动态认知逻辑（一）_数学联邦政治世界观()

一、简介

2. 公众沟通

2.1 公示逻辑

2.2 群体知识：公共知识和分布式知识

2.2.1 常识

2.2.2 分布式知识

2.3 摩尔句子

3.复杂的认知相互作用

3.1 动作模型描述复杂的信息场景

3.2 行动模型示例

3.3 认知行为的逻辑

3.4 变体和概括

4.信念改变与动态认知逻辑

4.1 信念修正：错误意识信念改变

4.2 静态和动态信念变化

4.3 合理性模型和信念改变

4.4 Doxastic 行动的逻辑：行动优先级更新

4.5 证据动态和合理信念

5.动态认知逻辑中的概率更新

6.动态认知逻辑的应用

6.1 偏好动态

6.2 与时态逻辑的联系

6.3 与主流认识论的联系

七、结论

附录

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

动态认知逻辑是对一系列模态逻辑的研究，每个模态逻辑都是通过添加一个或多个描述模型转换动作的模态运算符从给定的逻辑语言获得的。如果 [A] 是这样的模态，则使用 [A]F 形式的新公式来表达动作 A 发生后 F 为真的陈述。确定 [A]F 在指向的 Kripke 模型上是否为真（M，w）（定义见附录A），我们根据动作A的规定对当前的克里普克模型M进行变换，得到一个新的指向克里普克模型（M′，w′），然后我们研究F是否是真的。如果那里为真，那么我们说原始公式 [A]F 在我们的起始情况 (M,w) 中为真。如果 F 在新产生的情况 (M′,w′) 中不为真，那么我们得出相反的结论：[A]F 在我们的起始情况 (M,w) 中不为真。这样，我们就不是通过分析单个 Kripke 模型中获得的结果来获得 [A]F 的含义，而是通过分析特定模态指定的 Kripke 模型变换的结果获得的结果来获得 [A]F 的含义。这是从发生在单个 Kripke 模型中的静态真值语义到发生在模态指定的 Kripke 模型转换中的动态真值语义的转变。动态视角的优点是，我们可以分析公共和私人公告等行为的认知和信念后果，而不必从一开始就将结果“硬连接”到模型中。此外，我们可以简单地通过改变动作描述模式的顺序来观察不同动作序列的后果。

在下面的部分中，我们将了解动态认知逻辑中研究的许多模型更改操作。作为这项研究的一部分，出现了许多自然的应用和问题，我们将看到这项工作中获得的一些结果。在此过程中，考虑上述一般正式设置的许多变体将很方便。尽管存在这些差异，但核心的基本思想是相同的：描述某些特定于应用程序的模型转换操作的新模式被添加到现有的逻辑语言中，并且研究从那里开始。现在继续我们自己，我们从可能是最典型和最基本的模型转换操作开始：公告。

2. 公众沟通

2.1 公示逻辑

公共公告逻辑（PAL）是对知识、信仰和公共传播的模态逻辑研究。 PAL（发音为“pal”）用于推理知识和信念，以及根据完全可信、真实的公告的发生而引起的知识和信念的变化。 PAL 最常见的激励示例包括 Muddy Children Puzzle 和 Sum and Product Puzzle（参见，例如，Plaza 1989、2007）。 2015 年 4 月在互联网上引起轰动的谢丽尔生日问题也可以使用 PAL 来解决。在这里，我们提出了由 Chang 提出的 Cheryl 生日问题的版本（2015 年，4 月 15 日）和 Muddy Children Puzzle 的三孩子版本（Fagin et al. 1995）。我们没有提出传统的求和与乘积难题（详细信息请参阅 Plaza (1989, 2007)），而是提出我们自己的简化，我们称之为求和与最小公倍数问题。

谢丽尔的生日（Chang 版本（2015 年，4 月 15 日））。阿尔伯特和伯纳德刚刚认识了谢丽尔。 “你的生日是什么时候？”艾伯特问谢丽尔。

谢丽尔想了想，说道：“我不会告诉你，但我会给你一些线索”。她写下了 10 个约会的清单：

5月15日、5月16日、5月19日

6月17日、6月18日

7月14日、7月16日

8月14日、8月15日、8月17日

“我的生日就是其中之一”，她说。

然后谢丽尔在艾伯特耳边低声说了她生日的月份——而且只是这个月份。她对伯纳德低声诉说着这一天，而且只有这一天。

“现在你能弄清楚了吗？”她问艾伯特。

艾伯特：我不知道你的生日是什么时候，但我知道伯纳德也不知道。

伯纳德：我本来不知道，但现在我知道了。

艾伯特：嗯，现在我也知道了！

谢丽尔的生日是什么时候？

泥泞的儿童拼图。三个孩子正在泥巴里玩耍。父亲把孩子们叫到屋里，把他们排成半圆，这样每个孩子都能清楚地看到其他孩子。 “你们中至少有一个人额头上沾满了泥”，父亲说道。孩子们环顾四周，每个孩子都检查着其他孩子的额头。当然，没有一个孩子能够审视自己。父亲继续说道：“如果你知道自己的额头脏不脏，那就站出来吧”。没有一个孩子向前迈出一步。父亲又重复了一遍：“如果你知道自己的额头脏不脏，那就上前吧”。一些但不是全部的孩子都挺身而出。父亲第三次重复了一遍：“如果你知道自己的额头脏不脏，那就上前吧”。剩下的所有孩子都向前迈出一步。有多少孩子的额头是泥泞的？

总和与最小公倍数难题。裁判员提醒S先生和L先生，两个正整数x和y的最小公倍数（“lcm”）是能同时被x和y整除且无余数的最小正整数（例如，lcm(3,6 )=6 且 lcm(5,7)=35)。裁判随后说道：

在2到7的整数中，包括2和7本身，我会选择两个不同的数字。我会将总和告诉 S 先生，将最小公倍数告诉 L 先生。

裁判随后按照承诺行事。然后发生以下对话：

S先生：我知道你不知道这些数字。

L先生：啊，但现在我确实认识他们了。

S先生：我也是！

数字是多少？

求和与乘积谜题类似于求和与最小公倍数谜题，不同之处在于允许的整数取值范围为 2,…,100（含），L 先生被告知两个数字的乘积（而不是它们的最小公倍数）多个），并且对话略有改变（L：“我不知道这些数字”，S：“我知道你不知道它们”，L：“啊，但现在我知道它们”，S： “而现在这样我也是！”）。这些变化导致了一个更加困难的问题。详情请参阅《广场》（1989、2007）。

建议读者尝试自己解决难题，并在查看附录 B 中基于 PAL 的解决方案之前阅读下面有关 PAL 的更多内容。稍后，在介绍了 PAL 的必要基础知识后，作者将再次指出请阅读本附录。

这些谜题有很多变体，其中一些激发的逻辑不仅可以处理公共交流。将注意力限制在上述变化上，我们注意到，推理这些难题的形式逻辑必须能够代表各种主体的知识以及由于公开公告而带来的知识变化。需要注意的一件重要事情是，谜题中的公告都是真实且完全值得信赖的：为了让我们能够解决谜题，我们默认（除其他外）宣布的所有内容实际上都是真实的，并且所有代理都接受毫无疑问的公告内容。这些假设在许多日常情况下当然是不切实际的，并且可以肯定的是，有更复杂的动态认知逻辑可以解决代理人对其收到的信息可能持有的更复杂和微妙的态度。然而，在适当限制的情况下，公共公告逻辑提供了一个基本框架来推理真实的、完全值得信赖的公共公告。

给定命题字母的非空集合 P 和主体的有限非空集合 A，基本模态语言 (???) 定义如下：

F::=p∣F∧F∣ØF∣[a]F

pεP,aεA

式[a]F被赋予信念性（“代理人a相信F”）或认知性（“代理人a知道F”）的读数，具体读数取决于人们所想到的应用。在本文中，我们将互换使用这两种读法，选择在给定上下文中更方便的一种。在语言（ML）中，除否定 Ø 和合取 ∧ 之外的布尔连接词被视为否定与合取方面的缩写，正如任何初等逻辑教科书中所熟悉的那样。有关 (ML) 及其 Kripke 语义的更多详细信息，请参阅附录 A。

公告逻辑语言（？？？）对基本模态语言（ML）进行了扩展，增加了公式[F!]G，表示“公告F后，公式G为真”：

F::=p∣F∧F∣ØF∣[a]F∣[F!]F

pεP,aεA

从语义上讲，公式 [F!]G 在 Kripke 模型中解释如下：说 [F!]G 为真意味着，每当 F 为真时，在我们消除所有非 F 可能性（以及所有往返于这些可能性的箭头）。这是有道理的：由于 F 的公开声明是完全可信的，所有代理的响应方式是集体排除所有非 F 的可能性。因此，为了看看公开宣布 F 发生后会得到什么，我们消除非 F 世界，然后看看在结果情况中什么是真实的。形式上，(PAL) 公式被评估为指向 Kripke 模型和 (ML) 公式（在附录 A 中定义）之间的二元真值关系 ⊨ 的扩展，如下所示：给定 Kripke 模型 M=(W,R,V)和一个世界 w∈W，

M,w⊨p 成立当且仅当 w∈V(p)；

M,w⊨F∧G 当且仅当 M,w⊨F 和 M,w⊨G 均成立；

M,w⊨ØF 成立当且仅当 M,w⊭F；

M,w⊨[a]F 成立当且仅当 M,v⊨F 对于每个 v 满足 wRav；和

M,w⊨[F!]G 成立当且仅当我们有 M,w⊭F 或 M[F!],w⊨G，其中模型

M[F!]=(W[F!],R[F!],V[F!])

定义为：

W[F!]:={v∈W∣M,v⊨F} — 只保留 F 为真的世界，

xR[F!]ay 当且仅当 xRay — 保留剩余世界之间的箭头不变，并且

v∈V[F!](p) if an only if v∈V(p) — 使剩余世界的估值保持不变。

请注意，如果 F 为假，则公式 [F!]G 为空真：错误公式的声明与我们对真实声明的假设不一致，因此在声明错误后每个公式都会遵循（ex falso quodlibet）。值得注意的是，双重宣告算子 ⟨F!⟩ 定义为

⟨F!⟩G:=�[F!]�G

给出公式 ⟨F!⟩G 的含义如下：F 为真，并且在 F 宣布后，G 也为真。特别是，我们观察到只要 F 为假，公告公式 ⟨F!⟩G 就为假。

通常人们希望将注意力限制在一类克里普克模型上，其关系 Ra 满足某些所需的属性，例如自反性、传递性、欧几里得性或序列性。自反性告诉我们智能体知识是真实的，及物性告诉我们智能体知道他们知道什么，欧几里德性告诉我们智能体知道他们不知道什么，序列性告诉我们智能体知识是一致的。（信念阅读也是可能的。）为了研究此类类别的公开声明，我们必须确定公式 F 的公开声明不会将给定的 Kripke 模型 M 转换为新模型 M[F!]课堂之外。以下定理表明，给定类别的 Kripke 模型何时在公共公告下“关闭”（意味着对该类中的模型执行的公共公告总是会产生该类中的另一个模型）。

有关自反性、传递性、欧几里得性、序列性和其他重要关系属性的定义，请参阅附录 C。

公告闭包定理。设 M=(W,R,V) 为克里普克模型，F 为在 W 中至少一个世界成立的公式。

如果 Ra 是自反的，那么 R[F!]a 也是自反的。

如果 Ra 是传递性的，那么 R[F!]a 也是传递性的。

如果 Ra 是欧几里得，那么 R[F!]a 也是欧几里得。

如果 Ra 是序列且欧几里得的，那么 R[F∧⋀x∈A⟨x⟩F!]a 也是序列和欧几里得。

公告闭包定理告诉我们，自反性、传递性和欧几里得性在公告操作下总是封闭的。连续性通常不是；然而，如果序列性伴随着欧几里德性，那么公开宣布 F∧⋀x∈A⟨x⟩F 形式的公式（读作“F 是真实的并且与每个智能体的知识一致”）就可以同时保留序列性和欧几里德性。因此，如果我们希望研究串行模型的类别，那么，为了利用上述定理，我们需要进一步限制串行模型和欧几里得模型，并且需要限制公告的语言，以便所有公告公式都具有这种形式。（也可以限制为另一种形式，只要这种形式的公共公告保留了某些 C 类串行模型的序列性。）通过要求公共公告具有 F∧⋀x∈A⟨x 的形式来限制语言 (PAL) ⟩F 引出了串行公共公告逻辑的语言（???），当我们对串行和欧几里德克里普克模型感兴趣时，我们可以使用它。

F::=p∣F∧F∣ØF∣[a]F∣[F∧

⋀

x∈A

⟨x⟩F!]F

pεP,aεA

给定一类满足某些属性的 Kripke 模型以及可以推理该类的语言 (ML) 中的模态逻辑 L，我们希望构造一个公共公告逻辑，其健全性和完整性可以直接证明。为此，我们想提前知道 L 对于相关模型类别来说是合理且完整的，语言 (ML) 的某些公共公告扩展 (L+PAL)（例如，语言 (sPAL) ）或者甚至（PAL）本身）将包括不会破坏关闭的公告，并且我们有一种简单的方法可以通过仅查看底层模态语言（ML）来确定（L+PAL）公式的真实性。这样，我们就可以将公告理论的完备性“还原”为基本模态理论 L 的完备性。我们称这种可能是 PAL 友好的理论。

PAL 友好理论。说逻辑 L 是 PAL 友好的意味着我们有以下内容：

L 是语言 (ML) 中的正常多模态逻辑（即，每个代理具有模态 [a] a∈A），

存在一类 Kripke 模型 C，使得 L 对于基于 C 中模型的尖 Kripke 模型集合而言是健全且完整的，并且

有一种语言 (L+PAL)（“L 的公告扩展”）通过限制公告模态 [F!] 的形式从 (PAL) 获得，使得 C 在这种形式的公告下关闭（即执行在 C 中的模型上公开宣布这种形式，至少有一个世界在该世界中所宣布的公式为真，从而产生 C 中的另一个模型）。

请参阅附录 D 了解 PAL 友好理论第一个组成部分的确切含义。

PAL友好理论的例子包括共同的“信念逻辑”（多模态KD45）、共同的“知识逻辑”（多模态S5）、多模态K、多模态T、多模态S4、以及混合前面提到的类型的模态运算符的某些逻辑（例如，S5 代表 [a]，T 代表所有其他代理模态运算符 [b]）。固定一个 PAL 友好的理论 L，我们很容易得到一个基于 L 的公告逻辑公理化理论如下。

公理理论 PAL。

PAL 友好理论 L 的公理方案和规则

归约公理（全部用语言 (L+PAL) 表示）：

[F!]p↔(F→p) 对于字母 p∈P

“在虚假公告之后，每封信都成立——一个矛盾。在真实的公告之后，信件仍保留其真实价值。”

[F!](G∧H)↔([F!]G∧[F!]H)

“当且仅当每个合取都成立时，宣布后合取为真。”

[F]-G↔(F→-[F!]G)

“G 在发布后是假的，当且仅当该公告是真实的时，并不能使 G 为真。”

[F!][a]G↔(F→[a][F!]G)

“a 在发布公告后知道 G，当且仅当该公告无论何时真实，a 都知道该公告会使 G 为真。”

公告必要性规则：只要后者在(L+PAL)中，就从G推断[F!]G。

“任何公告后均有效。”

归约公理根据其他公告公式 [F!]H 的真值来表征公告公式 [F!]G 的真值，其中公告后公式 H 的复杂度低于原始公告后公式 G。 G 只是一个命题字母 p，归约公理 1 表示 [F!]p 的真值可以归约为不包含任何 F 宣告的公式。因此我们看到归约公理“归约”了以下陈述：从复杂的公告的真实性到更简单的公告的真实性陈述，直到不需要提及公告为止。例如，编写括号下标中使用的归约公理，我们有以下可证明等价序列：

[[b]p!](p∧[a]p)

↔(2) [[b]p!]p∧[[b]p!][a]p

↔(1) ([b]p→p)∧[[b]p!][a]p

↔(4) ([b]p→p)∧([b]p→[a][[b]p!]p)

↔(1) ([b]p→p)∧([b]p→[a]([b]p→p))

请注意，最后一个公式不包含公告。因此，我们看到归约公理允许我们用可证明等价的无公告公式来表达包含公告的公式 [[b]p!](p∧[a]p) 的真实性。总体来说确实如此。

PAL 约简定理。给定 PAL 友好的理论 L，公共公告逻辑（无需常识）的语言 (L+PAL) 中的每个 F 都可被 PAL 证明等价于来自 (L+PAL) 的无公告片段的公式 F∘ 。

约简定理使得证明公理理论相对于适当类别的尖克里普克模型的完整性变得容易：因为每个 (L+PAL) 公式都可以使用可证明等价的免公告 (ML) 公式来表达，所以完整性理论 PAL 遵循归约定理、PAL 的健全性以及基础模态理论 L 的已知完整性。

PAL 的健全性和完整性。 PAL 相对于尖头 Kripke 模型的集合 C* 来说是健全且完整的，其中基础的 PAL 友好理论 L 是健全且完整的。也就是说，对于每个 (L+PAL)-公式 F，我们有 PAL⊢F 当且仅当 C*⊨F。

一种有趣的 PAL 派生方案（如果语言 (L+PAL) 允许则可用）如下：

[F!][G!]H↔[F∧[F!]G!]H

这表示两个连续的声明可以合并为一个声明：声明 F 为真，然后声明 G 为真，与声明“F 为真，并且在声明 F 后， G 是真的”。