可或缺的图解作用（Shabel 2004, 2004）。

值得注意的是，康德关于几何定理是综合的主张的范围是不透明的。他否认这些原理（Grundsätze）可以从矛盾原理中解析地认识，但他承认，建立几何定理所需要的那种数学推理确实“按照矛盾原理”进行，而且“当然可以根据矛盾原理来理解一个综合命题”，尽管“只有在预设了另一个综合命题的情况下才能从这个综合命题中推导出来”，永远不会本身”（B14）。因此，虽然他很清楚所有的数学判断，包括几何定理，都是综合的，但他不太清楚这些命题或支持它们的推论到底意味着什么，以“符合”矛盾原则，他认为可推导性是可分析性的范式检验（Hogan 2020）。这就导致了解释上的分歧，即可证明的数学判断是通过严格的逻辑推理或概念推理从综合原理推导出来的，因此严格地只按照矛盾原则，还是通过本身依赖于直觉的推理推导出来的，但并不违反矛盾法则。因此，对于康德究竟是仅仅致力于数学公理的综合性（这些公理通过逻辑推理把综合性转化为可证明的定理），还是也致力于数学推理本身的综合性，就存在分歧。前一种解释立场最初与恩斯特·卡西尔和刘易斯·怀特·贝克有关；后者的立场与伯特兰·罗素（Hogan 2020）。Gordon Brittan （Brittan 2006）认为这两种立场都是“证据主义者”，这是他对直觉为数学真理提供不可或缺证据的任何解释的标签，无论该证据是支持公理或推论，还是两者兼而有之（Brittan 2006）。

注意康德数学哲学中的这个解释性问题是至关重要的，因为它揭示了更普遍的问题，即是什么使先天综合认知成为可能，这是康德《纯粹理性批判》的中心问题。关于这个更普遍的问题，重要的是要区分康德使用“分析”和“综合”这两个术语来标记判断类型之间的逻辑语义区别——康德用它来捍卫数学认知是综合优先的独特论点——与使用相同的术语来标记传统数学方法之间的区别，即分析方法和综合方法。他运用后一种区别是为了确定回答“纯数学的可能性”问题的两种不同的论证策略。分析方法的特点是推理，将一个给定的认知体系，如数学，追溯到它在头脑中的起源或来源。相比之下，综合方法的目的是直接从这些原始的认知来源中获得真正的认知，这些来源或权力首先被解释，独立于权力最终可能产生的任何特定的认知体（包括数学）。康德在《哲学导论》中采用了前一种方法，从数学判断的综合性和先验性出发，论证到空间和时间是人类感性的形式；他在《纯粹理性批判》中采用了后一种方法，认为人类感性的形式，即空间和时间，为得出综合和先验的数学判断提供了基础（Shabel 2004）。这些论点,连同他的帐户的细节的合成和先验性质数学判断,提供答案的问题的可能性,数学:实践,收益率的合成具有示范性和先验判断的科学数学是建立在和解释人类情感的本质,特别是所有的时空形式(只有)人类经验的对象(范克里夫1999)。但是，这个答案提出了进一步的问题，特别是关于如何区分空间的形而上和几何表征(Carson 1997；弗里德曼2000,2015,2020；Onof and Schulting 2014；击发弹2016)。

2.3康德关于数学在先验唯心主义中的作用的概念

康德的数学实践理论不仅与他的直觉和感性理论（如上所述）联系在一起，而且与先验唯心主义学说的其他方面联系在一起，因为它在康德的批判著作中得到了阐述。