量子混乱（二）_数学联邦政治世界观()

另一个基本问题是，经典混乱是非线性的函数，而schrödinger的方程描述了量子系统。因此，量子融合的实证研究通常集中于散射过程（例如量子台球）和外部驱动的量子系统（请参见下一节）。这些研究的重点是此类系统和过程的时间演变以及其能量水平的结构的不可预测性。尽管可预测性限制是经典混沌系统的一个特征，但量子系统的时间演变可能不可预测的原因有很多（例如，如果可观察到可观察到的情况会经历复杂的动力学）。在散射过程和外部驱动的量子系统中，尚不清楚不可预测性是由于任何形式的混乱。

量子系统有时会表现出分叉。例如，在某些情况下，旋转分子将经历几种被解释为分叉的连续定性变化（Zhilinskii 2001和2009）。目前尚不清楚此类系统中是否有一系列分叉最终导致过渡到某种形式的量子混沌行为。怀疑这种过渡的原因之一是，量子分叉所表现出的定性行为并没有导致一系列的极限周期，正如Logistic Map和其他经典混乱模型中所观察到的那样。孤立系统中通常发生的通常发生的情况是能量水平在能量频段（Pierre，Sadovskii和Zhilinskii 1989）之间进行重组，或者量子系统过渡到状态的叠加，而相应的经典混沌系统则选择一个或另一个或另一个或另一个。干草叉分叉的分支（Goto 2016；与Bishop 2023，第46页，图4.5进行比较）。

任何量子系统都有另一个基本限制，这些量子系统显示出有限的孤立系统的古典混乱痕迹。海森伯格时间给出了这种系统的演变将由量子波动主导的时间尺度，

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非常短，几乎没有机会解决混乱的行为，然后才会被波动淹没。

充其量，孤立系统中的量子融合产生了与可集成和不可融合的经典系统和一些重要的实验结果具有有趣关系的结果（例如，Bayfield和Koch 1974; Berry 2001; Berry 2001; Casati，Casati，Casati，Chirikov，Izrailev和Ford 1979; Casati 1979; Casati，1979; Casati， Chirikov和Shepelyanski 1984； Grempel和Prange 1982）这些关系都是统计的。研究孤立的封闭量子系统的一个问题是，这些系统的状态空间不允许形成通常与经典混沌系统相关的状态空间结构。文献中讨论了一些例外，但是如果这些是真正的混乱案例，那是模棱两可的。文献中讨论的一个示例是一个量子哈密顿操作员

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- 维圆环：

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（Chirikov，Izrailev和Shepelyanski 1988，第79页）。动量的概率密度呈指数增长，在经典情况下，它看起来像是SDIC的轨迹。但这与古典混沌系统所表现出的不确定性的增长不同。而且没有原则上的理由将一定数量的指数增长作为混乱的标记（请参阅补充中的示例：混乱定义反例）。

建立在上述双关/台球波谐振器的数值结果的基础上，可能可以将量子融合应用于量子测量问题。通常，量子测量的模型将相干量子状态的破坏描述为外部噪声或环境的影响。这些量子性化学结果可以使量子反应的动力学理论发展，这是由于经典混沌（或至少是不可积分）系统与相干量子状态之间的相互作用，从而产生了在测量设备中观察到的不相互分混合物的相干量子状态。这些考虑使我们进入了交互系统。

Q2是否存在量子混乱？交互系统

在有限的系统中，量子干扰效应倾向于快速抑制类似于量化的宏观混沌模型的混沌动力学的任何特征。在相互作用的量子系统中，与随机矩阵模型捕获的相同统计行为经常发生（例如，Chan等人2022;Dağ等人2023）以及量子系统的热化（例如Chan，de Luca和Chalker 2021），因此在适当的参数设置下存在此类系统的量子杂志。但是如前所述，称这些混乱的签名是误导性的。在驱动的量子多体系统中，有可能采用操作员的组合，例如双传输矩阵产品，并发现它们的特征是指数为指数，这些指数通常被称为“ Lyapunov指数”。但是双传输矩阵产物随系统大小（例如Chan，de Luca和Chalker 2021）呈指数增长。尽管这可能与热力学极限有联系，但与混乱的动力学或Lyapunov指数无关。

由于Schrödinger方程的线性性质，通常无法诊断出在量子系统中未能找到经典混乱的特征。上面讨论的孤立量子系统的证据证明了这一诊断。相互作用的量子系统（也称为开放量子系统）呢？乍一看，可以说施罗丁方程的线性意味着附近的量子状态随着时间的流逝而始终保持在附近。但是，已经提出了一些与量子系统相互作用的混乱行为的替代可能性。

弗雷德·克朗（Fred Kronz）（1998，2000）认为，关注可分离/不可分割的哈密顿（Hamiltonian）区别比量子混乱的非线性更合适（§1.5）。尽管Schrödinger的方程式是线性的，但在QM中有许多不可分割的汉密尔顿人的例子。一个主要的例子是，哈密顿人描述了测量设备与量子系统之间的相互作用。在这种情况下，量子系统测量设备化合物系统可以从张量产物状态演变为不可分割的纠缠状态，该状态由张量产品状态的不可约束叠加表示。一个无处不在的例子将是著名的爱因斯坦 - 波多尔斯基 - 罗森 - 罗森特相关性。尽管许多人，例如罗伯特·希尔伯恩（Robert Hilborn，1994，549–569），但他认为量子系统的单一演变使SDIC不可能用于量子力学，但这些论点并不认为相互作用的量子系统通常具有不可分割的汉密尔顿人。

对于相互作用的量子系统，Schrödinger的方程式不再有效，通常会转向所谓的主方程来描述进化（Davies 1976）。这样的方程式通常具有不可分割的哈密顿人。通常，这种相互作用系统的组成部分的演变是不明显的，这意味着没有正式禁止彼此不同的量子状态。此外，孤立的量子系统和相互作用的量子系统之间的重要对比是，尽管前者具有离散的能量谱，但后者具有连续的光谱。连续的能源是经典宏观系统的特征。

然而，与孤立系统中发现的相同类型的能量光谱和波动的量子系统相互作用的工作仅发现了相同的通用统计特征（例如Filikhin，Matinyan和Vlahovic 2011; Guhr，Guhr，Müller-groler-groeling andWeidenmülller1998; ponomararenko; polonerarenko; Al。这种情况的原因之一是，由于环境（例如，“热水浴””）具有无限自由度的环境引入的散发或噪声，具有无限程度的量子系统。尽管通常的程序是找到某种方法来追踪或整合无限的自由度，产生有限的数字，但这并不能充分解决量子开放系统中无限自由度之间的不匹配，而有限的自由度与拥有的有限自由度通过他们的古典对手。

通常情况下，量子混乱文献使用更广泛的混乱概念作为“不能被描述为独立一维动作的叠加”（Ponomarenko等，2008，p。357），换句话说，换句话说，不可分割的形式。尽管如此，相互作用的量子系统中的融合似乎与孤立的系统相同：“量子在机械上，混沌系统的特征是其能量水平的独特统计数据，必须符合高斯随机合奏之一，与水平形成鲜明对比泊松分布描述的非偶然系统的统计数据”（第357页）。这在很大程度上是由于以下事实：量子杂志与量子系统中的通用统计模式紧密相关，这些量子系统与上述§Q.1中讨论的经典混沌对应系统具有某些关系。

在经典系统中检测混乱行为的措施之一是正面的Kolmogorov熵，该熵可能与Lyapunov指数有关（例如Atmanspacher和Scheingraber 1987）。不幸的是，在QM中没有适合Lyapunov指数的适当类似物。人们可以使用替代性熵措施，例如von Neumann，Connes-Narnhofer-Thirring或降低密度线性熵。但是，关于这些熵措施中有许多（如果有的话）是适当的量子类似物（如果有的话）有许多问题（可能是根据所提出的问题，它们都适合特定的研究目的）。此外，尽管这些措施与量子征物的能量水平和状态特征的统计数据有关系，但目前尚无其他已知的量子系统特征，这些措施可能与与经典轨迹中观察到的混乱行为相对应。例如，降低的密度线性熵已用于估计具有具有经典对应物的量子系统的量子脱碳纠缠的生长（例如，Furuya，Nemes和Pellegrino 1998; Zurek and Paz 1995），但估计为估计环境纠缠的指数增加与混乱文献中讨论的全球Lyapunov指数没有任何关系。这种量子效应本身就是有趣的，但是称它们为“混乱”是误导性的。

在驱动的量子系统中，似乎已经表现出某些古典汉密尔顿动力系统的干草叉分叉之间的关系与在相应的量子类似物中对基态纠缠的变化之间的关系Schneider和Milburn 2002）。考虑一个量子系统，其半古典限制表现出干草叉分叉（不一定是在逻辑图中的一系列时期双重序列中的分叉；这取决于特定半古典系统动力学的性质）。量子系统在与参数值相对应的临界点上表现出一个相变，其中相应的半古典系统表现出其固定点吸引子的干草叉分叉。该量子临界点是相对于参数的峰值纠缠点，例如量子旋转之间的耦合强度或系统的线性熵。然而，这种有趣的行为与古典混乱动态没有任何关系。

或考虑使用Bose-Hubbard Boson系统

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相互作用的玻色子（例如，Fisher等，1989；LeBoité，Orso和Ciuti 2014）。作为一个交互系统，主方程是基于这个哈密顿量的。关于主方程的一切都是确定性的。简而言之，在玻色 - 哈伯德系统中，玻色子在一个站点之间跳到一个站点（想想从一个晶格到另一个晶格的原子，或者从一个光腔到另一个光腔到另一个光腔的光子），在其中创建和ni灭操作员将希望动态描述为希望动态的niHihilihitation在一个地点的玻色子和在附近的地点创建玻色子。一个玻色子会跳到一个概率与所有其他玻色子的概率上。因此，存在有限的概率，即给定位点的玻色子之间的所有数字将零，全部或任何数字。这意味着玻色子相互互动存在概率。可以操纵驱动函数（通常是激光器）以产生玻色子更本地化的上下文，这相当于减少跳跃量（即减少玻色子之间相互作用的概率）。通常，平均场近似值用于将多站点的哈密顿量减少到有效的单位汉密尔顿人。为了将量子动力学连接到半古典模型，可以使用一个近似值，其中量子主方程被半经典方程和两个方程式的吸引子解取代（例如，Ivanchenko等人，2017年）。

对于没有驱动系统的固定状态，随着玻色子之间的相互作用强度的增加，发生了从一个位置的玻色子分布到双峰分布的变化（在两个位置的占用）。这种分布的变化被解释为量子叉分叉。主和平均场方程都表现出这种过渡，而平均场情况中的过渡可能与从一个稳定的吸引子到半经典模型中的两个吸引子的干草叉分叉有关。只要隧道幅度很小（所谓的跳跃），提高相互作用强度就可以产生三个最大值的玻色子占用分布分叉。但是，后一个量子分叉没有半古典的对应物。量子分叉在固定密度基质的结构变化中表现出来（即，在量子基态处的玻色子位置职业）；量子系统的稳定状态没有不稳定。这种行为与当稳定的固定点变成不稳定点时，与逻辑图中的干草叉分叉形成对比（Bishop 2023）。此外，平均场模型不存在量子哈密顿模型所表现出的某些行为。

当周期性驱动器打开时，经典模拟表现出一个时期序列，导致混乱的动力学类似于逻辑图。对于平均场模型，可以通过一系列时期的加倍驱动系统，并产生一个让人联想到经典混乱的情节，但是没有进行分析以研究超出对角线矩阵中Maxima图的表面相似性以外的任何内容元素（比较Ivanchenko等人2017年的图4a和4b）。取而代之的是，要使用量子哈密顿量解决细节，需要更多的颗粒，而Ivanchenko等人则需要更多的颗粒。切换到有时称为量子轨迹方法的方法，但实际上是一种用于跟踪量子跳跃的蒙特卡洛方法（Plenio and Knight 1998）。因此，尽管有名字，但没有轨迹（文献中的混乱来源）。该计算在不同离散矩时产生了第一个位点的粒子数量的预期值。在这些离散时间对数据点进行采样，在渐近密度矩阵的对角线元素中产生一系列最大值和最小值，类似于平均场模型的结构，但作者并没有明确表明混乱对量子汉密尔顿模型的意义鉴于没有轨迹。也可以在后一个模型中驱动分叉，该模型与平均场或半古典模型没有任何对应。

同样，对于相互作用的其他玻色式模型的工作。考虑一个三个耦合腔的环和腔中光子的手性驱动器（Dahan，Arwas和Grosfeld 2022）。光子是玻色子，因此可以考虑具有驾驶术语相对于频率和动量相干的光子的玻色式哈密顿量。在通过平均场近似开发的古典模型（很少的光子 - 光子相互作用，空腔成为经典耦合的非线性振荡器）中，可以实现经典的设置，并且振荡器的动态表现出正面的lyapunov指数，并且似乎是奇怪的吸引者在系统中耗散。但是，当光子相互作用太强时，无法近似经典模型，也不能以任何经典手段对光子的玻色子统计数据进行建模。同样，光子职业通过耦合腔的降低密度矩阵跟踪。作者使用蒙特卡洛模拟从初始真空状态的玻色子系统进化。这些模拟在状态空间中产生吸引人的密集占用，OTOC敏感的依赖对手性驱动的弱扰动强度以及OTOC的指数生长。值得注意的是，他们使用“古典混沌盆地”一词的吸引力，而无需讨论经典和量子状态空间之间的差异，后者缺乏轨迹，甚至在经典轨迹与离散的情况下相关性函数的含义在量子情况下从一个腔到另一个腔的光子跳跃。鉴于奇怪的吸引者只有古典状态空间的支持，因此这里有些草率。这是一个示例，说明了令人困惑的经典和量子概念以及可观察到的量子行为的不适当特征。作者只能意味着量子融合的某些特征在手性驱动下显示在其量子系统中，而模拟经典系统生活在不同的状态空间中，具有不同的可观察到的代数，展示了混乱的动力学标记。

在单位正方形中，有一个有趣的物理模型，具有周期性边界条件，具有外部电磁场，偶尔会踢（打开和关闭）。从数学上讲，该模型是量化Arnold Cat图的概括（Arnold和Avez 1968； Weigert 1990和1993）。从物理上讲，它代表了一个充满电的粒子，局限于圆环形的能量表面，该粒子从外场接收。经典模型的轨迹表现出伸展和折叠过程，这似乎是混乱的必要条件，具有正lyapunov指数，并且在算法上是复杂的，这是用于检测经典混乱的措施之一。它的轨迹有许多混乱的标记。对于量子模型，电磁场的踢球具有映射最初与不一定再次接近的标签的状态向量的量子标签。这有点让人联想到古典混沌轨迹的差异，除了是国家标签的变化引起了人们的关注现象。这导致绝对连续的准能量频谱（准能源定义为代表在国家矢量标签的进化运算符中代表“能量”的数字集）。长时间后，相对于初始状态标签，粒子位置的期望值变得不可预测，并且可以证明量子状态标签的移位序列在算法上是复杂的。此外，可以定义标签之间的“距离”，该标签随时间呈指数增加。

这是类似于古典混乱的行为量子杂志中最令人信服的例子。尽管如此，关于量子状态标签序列的行为是否足以使系统符合混乱的质量，存在一些疑问。一方面，由于准能量的连续频谱，量子混乱的猜想不适合该系统。更重要的是，正如主要文章中所讨论的那样，指数差异本身既不必需，也不足以将系统描述为混乱（因此，算法复杂性都不是混乱的）。有许多算法上复杂但并不混乱的系统的示例。例如，长期随机生成的位字符串无论是如何获得的，都在算法上是复杂的，但不需要与混乱有任何关系。

或考虑动态系统